分数的教学与数学思维，本文主要内容关键词为：分数论文,思维论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一些大学教师（特别是数学教授）在关注小学数学教学时，往往以“分数教学”作为直接的切入点。面对这一现象我们也许应当思考：这些数学家为什么特别关注分数的教学？例如，自然数相对于分数而言显然更为基本，但为什么未能获得数学家的同样关注？
对于上述问题当然可以从多个角度进行分析。笔者在此则愿特别强调这样一点：分数正是数学思维真正进入小学数学的地方！笔者以为，这一解答也为以下现象提供了一个可能的答案：有经验的小学数学教师都知道，分数也是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并因此在小学生中出现了两极分化——从而，我们似乎可以得出这样的结论：数学思维的学习相对于具体数学知识的学习而言不仅更加重要，而且更加困难。
下面就从数学思维的角度围绕分数的几个常见定义提出自己关于分数教学的一些看法。
一
一个基本事实是，人们对于分数的认识有一个不断发展与逐步深化的过程。这也正是造成以下现象的一个直接原因，即在分数的教学中人们何以会给出多个不同的“定义”，包括分数的“份数定义”“商的定义”与“比的定义”等。这些“定义”就可以看成数学历史发展的一个缩影。
那么，在分数的教学中我们是否就应特别重视由多个不同定义向严格的数学定义（即能够“正确反映分数本质”的定义）的过渡呢？笔者以为，从思维发展、特别是数学思维的学习这一角度去分析，我们或许应当更加强调这样一点：分数的概念事实上包含了多个不同的方面，因此，我们在教学中应注意帮助学生从多个不同的角度去理解，并努力实现这些方面的必要互补与适当整合。
应当强调的是，除了分数之外，这里所说的“多元性”与“整合性”对于其他许多数学概念同样也是成立的，我们也可将这里所说的不同侧面拓展到更多方面，包括实物操作、图像表示、语言解释、符号表征、现实背景等。例如，分数的“份数定义”事实上就为分数的引入提供了重要的现实背景，它与“平均分”这一实际操作有着直接的联系；“用数射线表示分数”则显然包括了由“语言解释”向“图像表示”的过渡。
美国学者莱许等曾明确指出：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式——如图像、书面语言、符号语言、现实情境等——同样也发挥了十分重要的作用。”从而，就数学概念的教学而言，我们不应片面强调其中的任一方面，乃至将各种解释（或定义）看成互不相关、彼此独立的，而应对此很好地加以整合，即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换（如图）。
显然，上述的分析事实上也就从一个角度清楚地表明了分数的学习对于学生学习数学思维的特殊性和重要性，因为思维的灵活性与综合性正是数学思维最重要的性质之一。
二
数学思维的现代研究表明，算术（和代数）思维与几何思维相比有着不同的性质，特别是，如果说几何抽象主要是一种以对于物质对象的直接感知为基础的“经验抽象”，那么，由过程向对象的转变（这就是所谓的“凝聚”）则可看成算术（和代数）思维的基本形式（详见笔者另著《数学思维与小学数学》，江苏教育出版社，2008年版，第三章）。
事实上，即使就自然数的运算而言，就已在一定程度上包含了由过程到对象的过渡。例如，我们将注意力集中到自然数加法与乘法的这样一些性质，如3+4=4+3、3×4=4×3等，这时我们所关注的就不再是如何去实施相关的计算，而是转移到了这一过程的最终结果，并将后者当成了直接的考察对象。
当然，上述的分析应当说已经超出了自然数教学的范围，因为自然数教学的重点显然在于如何帮助学生较好地掌握自然数的运算；与此相对照，由过程向对象的转变对于分数的认识则有更大的重要性，这正如人们所熟知的，不少学生在学习分数时最为困惑的地方是：在尚未求得两个自然数的比值的情况下，我们怎能将它们的商（比）看成一个真正的数？
因此，如何帮助学生逐步适应由过程转向对象这样一种思维方式，这就是分数教学的一个真正难点。从这一角度去分析，以下关于“认识分数”的教学设计显然就不够妥当：由1÷2直接引出
，即将直接定义为“1÷2的商”。如果这时学生仍然停留于“（计算—结果）过程”这样一种认识，即其主要关注的仍然是如何由被除数与除数去求得相应的商，这样的处理显然就包含了思维的极大跳跃，从而对于一般学生而言就是很难接受的（作为对照，“1÷2=0.5”这样的算式对学生而言显然就要容易接受得多；但是，如果考虑到除不尽的情况，乃至无限不循环小数的存在，我们就又同样陷入了过程与对象的“矛盾”）。进而，这事实上也可看成人们在分数教学中何以普遍倾向于以“实物分割”来引入分数的主要原因，因为在这种情况下，由过程向对象的转化是十分自然的。正如张奠宙先生所指出的：“大家常用的例子是分大饼……1个大饼由4个人‘平均分’……现在1被4除，不能整除。可是，每个人又确确实实分到了一块饼……”
正是从上述角度去分析，笔者以为，如果我们未能首先突破上述的难点，直接向学生点明“分数就是我们结识的新朋友……是‘新’的数、新朋友”，恐怕就未必“会使儿童觉得更加亲切”。另外，如果学生尚未能够将、
等分数看成真正的数学对象，这时就立即引入分数的运算也不够恰当，因为即使这时学生仍可依靠实物（折纸）或图形的帮助完成相关的计算，比如写出诸多像
这样的算式，这种认识也显然不具有可迁移性，更不能看成已经很好地理解了分数的意义和分数运算的意义。
三
如果说分数的“商的定义”直接涉及了过程与对象之间的关系，那么，对于分数的“比的定义”我们就应从另一角度去作出新的认识。具体地说，正如上面所提及的，如果说分数的“份数定义”可以看成借助实际生活中部分与整体的关系（包括“平均分”这样一种具体操作）为由过程向对象的转换（也即为什么可以将分数看成一个真正的数）提供了适当解释，那么，“比的定义”就不仅在于同样将分析的着眼点由真实事物的数量属性转向了对象间的关系，而且也对后者的意义作了进一步的拓展，即是由具体事物扩展到了抽象的数，也即由实际生活中部分与整体间的关系扩展到了自然数与自然数之间的量性关系。
在此要强调的是，无论是将分析的着眼点由真实事物的数量属性转向对象之间的数量关系，或是由具体事物部分与整体之间的关系扩展到数与数之间的关系，应当说都代表了更高级的一种思维形式。特别是，前者同样可以看成从又一角度为学生顺利接受分数这样一种新数提供了必要的意义，后者则更为直接地关系到了“数学化”这样一种思维方式，也即由现实背景转向了纯粹数量关系的考察。
从上述角度我们也可更加深入地理解分数的“比的定义”对于学生学习数学思维的重要性。第一，以已有的数（在此指自然数）为基础去建构新的数（在此指分数）正是数系不断扩张的基本形式，从而也就可以看成数学思维的又一重要内涵。这正如著名心理学家皮亚杰所指出的，“自反抽象”正是数学抽象的基本形式，即如何“把从已发现的结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”。第二，在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的定义和推理规则去进行推理，因此，数学对象的性质就完全反映于它们的相互关系。从而，在数学研究中我们也就必须习惯于从对象之间的关系这一角度去进行考察，或者说，数学对象本身就应看成是一种整体性的“结构”（应当提及的是，由“对象”向“关系”的转变事实上也可看成“系统论”这一新兴学科、包括“系统思维”的主要特征。从而，这也就从一个更为广泛的角度指明了分数学习对于思维学习的特殊意义）。
总的来说，上面的论述显然表明：分数的“份数定义”“商的定义”与“比的定义”确实体现了不同的分析视角，也即分别强调了分数的现实背景（与操作意义）、由过程向对象的过渡以及由对象数量属性向数量关系的转变。从而，我们就不应片面强调其中的任何一个，而应更加重视它们的必要互补与适当整合，包括从一些新的方面去进行分析以促进认识的进一步发展与深化，如用数轴表示分数等。
四
在分数作为一种新数，也即作为数学的直接研究对象这样一种地位得到确立之后，“类比”这一思维形式的重要性就得到了凸现。因为无论就分数的大小比较或是分数的运算而言，无非都是将学生所熟悉的自然数的各种性质推广应用到了分数这样一种新数之上（正是从这一角度去分析，我们在此似乎也就没有必要突出强调“大小”这两个字，因为“大小”正是任何一种数的一个基本属性——当然，随着数的概念的进一步扩展，对此我们又必须作出必要的修正或扩展）。例如，为了引入分数的除法，就未必一定要刻意地去创设一个相关的现实情境，其实也可以通过与自然数的类比直接点明研究分数除法的必要性（这方面的一个实例可见郑毓信《理论视角下的小学数学教学——案例三则》，《小学教学》2007年第7期）。
由于“求同存异”正是成功应用类比的关键所在（详见笔者另著《数学思维与小学数学》第二章），因此，在分数的教学中我们应当特别注意引导学生清楚地认识分数与自然数的不同之处。例如，与自然数不同，分数具有多个不同的表示法
，这是顺利实施分数的各种运算的一个必要前提（这也正是所谓的“分数的基本性质”这一提法的原由）；除法相对于分数而言具有封闭性，即在分数范围内总是可以实行的；等等。笔者以为，只有清楚地认识到分数的这些特殊性质，学生才能真正理解“分数是一种新的数”，并逐步对此熟悉起来。
由上面的分析可以看出，由于分数的学习不仅直接涉及各种具体的数学知识，而且也与数学思维的渗透与学习有着重要联系，因此，分数的理解就有一个较长的过程，在教学中更可能出现“先掌握算法、再逐步理解”的情况，包括“由记忆通向理解，通过记忆加深理解”等。在笔者看来，这事实上也为以下现象提供了可能的解释：在具有较多数学知识（如完成初中的学习任务）以后，大多数学生在小学学习分数时曾经历的困难似乎都自然而然地消失了。例如，尽管这时他们往往仍然不能准确地说出分数的定义，也未必能对分数运算法则的合理性作出清楚说明，但大多数学生都已很好地掌握了分数的运算与大小比较，并不再为分数究竟能否是一种真正的数感到困惑。因为这时的学生已对相应的数学行为、包括更深层次的数学思维较为熟悉和适应了。
当然，上述的事实又不应看成是与以下论点直接相冲突的：只有真正理解了分数的意义，我们才能很好地认识分数的各种性质，包括清楚地理解各种算法的合理性，并切实避免对于算法的机械记忆与纯粹模仿。毋宁说，这更加清楚地表明了学生思维发展的阶段性与复杂性。