“12字法”学好几何证明，本文主要内容关键词为：几何论文,字法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学的几何证明是如今初中学生感到比较难学好的一类题型，然而这类题型又是初中数学的主要题型，它可以从不同的方面去锻炼学生的各种能力：观察能力、逻辑思维能力、推理能力以及知识的综合运用能力。
那么，如何学好这类几何证明呢?本人认为应做到以下12个字：“见什么想什么，要什么写什么”。
要做到“见什么想什么，要什么写什么”，则要求学生要有一个比较扎实的几何系统知识，即几何中的相关概念、命题，相关性质、公理与定理等基础知识，并对这些知识熟练记忆。因此，我们在记忆的时候要将相关知识联系记忆，并进行比较，从中找出该知识间的必然联系。
那么如何理解“见什么想什么，要什么写什么”这12个字的学习方法呢?
一、“见什么想什么”
1.想相关的性质(即可以用得到的东西)
(1)见到垂直，即要想到：①所成的角为90°；②线段的垂直平分线(其上的点到线段两端的距离相等)；③有可能是三角形的高。
(2)见到线段的中点或角平分线，即要想相关的三个表达式子：①两个小者的相等关系(较短两条线段或较小两个角)；②小者等于大者的一半的关系(较短两条线段或较小两个角与最长线段与最大角)；③大者等于小者的2倍的关系(最长线段与最大角与较短两条线段或较小两个角)。
(3)见到两直线平行，马上要想到有关的角的性质：①内错角相等；②同位角相等；③同旁内角互补。
(4)见到直角三角形，即要想到：①有一角为90°；②勾股定理；③斜边上的中线等于斜边的一半；④30度角所对的直角边等于斜边的一半［注：③与④都有这样的关系：等于斜边的一半］；⑤全等时的HL。
(5)见到等腰三角形，即要想到：①两腰相等；②两(底)角相等；③三线合一。
(6)见到有关解多边形的题目，我们必须想到与多边形相关的内角和、外角和知识：即内角和为：(n-2)×180°、外角和为：360°。
(7)见到平行四边形，马上要想到平行四边形具有如下可用到的东西：①对边平行；②对边相等；③对角相等；④对角线互相平分。
(8)见到矩形，马上想到矩形具有如下可用到的东西：①角相等，且为90°；②对边平行；③对边相等；④对角线互相平分且相等。
(9)见到菱形，马上想到菱形具有如下可用到的东西：①对边平行；②四边相等；③对角相等；④对角线互相平分、垂直且平分每一组对角。
(10)见到正方形，马上想到正方形具有如下可用到的东西：①对边平行；②四边相等；③四角相等，且都为90°；④对角线互相平分、相等、垂直且平分每一组对角。
2.想相关的方法(即怎样见题想方法)
(1)见要求有关的角相等，马上想到可以用如下方法去解答：①看角的情况，证两直线平行；②最常用的利用三角形全等；③角在同一三角形中，可证其是等腰三角形；④借助第三个量，找其等量关系。
(2)见要求有关的线段相等，马上想到可以用如下方法去解答：①最常用的利用三角形全等；②线段在同一三角形中，证其是等腰三角形；③看是否有线段的垂直平分性质，想线段垂直平分线上的点到两端的距离相等；④线段是四边形的两条对边，则可证其是特殊的四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形等)。
(3)见要证线段的大小关系，则要想到把相关的线段转变到三角形中，进而用三角形的三边关系以及直角三角形中的勾股定理来解决。
(4)见要证线段之间的和差关系，一般来说是要把较长的线段进行拆分，构造出一些相等的线段，然后进行转化。
(5)见到要证两个三角形全等，即要想到证全等的三个条件(HL两个条件除外)：SAS、ASA、AAS、SSS，然这三个条件则需看题目去找，注意条件不能乱套、乱用。
［三角形的全等，是初中几何的一个重要知识点；对三角形全等的条件要灵活运用，灵活去找出其隐藏的条件：比如说对顶角、公共角(或公共边)相等、垂直隐含直角的关系、中点隐含线段相等的关系、角平分线隐含角相等或角平分线上的点的一些关系(到两边距离相等)以及三角形内角和为180°、角的互余互补关系等等］。
3.想相关的思路
(1)证两条直线平行：
观察题目中的“两线”被第三“线”所截所成的角而想相关的方法，如出现同位角则可用“同位角相等，两直线平行”，如还出现内错角或同旁同角，则也可以用相应的方法来证明。
(2)证三角形全等或相似：
观察题目中所给出的边与角的条件对应SAS、ASA、AAS、SSS进行比较进而想思路，如题目告之的是：一角一边，则可选取SAS、ASA、AAS，再看角与边哪个好找就用相应的方法；如题目告之的是两边或两角，则选用SAS、SSS(ASA、AAS)，这样一来，思路就比较明确了。证相似也是一样，且更加简单，条件只需要两个，题目告之的是一角，则选取AA来证最为简单；如题目告之的是：一角一边，则可选取SAS；如题目告之的是两边，则选用SAS、SSS。但请记住：证明相似最常用常考的方法是：AA。
(3)证明平行四边形：
①见题目中告诉与边有关的内容，想到用“两组对边平行”“两组对边相等”“有一组对边平行且相等”来证明；②见题目中告诉与角有关的内容，想到用“两组对角相等”“两组对边平行(因角相等可想到两直线平行)”；③见到题目中告诉与对角线有关的内容，想到用对角线来证明，即“对角线互相平分”。
(4)证明矩形：
①见题目中告诉的是与平行四边形有关的，则马上想到：a。利用定义(有一个角是直角)来证；b.证明两条对角线相等［注：见到题目中是与对角线有关，则马上想到是用b来证］；②见题目中告诉的是与四边形有关，则想到证角为90度(三个角都是直角)，或是看题目中的边、角、对角线的关系，先把其转化为平行四边形，再利用①的方法来证。
(5)证明菱形：
①见题目中告诉的是与平行四边形有关的，则马上想到：a。利用定义(有一组邻边相等)来证；b.证明两条对角线垂直［注：见到题目中是与对角线有关，则马上想到是用b来证］；②见题目中告诉的是与四边形有关，则想到证边相等(四条边都相等)，或是看题目中的边、角、对角线的关系，先把其转化为平行四边形，再利用①的方法来证。
(6)证明正方形：
证明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定义以及正方形的双重性(既是矩形又是菱形)：即是看题目中的边、角、对角线的关系，证出是矩形(或菱形)［这些证明方法同上(2)、(3)相同］，然后再证一组邻边相等(或是有一个角是直角)就行了。
(7)证明等腰梯形：
①见到题目中告诉与角有关的梯形，则想到证两底相等；②见到题目中告诉与对角线有关的梯形，则想到证两条对角线相等就行。
以上谈到的见什么想什么，在今后的学习中还可能遇到与其有关的知识内容，那么到时自己进行小结，把相关的内容加到相应的知识点中去。
二、“要什么写什么”
我们在证明的过程中，由一个知识点可能得到很多相关的性质、结论，但并不是所有的结论我们都要在证明过程中写上，如果这样反而使证明过程不清不楚，适得其反。所以在写证明过程中要做到“要什么写什么”：即题目要怎样的结论我们就写叫哪些的结论，这样我们的证明过程就简捷、明确，推理具有逻辑性。
比如：1.常用的三角形全等，则会得出有六个相应的结论：三组边、三组角对应相等，那么，我们在证明的过程中就要看清楚：是要用线段(即是边)的关系，还是用角的关系，进而写出相应的结论，这样才能使证明过程简洁、明确，推理具有逻辑性。2.比如平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性质结论：边的关系(涉及线段时还可能用到对角线的一些内容：平分，交点为线段的中点等)、角的关系(也可能用到对角线平分每一组对角的这一重要性质)以及对角线的关系(其又有不同的关系：平分、相等、垂直、平分每一组对角，因而要适当选择来解题)。
总之，在解题的过程中，要认真观察题目的每一句话，进而去想到相关的知识去解决问题。
下面以2009年中考题为例介绍如何用“12字”法：
例1 （2009年广西钦州)(1)已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE。
求证：DE=CF。
图1
分析 ①想解题方法：本题一见要证明DE=CF，而这两条线段分别在不同的三角形中，所以我们想到的方法与思路就是用证明三角形全等的方法来证明两条线段相等，②想相关性质：题目知之是在矩形ABCD中，所以想到矩形相关的边(对边相等与平行)、角(四个角相等且都等于90°)的关系；③想相关解题思路：本题想到是用证明三角形全等的方法来证，但用全等条件的哪一个呢?这两三角形是直角三角形，而斜边DE、CF为所求，所以不可能用HL来证，要求证边，也不可能用SSS来证，题目告之有相关的边加上矩形相关性质而想到正确的方法应该用SAS来证。
证明 因为AF=BE，所以AF+EF=BE+EF，即：AE=BF。因为四边形ABCD为矩形，所以AD=BC，∠A=∠B=90°(注：这里用什么写什么，比如AD∥BC，AB=BC，这些条件是不用的，所以就算是正确也不用写下去)，
所以△ADE≌△BCF，所以DE=CF。
例2 （2009年娄底)如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE。(1)求证：△ABE≌△ACE；(2)当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形?并说明理由。
图2
分析 ①想解题方法与思路：本题一见要证明△ABE≌△ACE，马上想到证明一般三角形全等的四种方法：SAS、ASA、AAS、SSS，而通过观察题目与对应要证的三角形比较，知一边且有一公共边，所以想到SAS与SSS，而另一边也无法求故想到SAS；②想相关性质：由题目中的“AB=AC，D是BC的中点”想到“三线合一”；③“要什么写什么”：而本题证明全等只需用到角，所以在写的过程中，只写两小角相等即可。
第2问证明菱形，通过分析第1问已知道对角线是垂直且平分一边，只需另一边平分就行啦。
证明 (1)因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD是等腰三角形BC边上的中线，即AD是等腰三角形顶角∠BAC的角平分线，所以∠BAE=∠CAE。又因为AE=AE，所以△ABE≌△ACE。
(2)当AE与AD满足
数量关系时，四边形ABEC是菱形。
因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD是等腰三角形BC边上的中线，BD=CD，即AD是等腰三角形BC边上的高线，所以BD⊥AE，因为，所以AD=ED，所以四边形ABEC是菱形。