直觉主义谓词逻辑与经典谓词逻辑的矢列演算系统论文

直觉主义谓词逻辑与经典谓词逻辑的矢列演算系统

余军成

（贵州工程应用技术学院逻辑与文化研究中心，贵州毕节 551700）

摘要：在达米特给出的直觉主义谓词逻辑矢列演算系统的基础上，构造一个与等价的系统，这有助于研究直觉主义命题逻辑的可判定性问题。与此同时，还构造经典谓词逻辑的矢列演算系统以及直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统，这有助于探讨直觉主义逻辑与经典逻辑之间关系。

关键词：直觉主义谓词逻辑；经典谓词逻辑；矢列演算系统

矢列演算是一种形式理论，它是关于结论及其所依赖假设之间的可推导关系的。^[1]其应用是非常广泛的，特别是在自动化证明搜索系统、逻辑编程等之中。达米特（Michael Dummett）的直觉主义谓词逻辑自然演绎系统虽然是用矢列式表示^[2]88-89，却并不是矢列演算系统，更何况系统没有子公式性质，这对于自动化证明搜索而言，就没有办法实现。为此，我们将进一步探讨直觉主义谓词逻辑与经典谓词逻辑的矢列演算系统以及各个逻辑系统之间的关联性。

1 关于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统

对于系统而言^[2]96，矢列式，可以用一个有序对来表示。其中，表示一个公式，或者视为空集（）；是公式集，它是一个有穷集或空集。^[3]当表示空集时，“”缩写为“”；如果是不一致的^[2]96，那么矢列式就是可证的。是不一致的，当且仅当。然而，在系统中，矢列式的后件不包括空集，仅仅是一个公式。^[2]88

关于系统的规则集，它囊括结构规则与逻辑规则^[2]97：

（9）Property Rules,Liability Rules,and Inalienability:One Viewof the Cathedral.

结构规则：

关于结构规则，尽管只有一条弱化规则，但是，可以区分为左边的弱化规则和右边的弱化规则。^①

逻辑规则

锡伯族妇女能歌善舞，心灵手巧，她们的传统双面刺绣独具特色，在锡伯民俗博物馆内有展出，得到游客的一致好评。在手工艺品商店，各类手工艺品在旅游旺季十分畅销，增加了当地居民收入。

关于系统，特别提醒三点：可视为空集，或者是一个公式；与系统中关于“证明树干”、“证明树（或证明）”的定义，是一致的^[2]89；关于和的规则，需要满足三个条件才能成立。^[4]96

在系统中，对于规则而言，用两条规则来表示却更自然些：

然而，如果使用左边的弱化规则，显而易见，这两条规则并无本质上的区别：

假设我们把视为初始矢列式，那么右边的弱化规则是不可或缺的^[2]97，而左边的弱化规则正好相反，却是可推导的。

如果我们使用系统NSI 中的一阶逻辑形式语言^[5]，那么系统右边的弱化规则就变成，不仅可用或某对精选的矛盾来表示空集，而且规则是可推导的。因此，我们还能构造一个系统，与系统是等价的：

倘若我们根据更加一般化的矢列式，其中与是由公式构成的有穷集或空集，通过修改系统，我们就能得到经典谓词逻辑的矢列演算系统。^②在中，当且仅当在所有解释下，在中的每一个公式为真时，在中至少有一个公式为真，矢列式就是可推导的。而且，其初始矢列式是。

结构规则：

逻辑规则：

其他逻辑规则，不再分别给出证明过程。（证毕）

式中:y C n为按碳数归类的重烃组分的摩尔分数，%，即在色谱图上保留时间为碳数(n-1)的正构烷烃和碳数为n的正构烷烃之间所有组分含量之和，其中不包括(n-1)的正构烷烃，但包括n的正构烷烃的含量;y i C n为碳数为n的i组分的摩尔分数，%。

关于这两点，就如同系统中有左边的弱化规则。不仅如此，关于系统的逻辑规则，在系统中是可推导的：

事实上，关于系统与系统，还含有一条并未显现的结构规则，即收缩规则：

逻辑规则：

3.4 完善产后管理体系，增加提醒系统提醒系统缺乏是GDM产妇进行血糖筛查的阻碍因素。提醒系统能有效提高GDM产妇产后血糖筛查率，并且短信、邮件、海报是产妇最喜欢的提醒方式[13-14]。作为医护人员，可以在GDM产妇出院前告知其需要在产后6～12周进行血糖筛查，复查前使用短信、电话或邮件等再次提醒产妇，在产后门诊室增加宣传海报。此外，可通过微信群组和公众号定期向产妇发送提醒消息，提醒产妇按时进行血糖筛查。

2 关于经典谓词逻辑的矢列演算系统

板式换热器是利用以波纹板的新型高效换热器，按照一定的间隔，利用橡胶垫片压紧构成的可以拆卸的换热器设备.冷、热流体交替地在板片两侧流动，通过板片进行热量交换.板片通常是制成各种槽形或者波形的板面，这样不仅增强了刚度，而且不致受压变形，同时也增大了液体的湍流程度，增大传热系数，而且也有利于流体的均匀分布.板片上的四个角孔，能够形成流体的分配管和泄集，两种换热介质分别流经各自流道，形成逆流或者并流通过每个板片进行热量的交换[9].

结构规则：

是由公式构成的集合，因此，运用集合论的知识，集合。

我们也可以用两条规则表示：

如果利用右边的弱化规则，显而易见，这两条规则并无本质差别：

秦风的数学不错，就是语文差了点，特别是阅读和作文最让他头疼了，而我刚好有能力帮助他。我先借了几本作文书给秦风看，看完一个章节，我就让他说说里面所讲的故事内容，有针对性地训练他的叙述能力，也让他大概明白，写作文要写些什么内容。他看得很认真，总结内容提要说得不错，我很为他高兴。

排中律在经典逻辑中是可证的，因此，我们可以利用排中律在系统中是否可证来判定。下面，可以给出的完整证明过程：

3 与系统不同的矢列演算系统

我们同样可以采用构造系统的方法，来构造一个与系统不同的矢列演算系统。需要提及的是，在系统中，逻辑规则，与系统的这三条规则，其限制条件是一样的；剩余规则与系统的规则相比，则维持不变。我们能够轻而易举地给出系统的结构规则与逻辑规则：

随着“一带一路”倡议的不断深入，越来越多的中资企业参与到海外电力投资中，企业应充分认识到风险与收益是并存的，在加快推进海外投资步伐的同时加强风险管控，将风险管控作为海外投资的一项重要成本在前期费用中予以充分考虑。做足做实尽职调查工作，认真研判协议分担、风险自留、保险转移与风险避免等防控手段，并在项目后期做好风险的动态跟踪，多措并举，将项目风险防控落到实处。

逻辑规则：

就直觉主义谓词逻辑的形式化而言，一方面，与系统相较，系统并不显得自然。另一方面，与系统相比，系统依然没有有效地摹拟自然推理。虽然如此，如果我们通过检查系统的所有规则，那么就会有一个非常重要的发现，即系统具有子公式性质。^③

4 矢列演算系统与自然演绎系统的关系

如前所述，系统与系统都是形式系统，也同是刻画直觉主义谓词逻辑的，那么，二者显然是等价的。一个随之而来的问题，我是否可以证明，当且仅当。

结构规则：

定理1^④：倘若，则。

证明：在系统中，有系统的引入规则和弱化规则，因而，我们不仅要证明右边的弱化规则在系统中是导出规则，而且左边的引入规则亦同样如此。当为空集时，我们就用来替换，也可用某一对精挑细选的矛盾。下面，我们给出关于右边的弱化规则在系统中是导出规则的证明过程：

再给出的证明：

与系统的结构规则和逻辑规则相比较的话：系统的结构规则只有一条弱化规则，而且关于逻辑联结词的规则没有，却增加了规则。在系统中，可限制为；有些逻辑规则，如果含有两个前提，诸如，利用规则，则具有相同的语境。我们以规则来看：

自然而然地，我们应该继续证明定理1的反面。可是当我们再采用同样的方法来证明时，却发现此路不通。为什么就行不通呢？根源在于：这两个系统是否都具有子公式性质，而系统显然并不具有。如果我们想要利用系统的规则，从自然演绎系统的消去规则的前提来推导这个消去规则的结论，那么只能无功而返。究其缘由：在系统中的消去规则并非系统的导出规则。在系统中，倘若某个消去规则的前提可证，该消去规则的结论就可证。这就是自然演绎系统的消去规则，在中成立的条件。

要想实现证明定理1的反面，我们就不得不借助系统。即在系统的结构规则与逻辑规则的基础之上，添加切割规则：

2）A级高度钢筋混凝土部分框支剪力墙，6度最大适应高度120m，但平面和竖向均不规则的建筑，按减少20%控制，即：120×（1-20%）=96m＜98.4m（超 2.5%）。

因为有了切割规则，系统就没有子公式性质。但是，我们易证

定理2：只有，才。

估值接近历史低点。以沪深交易所公布数据来看，截至2018年12月27日，上交所1450家上市公司，平均市盈率12.44倍；深市主板474家上市公司，平均市盈率13.96倍，中小板922家上市公司，平均市盈率22.53倍，创业板738家上市公司，平均市盈率32.07倍。上证指数2013年6月25日在出现1849点是平均市盈率10.06倍，创业板历史最低市盈率在26倍左右，无论上证指数还是创业板指数估值均处于地位，距离历史最低值大约仍有20%左右空间。如果认为是大牛市起点，底部还显得不够扎实，但如果是大反弹的起点，是足够的了。

证明：关于的引入规则、弱化规则，在中仍然成立。因而，我们仅仅需要证明的是，的消去规则在中的证明是导出规则。当为空集时，可用或者某对挑选的矛盾替换。我们先给出规则的证明过程：

再给出规则的证明：

建国之前的美国人多半把英国视为“母国”。北美殖民地为什么可以脱离“母国”而独立呢?这曾是一个反复困扰着美国人的理论难题。众所周知，潘恩撰写《常识》以及杰弗逊等人起草《独立宣言》，正是以一种“主权在民”和“社会契约论”等独具特色的自由主义观念，解释了美国脱离英国而独立的原因。《独立宣言》明确宣布，统治者的统治必须征得被统治者同意，而英国对北美殖民地的统治侵害了殖民地居民权利，违背了他们的意愿，因而不具有合法性。自由主义成了北美殖民地独立和新国家建国的基本依据，这表明，没有相对一致的自由主义观念，由殖民地组成的美利坚合众国便失去了立国之本。

规则、，就不再给出具体证明过程；然而，对于规则、的证明，还需要利用可逆性定理^⑤（简称“”，是inversion lemma的缩写形式）：

我们已经证明系统的规则是系统的导出规则，并且，同样证明切割规则是系统的导出规则：

因此，系统与系统是等价的。

现在，我们还需要证明切割消去定理。^[6][7]如前所述，因为与的唯一区别在于：前者含有切割规则，而后者没有。关于这个问题，根岑（Gerhard Gentzen）在经典谓词逻辑的矢列演算系统中已首先提出并解决，即含有切割规则的经典谓词逻辑矢列演算系统与不含该规则的矢列演算系统，二者是等价的。对于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统而言，切割消去定理同样适用，因而，从理论上无需再证。

5 结语

文章既构造了直觉主义谓词逻辑的各种矢列演算系统，也探讨了经典谓词逻辑的矢列演算系统。这些工作，一方面为研究直觉主义命题逻辑的可判定性问题奠定坚实基础，另一方面，通过矢列演算系统的构造方法，可以进一步探讨经典逻辑与直觉主义逻辑之间的关系。矢列演算系统与自然演绎系统是等价的，而且借助系统的中介作用，利用切割消去定理，从理论上能够证明二者的等价关系。^[4]101尽管如此，但是从技术上，我们并没有真正实现。其根源在于：我们需要证明关于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统中切割消去定理是成立的，也就是要能够真正给出关于切割消去定理的完整证明过程。这恰恰是我们即将探讨的核心问题。

1.2 分组 ①观察组中，男58例，女42例;平均年龄76.5岁;Braden量表评分13分者68例，14分者32例。②对照组1中，男46例，女54例;平均年龄74.1岁;Braden量表评分13分者55例，14分者45例。③对照组2中，男52例，女48例;平均年龄73.5岁;Braden量表评分13分者51例，14分者49例。3组患者一般资料比较差异无统计学意义。

注释：

①逻辑规则的记法类似，虽然这与达米特的记法略有不同，但并无本质区别。

②“⋆”以示区别于根岑构建的经典谓词逻辑的矢列演算系统，参见Gentzen,G.Investigations into Logical Deduction[J].American Philosophical Quarterly,vol.1,1964：295-297。

③系统的子公式性质：在矢列式的证明中，出现在该证明的任意一个矢列式中的任何一个公式，一定是的子公式，或者是中其中一个公式的子公式。

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④文中加粗的“定理”采用顺序表示法，特此说明。

本文旨在研究红外蒸汽烤制对烤鸭理化品质的作用，探索烤制过程中烤制温度、蒸汽烤制时间和蒸汽喷射时间等因素对烤鸭品质的影响，通过单因素试验和正交试验，得到最佳工艺参数。在保证烤鸭传统风味的基础上，实现低耗损，低排放，低危害物含量，提高产品品质，为工业化、连续化生产提供指导。

⑤达米特既没有明确提出并证明该定理，也没有明确说明在定理2的证明中运用该定理；根岑的学生凯托宁（Oiva Ketonen）在经典逻辑系统中证明了所有逻辑规则的可逆性定理，参见Paul Bernays.Review[J].The Journal of Symbolic Logic,Vol.10,No.4,1945：127-130。

参考文献：

[1]Sara Negri&Jan von Plato.Proof Analysis：A Contribution to Hilbert’s Last Problem[M].Cambridge：Cambridge University Press,2011：85.

[2]Dummett,M.Elements of Intuitionism[M].Oxford：Oxford University Press,2000.

[3]余军成.论直觉主义谓词逻辑的矢列式自然演绎系统与公理化系统[J].贵州工程应用技术学院学报，2017（3）：1-8.

[4]余军成.达米特直觉主义逻辑哲学思想研究[D].北碚：西南大学，2016.

[5]余军成，何向东.论直觉主义谓词逻辑的矢列式自然演绎系统[J].湖南科技大学学报（社会科学版），2016（5）：31-35.

[6]Gerhard Gentzen.Investigations into Logical Deduction[J].American Philosophical Quarterly,1964（1）：298-306.

[7]余军成，刘明元.关于切割规则的可容许性定理的一个注释[J].贵州民族大学学报（哲学社会科学版），2016（5）：103-117.

Sequence Calculus Systems for Classic Predicate Logic and Intuition Predicate Logic

YU Jun-cheng
(Center for Logic and Culture,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China)

Abstract: On the basis of Dummett’s sequence calculus system for intuition predicate logic,the article constructs an equivalent systemto,which helps to study the decidability of intuition propositional logic.At the same time,the article also constructs the sequence calculus systemfor classical predicate logic and the sequence calculus systemfor intuition predicate logic,which will help to explore the relationship between classical logic and intuition logic.