甘肃省临夏市一中 731100
二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要基础。以二次函数为背景命制压轴题，突出了利用函数思想进行科学探究的“过程”考查，强调了代数与几何的有机联系，几何中考查函数，函数中考查几何，使函数与几何融为一体。试题既关注了知识间的纵向联系（在知识块层面和知识链层面上合理设计），又关注了知识间的横向联系（加强核心观念和数学思想方法的考查），在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的效度，因此颇受命题者青睐。
基于这样的认识，本文以部分中考试题的评析为依托，阐述笔者对二次函数压轴题的一点体会和认识，指导学生掌握较好的解题方法，培养综合运用数学知识的能力。
一、试题评析
例题1：（2014年中考兰州市卷第28题，12分）如图，抛物线y=- x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）。（1）求抛物线的表达式。（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标。考点：二次函数综合题。
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分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，- a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论。（解题过程略）
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用、二次函数的解析式的运用、勾股定理的运用、等腰三角形的性质的运用、四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键。
例题2：（2014年中考临夏州卷第28题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3。（1）求点M、A、B坐标。（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值。（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标。
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考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于F，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可。（解题过程略）
点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图像与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论。
二、教学思考
帮助学生了解并掌握二次函数压轴题常见的类型。
1.函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，基本方法是几何法和代数法。
2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
3.存在性问题：存在性问题则主要考查分类讨论的数学思想，常见的存在性是：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形等。
4.最值型问题：这类题则需要根据条件，创设函数，利用函数性质（一般是二次函数）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。
三、写在最后
数学学习是个内化的过程，数学思维能力的提高不能通过机械记忆概念、强化题海训练来实现，而是要将数学核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中：学生一要重视基本图形和基础知识，摒弃题海战术;二要关注思想方法的提升，做到一题多解、多题一解，将代数、几何知识融会贯通，会用代数的观点分析几何问题，用代数方法(方程、不等式、函数等)解决几何问题，会从几何的角度理解代数问题，寻找几何基本图形，通过数形结合，将归纳、类比、化归、分类等方法运用到解题过程中；三要养成独立思考的良好习惯；四要积累考试经验，懂得取舍，压轴题题一般有多问，而且层层递进，能力要求较高，应该在确保前面题目的正确率的基础上去做。最后，祝同学们在中考中考出优异的成绩。
论文作者:张永祥
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年12月总第284期
论文发表时间:2018/11/2
标签：求出论文; 函数论文; 抛物线论文; 角形论文; 几何论文; 坐标论文; 对称轴论文; 《教育学文摘》2018年12月总第284期论文;