逻辑学中的一场革命？，本文主要内容关键词为：逻辑论文,学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
初看起来，逻辑学似乎不可能成为一个发生革命的领域，即使是发生杰佛逊意义上的、而不是列宁意义上的革命。康德坚持认为，亚里士多德逻辑在两千多年里不曾改变，并且也不可能再改变。无论是从体系的角度还是从历史的角度来看，康德关于亚氏逻辑的上述看法，即使按亚里士多德自己的标准也是完全没有根据的。（注：参看雅科·亨迪卡：《亚里士多德的不一致的逻辑学家》，Ajatus vol.37（1978），第48—65页.在此文中，亨迪卡论证说， 亚里士多德的逻辑体系是他试图采纳的不同指导观念之间的不适当的妥协。）尽管如此，当代大多数哲学家和语言学家对弗雷格逻辑（严格地说，是对弗雷格逻辑中已逐渐有各种称谓的那一部分，如一阶逻辑，量化理论，或低阶谓词演算）却持有与康德同样的观点。有一次一位批评家向一位著名的语言哲学家指出，普通一阶逻辑的基石之一，即弗雷格对表示being的动词例如is 的处理，并没有把握真正的语言用法时，他用一种恐惧的神情（我们希望，这种恐惧是假装的）打量着说话者，并且说道：“那在哲学中就再也没有任何东西是神圣的了！”
弗雷格对一阶逻辑的表述还包含一个基本错误，后者已体现在他的形成规则中。并且这一病毒已经感染了所有后来的一阶逻辑表述和版本。为了看清弗雷格的错误是什么，我们不得不回到基本的东西，并询问一阶逻辑是与何种东西相关的。答案是明摆着的。一阶逻辑是关于量词的。把它叫做量化理论并不是平白无故的。但人们常常忽视了这一点，即量化理论并不是对完全相互孤立的量词的研究。如果你逐一使用相互无关的量词，你所依据的逻辑只是一元一阶逻辑，或者是亚里士多德三段论的某种另外的温和推广。一阶逻辑的真正力量就在于使用相互依赖的量词，例如在
中，使（1）成真的对y的值的选择取决于x的值。 假若没有相互依赖的量词，人们甚至不能表达一个变元对另一个变元在函数上的依赖关系。量词依赖因此成为一阶逻辑有力量的真正秘密之所在。人们几乎可以说，理解一阶逻辑就是理解量词依赖的观念。一阶逻辑在哲学分析中的几个典型应用，如揭示量词转换谬误，就直接利用了量词依赖的思想。
但是，要理解量词依赖，事实上也就是要理解量词独立的概念，后者与前者简直就是同一个概念，只不过着上了不同的衣装。所以，如果我们在量化理论中引入一个明显的独立标记，凭借它可以表达量词（Q[,1]x）独立于量词（Q[,2]x），记作（Q[,1]x／Q[,2]x），这丝毫不意味着我们超出了普通量化理论的概念储备。
同样的斜杠记法可以应用于命题联结词。下述公式表示什么在直观上是一目了然的：
或者
结果是如果我们把注意力限制于以否定范式形式出现的公式（即所有否定符号只直接出现在原子公式或等式之前），则仅考虑斜杠的两种用法，即
就足够了。
给公认的一阶逻辑的概念装备增加斜杠记法的结果，就导致了将被称为友好独立的一阶逻辑（independence-friendly first- orderlogic），简称IF逻辑。
IF一阶逻辑是什么样的？它确实超出了公认的一阶逻辑吗？在最简单的情形下，新记法并没有产生任何新东西。例如，
在逻辑上显然等价于
同样地，（2）等价于
但是，在更复杂的情形下，某些引人注目的事情发生了。例如，考虑语句
它等价于
同样可以证明，假如没有斜杠记法（或与此等价的记法），就不能表达（3）。
现在我们着手看一看弗雷格错误的全部不良后果。他引入的那套记法（类似于罗素和怀特海后来的记法）任意排除了量词之间或联结词和量词之间完全可能的相互依赖和独立的模式。这些模式就是由不可化归的斜杠量词组合（以及涉及量词和联结词的类似组合）。任何理解公认的一阶逻辑的人，也在下述具体意义上理解涉及这类模式的语句，例如理解形如（7）或（8）的语句，即理解它们的真给实在所施加的确切条件。所以它们应该在我们基本逻辑的语言中是可表达的。并且这样做的唯一途径就是建立我们的真正的量化逻辑，以便去除弗雷格施加在公认的一阶逻辑上的那些人为的限制。真正的量化逻辑，换句话说逻辑大厦的真正基础，不是普通的一阶逻辑，而是IF一阶逻辑。从术语上说，若把公认的一阶逻辑叫做“普通的”，则我们是在对自身不公正。我们一直在讨论的那些局限性使得弗雷格逻辑从系统方面说是相当不普通的，这一点也反映在下述事实中：公认的一阶逻辑根本没有忠实反映人们能够期望在一般逻辑中发生的事情。
为了达到IF一阶逻辑，并无必要引入任何像我们的斜杠记法那样的新记法。所需要做的全部事情就是比弗雷格和罗素更简便地表述有关括号（辖域）的规则。如果你反思一下（即使你不反思也没关系）就会发现，认为由配对的括号表达的一量词的所谓辖域应该包括紧邻该量词并跟在它后面的公式的一个连续的节段，是绝对没有道理的。违背这一要求（随之而来的是违背形成规则）的表达式能够有一个完全可理解的语义解释。确实，（8）也可以写成如下的样子：
这里两个外层的方括号标明了
的（不连续的）辖域。在更复杂的情形下，简便的括号记法结果是不直观以至是难以认读的。所以为了实用起见我们偏爱斜杠记法。鉴赏家们已知道IF一阶逻辑的一个片断，其名曰“偏序（分枝）量词的逻辑”。（注：亨肯（Leon Henken ）在下文中引入了分枝量词：“关于无穷长公式的某些评论”，见 Infinitistic Methods，Warsaw，1959，
pp.167—183.关于他们的理论，参看例如W.Walkoe，《有穷偏序量词》，见Journal of Symbolic Logic， vol.35（1970），pp.535—550；Herbert Enderton，《有穷偏序量词》，见Zeitschrift furMathematische Logik und Grundlagen der Mathematik，vol.16（1970），pp.393—397；Jon Barwise， 《亨肯量词的某些应用》，见Israel Journal of Mathematics，25，1976，第47—80页。）这一逻辑仍不是一般概念情景的完全表达。因为首先，命题联结词能够表现出与量词相同的独立现象。其次，即使量词的依赖和独立可以根据偏序来处理，但对于其他概念来说并非如此。因为一般而言没有任何理由说逻辑记法的相互依赖是传递的。
再次，在独立量词的语境中要求比在偏序量词的理论中更多地注意对否定的处理。
由于排除了量词之间真正的独立（以及其他概念之间的蕴涵关系），弗雷格也就从逻辑的视界中排除了一些丰富而重要的课题。许多逻辑学家仍倾向于把分枝量词的逻辑和IF逻辑看作是边缘性的猎奇。没有什么东西比这离真理更远了。人们能够写一部完整的书去论述IF一阶逻辑对数学基础的影响。（确实雅科·亨迪卡已经这样做了。）但是这种新逻辑的影响延伸至更广得多的范围。IF一阶逻辑所处理的那种独立并不是一个很少见的语言现象，而是自然语言语义学的一个常见而重要的特征。没有独立标记，我们就不能完全理解像信念、知识、问题和回答，或者de dicto和de re的对比。
在一阶逻辑本身中，独立现象引起了逻辑推理方面最基本规律的变化。（这些规律当然恰好就是弗雷格凭借他的《概念文字》所要把握的。存在量词再也不能根据普通的有关公式前面量词的示例规则（沿着熟知的表列或根岑方法的途径）去处理。为了看清这一点，考虑一存在公式
它出现在一个更广的语境中
（我们当然假定（12）是以否定范式出现，即它的否定号都直接出现在原子公式或等式之前。）如果我们试图建立只处理形如（11）的公式的规则，我们就会遇到麻烦。因为根据比如说表列类型的程序从（11）变形为（12）时，不得不用个体常项去替代z[,1]，z[,2]，…，更一般地替代为其辖域包括（11）的量词所约束的所有变元。但是既然不再有
所独立的任何量词
…，故在（11）中执行所有这些替代的结果是不合式的，不得不替换为如下形式的公式：
其中（11）中所有自由变元已被个体常项所替代。但是（12）中
所依赖或不依赖的外层量词之间的差别将得不到考虑。
显然，必须做的事情就是表述一个示例规则，它允许我们从（12）进到
（14）S[,1][S[,2][f（y[,1]，y[,2]，…）]]
其中
，…全都是不同于处在（12）中量词
的辖域内的
…全称量词。在（14）中，f必定是一个新的函项符号。注意， 尽管引入了新的函项符号，（14）仍是一阶的。它并不包含对函项或其他高阶实体的量化。
弗雷格拒绝独立量词，可能起因于下述两个理论观念中一个或两个。一是弗雷格把量词解释为高阶谓词。按这种观念，像（13）这样的存在陈述所说的是（通常是复合的）谓词S[*][x]不空。 现在基于已看到的同样的原因，即仅凭借通常的存在示例规则不能充分地处理存在量词，弗雷格对存在的处理对独立量词也有失公允。归根结底，把量词解释为高阶谓词，只不过是哲学家们试图不考虑量词的重叠而处理量词的不幸倾向的一个例证。另一个是假定我们只根据量词所“统辖”的值的类就能理解量词。
在这一部门，人们的思想祖先的罪过重现于他们在学术上的儿子和孙子们的理论中。受到高强度探究的新近对一般量词的处理是所谓的广义量词理论，它极大地依赖于弗雷格把量词解释为高阶谓词的做法。所以，这一理论的一般性不足以处理独立量词，这一点就并不令人奇怪了。这一传统的代表人物所能做的最好的事情，就是给出涉及独立量词的某些特定的量词组合的解释。这样一种处理未能幸运地成为真正的独立量词理论。例如，说有关量词和命题联结词之间的独立关系的任何东西，都是毫无助益的。
但是独立量词的可能性妨碍甚至更得到公认的一般语义原则。通过改变我们的记法并把独立标记（现在变为双斜杠）与另一个量词所独立的量词关联起来，可以最清楚地看清这一点。 于是我们现在可以把（4）重写为
把（7）重写为
双斜杠记法使在我们原来的记法中不太明显的东西变得明确了。有关IF一阶逻辑的最惊人的事情之一，就是它违背通常所谓的组合性原则。这一原则可以表述如下：根据它的说法，一个表达式的关键性语义性质是其构成表达式语义性质的函项。另一种稍许更具启发性的表述此一原则的方式，是说此一原则是对语义独立于语境的断定。根据这一原则，一表达式的语义解释必定不依赖于它的语境。理由是清楚的。如果依赖于语境，那么所讨论的表达式的语义性质就不可能完全由其构成表达式的那些语义性质所决定。
但是在IF一阶逻辑中，我们发现了语义对语境的依赖。举例来说，
和
S[x,y,z,u]这两个表达式不仅作为（15）和（16）的子公式出现，而且分别作为（1）和
的子公式出现。它们的语义行为还依赖于语境，因为仅从语境我们就可看清
和
依赖和不依赖于哪些另外的量词。所以IF一阶逻辑给组合性原则提供了一个清楚的反例。即使可能留下了某些怀疑空间——或者至少需要作出进一步的解释，弗雷格如此明确地接受了组合性原则，以至它有时被称之为弗雷格原则。于是，弗雷格没有考虑独立量词就不令人奇怪了。它们会迫使他放弃组合性原则。
IF一阶逻辑的性质需要（并且值得）比一篇论文的篇幅所能给出的更广泛得多的讨论。友好独立的一阶逻辑像公认的一阶逻辑一样，具有许多同样令人愉快的元逻辑性质。它是紧致的，像洛文海姆—斯科伦定理和分离定理这样的结果在其中成立。不过，请注意这个逻辑中否定是强的对偶否定，而不是经典的矛盾否定。因此，这一逻辑具有如上陈述的性质并不与林德斯特洛姆定理相矛盾。IF一阶逻辑还容许完全的反证程序，当然要假定把存在示例规则重新表述为如上解释的函项示例规则。换句话说，不相容公式集是递归可枚举的。但是，IF一阶逻辑和它的先行者之间有一个巨大的差别。IF一阶逻辑并不容许完全的公理化。它必然是不完全的。（注：如下是看清这种不完全性的最容易的途径：作用于四个变元的所谓亨肯量词H定义如下：
亨肯量词在IF 逻辑可明确定义为：
如所周知，用亨肯量词去扩充一阶逻辑所得到的逻辑是不完全的〔参看M.Krynicki and A.Lachlan，《论亨肯量词的语义学》，Journalof Symbolic Logic，vol.44，（1979），第184—200页〕。由此也可推出：IF逻辑是不完全的。）有效IF一阶逻辑公式类不是递归可枚举的。
我们论文的题目谈到了革命。确实，IF一阶逻辑有许多革命性的特征。把它们都说出来需要比一篇专题论文更多的篇幅。看起来毫无疑问的是，我们的基本逻辑的语义不完全性（这正是IF一阶逻辑赖以奠基的东西）是这一新逻辑最深刻的革命性特征。这里我们仅简要地指出IF一阶逻辑的这一特定方面的某些主要后果。
IF一阶逻辑的不完全性导致革命性后果的历史根据是，我们的基本逻辑传统上被假定为在下述熟知的意义上是完全的，即我们能够给出逻辑推理的纯形式规则的完全集。没有这一假定，在近150 年内的主要基础规划就只具有很小的意义。弗雷格在逻辑方面的成就恰好就是提出一个完全的和完全纯形式的逻辑公理系统。确实，他相信除纯形式的（符号的）和公理化的探索之外，对逻辑的任何其他探索都是不可能的。因为根据他的观点，一个语言的语义学在该语言内不能得到表达。所以他在逻辑方面的雄心注定是不会完成的。进而言之，在某种意义上，弗雷格逻辑的完全性也是他的基础规划的一个预先假定。因为他所设想的赖以把所有数学概念和推理模式化归于逻辑的形式，就是把所有数学化归于一个逻辑系统。如果那个系统是不完全的，那么就不会有数学可化归于的任何系统。总会有一些推理模式其身份是未被确定的。它们是逻辑的还是不可化归地是数学的？一个彭加勒信徒总是会迅速地挑选第二种选择。
甚至更明显的是，希尔伯特的证明论规划基于把逻辑推理规则完全公理化的可能性。因为他要求借以证明各种数学理论的相容性方式表明，人们不能从他们的公理出发证明自相矛盾的结论。若没有我们的形式证明规则的完全性，这一规划就落空了。因为无论怎样表述形式证明规则，矛盾总是可能隐藏在该公理系统的这样一些后乘中，它们不能凭借迄今所表述的形式规则而化归。
20世纪逻辑最具震撼性的成果，即哥德尔的第一不完全性定理，不幸只用来强化了关于我们基本逻辑完全性的幻觉。因为人们一般认为，哥德尔所证明的是相对简单的数学理论（在这个词的每一种有意思的含义上）不可避免的不完全性。
但是如果我们的逻辑本身是不完全的，我们就不得不重新考虑逻辑和数学基础中的整个情形。首先，如亨迪卡已经指出的，绝对说来，哥德尔不完全性定理只确立了初等算术的演绎不完全性。换句话说，对于每一个闭语句S，我们不能凭借底层逻辑形式地推导出S或者S。 只有底层逻辑是语义完全的，这种演绎的不完全性才蕴涵着初等算术的描述不完全性（不可公理化）。所以，IF一阶逻辑的不完全性开辟了这样一种形式的可能性，即对于各种足道的一阶数学理论，我们或许能够表述描述（模型论）完全的公理系统，却并不违背哥德尔的不完全性定理。我们所需要做的只是用IF一阶逻辑或它的某种适当扩充作为我们的基本逻辑，而不是用传统的一阶逻辑作为基本逻辑。这并不会给任何借口以理由，因为本文前面已论证过，我们不得不在任何情形下使用那种逻辑。我们甚至能以模型论的方式去研究这种描述完全的公理系统，并且以这种方式去弄清它们的某些性质，而根本不必担心逻辑证明规则。
如所周知，在高阶逻辑中可以表述实际上全部数学理论的描述完全而演绎不完全的公理化。但是这样一种表述牵涉到与高阶实体（包括集合）的存在假定相关的所有那些危险、不确实性和其他问题。既然这里所设想的那种类型的描述完全的公理化将是一阶的，它就可以免除有关集合和高阶实体存在的全部困难。
我们的观察还意味着不得不重新考虑逻辑证明的概念。这些日子人们经常断言或宣称，作为哥德尔结果的推论，证明概念在数学中已失去了它的中心地位。没有什么东西比这离真理更远。因为我们能够表述描述完全的公理化理论，数学或科学理论家的任务仍被视为从公理推定理。并且仍然能够把这样一种推导视为纯逻辑证明。刻画它的不同推理步骤的要求仍然与旧的要求相同，即保真性。所有先前与这种保真性相关的规则仍然有效，并且原则上总是可以用模型论的方式去发现新的规则。证明中每一个合法的步骤仍然是纯形式的、保真的推理模式的一个例证。
新的东西仅仅在于，不能一劳永逸地确定用于此种证明的纯形式规则的完整集合。在证明真正新的结果时，在原则上人们必须总是准备采纳不符合先前承认的规则的步骤。但是，只要它们是保真的，当然必须把这些新的推理模式看作是合法的逻辑证明规则。这种合法性与旧的合法性是同样的，即具有相同形式的所有步骤都保真。如果人们将形式逻辑的完全性理解为把每一个有效的逻辑推理表述为保真的形式推理模式的例证的可能性，则所有有效的逻辑推理都是形式的，形式逻辑在这种意义上是完全的。也许通常接受的术语并非像它所能够的那样是描述的，也许我们应该改变它并且说，IF一阶逻辑是“形式完全的”但不是“可计算的”。用不同的术语表述同样的意思，即在逻辑和数学基础中发现的不可避免的不完全性，并不是给凭借逻辑或数学所能做的事情施加的任何内在限制的征兆。对于凭借计算机所能做的事情来说，它是一个限制。
新近和当下对数学中证明概念的不满意是一个征兆，它并不意味着逻辑证明概念有什么纰漏，而是表明需要沿刚才勾画的途径使证明概念更为现实一些；它仅仅意味着不要把逻辑证明中合法的步骤局限于某个机械列举的推理模式表列。
但是在这方面最严重和流传最广的哲学错误仍然有待诊断出来。通过问如下问题能够使它显现出来：新的推理原则（新的逻辑真理）是如何被发现的？“逻辑是完全的”这一信念的保守形式已导致下述看法：既然凭借预先可程序化的规则不能引入新的证明规则，那么这些规则的引入在原则上必定是一个非逻辑的事情，也许是出于特殊的直觉，也许是出于任意的决定，也许是一个有待检验并可能被修正的猜想。需要如此经常地扩充逻辑和数学证明的推理基础，甚至已被断言为给逻辑和数学中的真理概念投下了怀疑的阴影。
这些观念是错误的，特别招人反感。一个特别有害的变体是设置一种特殊的心智能力，有时称之为数学自觉，作为新的数学真理的源泉。现在未经分析地设置这样一种神秘的能力，等于设置了一个降低理智标准的对象。如果你打量一下直觉概念在哲学史上的更早的、值得尊敬的用法，你会发现：它作为洞见或知识之源，总是被假定受到某些哲学或心理学理论的支撑。在亚里士多德那里，支撑物是他的思维作为形式在一个人的灵魂中真正实现的理论；在笛卡儿那里，是他的天赋观念学说；在康德那里，是他的下述先验假定，即我们的感觉—知觉能力已赋予对象以空间和时间的形式，并使得这些形式可重现于直觉之中。但是在新近的讨论中，当没有这样的理论支撑物时，也过于经常地诉诸数学直觉。依据严格的哲学标准来评估， 这样一个孤零零的直觉概念处在ESP（超感觉力）的水平。
在朴素的现实中，引入和证实新的推理模式和新的逻辑真理要比诉诸超逻辑的直觉更朴实得多。事实上，我们怀疑，大多数诉诸所谓的数学直觉仅仅是暗含地诉诸模型论或证明论的考虑。这样的论证甚至能够表述在其公理和推理规则正被研究的同一个理论中。如果需要一个例子的话，哥德尔对初等算术的任何给定的公理化AX的不完全性的证明本身就是一个恰当的例子。在它那里，在初等算术中可表达的一个论证就把我们引导到一个初等算术的真理，它不能从AX推出，所以能够用来加强AX。公认的是，哥德尔的证明是证明论的而不是模型论的。因此之故，哲学家们并未被诱使去把它视为诉诸直觉。但是，构造有助于发现新的推理原则或证明受到批评的旧有原则为正确的模型论论证并不是不可能的。实际上，IF一阶逻辑在这个方向上开辟了新的可能性。其理由是，几个关键的模型论概念，包括真和满足的概念，对于适当的一阶逻辑来说，能够在同一个语言中得到表达。
选择公理的令人奇怪的历史提供了一个指导性的客观教训，说明试图诉诸数学或逻辑的直觉是极其无用的。不同的有能力的数学家具有关于这个公理的互相矛盾的“直觉”。例如策梅罗引入它作为一个明显有效的集合论公理。希尔伯特的直觉似乎已告诉他，选择公理像2+2 ＝4一样明显有效，并且是在同样的意义上有效。他聪明地把这种看法当作通过对该公理的适当表述而有待证实的预感，而不是一个不可错的信条。其他人，著名的是布劳威尔和他的直觉主义伙伴，拒绝这一公理。更为糟糕的是，有几位数学家的直觉（也许是半直觉）先是告诉他们拒绝该公理，但结果是他们本身随后又在他们自己的数学推理中使用该公理。这些数学家的那些直觉是真正的直觉？是他们在其实际的推理中所暗含地诉诸的呢？还是通过他们对选择公理的一般的和抽象的表述的反思而诱发的呢？
这一堆乱七八糟的问题不能通过诉诸直觉来理清，而只能通过逻辑的特别是模型论的分析来解决。亨迪卡已经解释了这些分析的基本观念。这里并不试图概述这整个论证，只能提及下述一点：我们的几个初看有效的直觉不得不借助模型论的分析来重新审视。例如，已导致拒绝选择公理的最流行的“直觉”结果是基于直接的混淆之上，即基于给该公理通常的表述中的不同量词以不同的解释。我们心目中的表述是一个二阶公理模式
实际上，批评家们已给一阶量词
以古典解释，而给二阶量词
以非古典解释。如果给所有的量词以同样的解释，则选择公理成立。达米特已明确地注意到这一点，他在这个问题上的成熟的直觉因此不同于那些直觉主义者的直觉。（注：达米特：《直觉主义基础》，Clarendon Press，1977，第52—54页。）在其他情形下，拒斥选择公理的所谓直觉主义证明已证明是错误的。最重要的是，直觉主义者的直觉属于与典型的非直觉主义者的直觉完全不同的题材领域。后者与我们关于数学事实（真理）的知识有关，前者则与我们关于数学对象的知识有关。所以这两派一直在为相反的目论证。例如，就选择公理来说，直觉主义者在问我们是否知道选择函项，而古典数学家在问我们是否知道这种选择函项存在。这两个问题之间的混淆于是体现为两类知识之间的混淆，即真理的知识和对象的知识。
不过，即使对选择公理的所谓直觉证明已经不堪信任，难道我们就不需要直觉去判定它是否可接受了吗？不，我们所需要的是把握量词的意义。在这篇论文的前面已经指出，量词的逻辑行为的本质要素就是它们相互依赖的方式。例如，在像
这样的句子中，使（1）成真的对y的值的选择依赖于对x的值的选择，这是其中量词的主要意义。所以（1 ）是真的当且仅当有一个函项实施此选择。换句话说，（1）是真的，当且仅当下述的二阶语句是真的：
而从（1）到（19）的蕴涵就是（18），它是选择公理的一种形式。换句话说，这一公理只不过揭示了不同量词之间的交互作用，这种作用就是它们的一部分意义。所以，选择公理不仅是有效的，而且是一个有效的逻辑原则，正像希尔伯特所猜想的那样。
选择公理的有效性一直未得到更广泛的承认，这一事实有一个初看诱人却虚假的理由。这一通常隐含的理由就是相信组合性原则。根据这一原则，量词的意义必定不依赖于处在它的辖域之外的东西。但是在一种完全好的意义上，对一个为存在量词所约束的变元——比如说（1 ）中的
——的成真选择，依赖于处于其量词之外的某种东西，即它在其辖域内出现的全称量词的值，在（1）中就是x的值。于是在最后的分析中，量词的相互作用等于是对组合性原则的活生生的（尽管是间接的）检验。这种检验在人们的逻辑语义学中应足以平息坚持组合性（在这个词的任何严格的意义上）的现实希望。
当实现这一点时，对选择公理的最后反对意见就消失了，并且可以看出选择公理是有效的。如果把它视为一个推理规则，则该规则是保真的。
于是在选择公理的整个事情中，正是诉诸直觉引导数学家们进行了各种徒劳无益的探索，由此留下的一堆乱麻有待模型论分析来梳理。一般而言，对一直讨论数学直觉的神秘能力的哲学家们说这样的话的时机已经成熟：拿出成果来，不然干脆闭嘴。迄今为止，他们一直对他们自称有相应直觉的题材没有提出任何不含糊的洞见。
（J.HINTIKKA AND G.SANDU,A REVOLUTION IN LOGIC？
原载NORDIC JOURNAL OF PHILOSOPHICAL LOGIC，VOL.1,NO.2,pp.169 —183 陈波译）
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