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科学数学化是一动态发展过程，在科学发展的不同历史时期，其表现形式各不相同。由于现代科学认识的一系列特点及数学科学的特殊性，数学在现代科学认识中具有一种能动作用，它不再仅仅是科学的通用语言或表述手段，而是科学发现和理论构建的重要方法。
一
科学数学化，起始于运用数学对那些要被数学化的科学在经验水平上获得的实际材料进行量的研究（也即经验算术化），进而是用数学来表述经验的科学规律。古、近代科学的数学化基本上是处于这种阶段。尽管在近代科学的产生过程中，牛顿、笛卡儿等人不同程度地强调了数学方法的重要作用。但从整体上看，数学在近代科学中的作用是描述性的，主要局限于把经验事实或概念翻译成数学的语言，或者是把经验归纳确定的定律用某种数学函数关系来表示。这同近代科学认识的经验化倾向及对归纳方法的权重密切相关，牛顿曾说：“任何不是从现象中推论出来的说法都应称之为假说，而这种假说，无论是形而上学的或是物理学的；无论是属于隐蔽性质的或者是力学性质的，在实验哲学中都没有它们的地位。在实验哲学中，命题从现象推出，然后通过归纳使之成为一般。”①在这一过程中，数学方程是对归纳结果的量化，它本身具有一种直观性，不需要对之进行解释。
随着现代科学及数学的发展，尤其是电子计算机的出现，使得数学广泛地渗透于科学研究的各个领域。但是，数学应用范围的扩大仅仅是一种表象，它还不足以揭示现代科学数学化的本质。我们认为，与古、近代科学数学化相比，现代科学数学化具有两个特征：其一是结构性。现代数学的研究对象主要是各种抽象结构，而且它原则上拥有一切可能存在的抽象结构，这使它成为科学揭示各种实在结构的工具。现代科学数学化的实质，在于用数学的抽象结构去把握和揭示各种现象或过程的结构。其二是创造性。在现代科学认识中，数学已成为科学发现和理论形成的重要手段，它渗透于科学发现及理论形成的具体过程，在一定程度上预示和规范了科学的发展方向。本世纪以来的一系列重大科学理论，如相对论、量子力学、基本粒子物理学、统一场理论等，它们的建立从一开始就以一定的数学理论为先导。更为奇特的是与这些科学理论相适应的数学理论形式，早已为数学家们所“预备”。黎曼几何之于相对论、矩阵代数之于量子力学、纵维丛理论之于基本粒子物理学、群论之于统一场理论，类似例子不胜枚举。可以说，数学是现代科学的认知结构，是科学理论的有机组成部分。
数学在现代科学认识中的能动作用，具体反映在以下方面：
第一，主体借助于数学构造概念和定律。现代科学认识对象日愈远离人的感觉经验，在概念、定律和经验事实之间没有也不可能有任何逻辑通道，在经验事实的基础上，只有通过思维的能动创造才可能构造出新概念和定律。数学作为一种高度抽象的思维形式，无疑是主体构造概念、定律用以把握客体本质的有力手段。爱因斯坦说：“迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律。”②一般而言，数学在发现概念或定律中的作用，具体借助一定数学模型来实现。也即针对特定问题先构造数学模型，然后对其进行合理的经验诠释，进而提出新概念或定律。能量子概念、反粒子概念、广义相对论中的引力方程、量子力学波动方程等的产生都是较为典型的例子。
第二，主体借助于数学建立科学理论的形式结构。现代科学理论的形式结构基本上属逻辑演绎结构，由于科学的数学化，它往往又外现为一种抽象的数学形式结构，这在理论科学中表现得尤为突出。因此，数学自然成为构建科学理论形式结构的主导工具，而且科学理论形式结构的建立往往超前于理论的经验诠释。例如：1925年前后，海森堡、薛定谔、狄拉克等人分别沿不同的数学途径建立了量子力学的矩阵形式与波动形式，而且薛定谔还证明了它们间的数学等价性。但在当时，这些数学形式结构的物理实质却是一个谜。尔后，海森堡、玻恩和玻尔等人对此形式结构进行了经验诠释，从而形成了量子力学的哥本哈根解释。玻尔晚年回顾量子力学发展史时曾说：“我们由此得到教益，似乎把我们带到了在形式和内容中追求谐和的永无休止的努力中的一个决定步骤，而且似乎已经再一次告诉我们，没有一个形式的框架就不可能掌握任何内容。”③
第三，科学理论的数学结构具有同化和选择经验事实的功能。科学知识本质上是一种经验知识，理论的形式结构本身并不能提供对客观世界的真实描述。因此，对科学理论形式结构（数学结构）的经验诠释是理论构建的重要一环。但这种经验诠释在很大程度上受数学形式结构的制约，形式结构决非仅仅是经验事实的容器，它还具有同化和选择经验事实的功能。在对量子力学数学形式结构的物理诠释中，海森堡等人就持这样一种观点，自然界的构造应服从我们所导出的形式关系，只要预先假定其符合数学描述的内在逻辑即可。量子力学形式结构中算符的非对易特征，反映了实验操作之间的一种互斥关系，由于有关物理量是通过实验操作来测量和定义的，因而它们应遵循海森堡测不准原理。从本质上看，测不准原理不过是形式结构中算符非对易性的一种具体化表征，而玻尔的互补原理则是为了获取有关原子现象完整图象的一种要求。可以说，量子力学的物理诠释为其形式结构所蕴含，一切矛盾的清除，首先由形式结构的逻辑一致性来保证。
第四，数学美是评价科学理论的重要标准之一。数学在现代科学认识中的能动作用，不仅体现在理论的构建过程，而且反映在对理论的评价方面。由于现代科学认识的抽象性，对科学理论的外部经验证实越来越难，外部经验证实的周期相对较长，因而科学家们往往权重于用“内在的完备”标准来评价科学理论。狄拉克等人认为，科学家在致力于用数学形式表示自然界时，主要应追求数学美。在评价爱因斯坦相对论时，狄拉克说：“我认为，信仰这个理论的真正理由就在于这个理论本质上的美。这种美必定统治着物理学的整个未来发展。即使将来出现了与实验不一致的地方，它也是破坏不了的，这些与实验不一致的地方必须只看成是我们目前理论中的不足之处。”④
二
数学对称性方法在现代物理学中的广泛运用，是数学在现代科学认识中的能动作用的一个典型案例。具体考察和分析数学对称性方法的实质与特征，有助于我们加深对数学能动作用的理解。
历史地看，对称性方法的发展经历了直观唯象阶段、理性抽象阶段与数学变换阶段。在古代与近代科学认识中，唯象对称方法与抽象对称方法都曾起过重要的作用，但两者都属于定性的对称性方法。随着科学的数学化，数学变换不变性意义上的对称性方法应运而生。在经典力学中，基本定律对于伽利略变 换是协变的，但对这种数学对称性人们却缺乏充分认识。当时的科学家们是从已为实验证实的方程中去认识这种对称性，它外现为认识的一种结果，在科学认识与理论构建中只起一种从属的作用。但在现代科学认识中，数学对称性的作用与意义却同以往根本不同，这种转变始于爱因斯坦相对论的创立过程。
狭义相对论的建立是基于如困境“麦克斯韦电动力学……运用到运动的物体时，就会引起不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。”⑤爱因斯坦通过引入比伽利略变换群更宽广的洛伦兹变换群，从而消除了这种不对称性。广义相对论的创立则是追求基本方程对更为宽广的变换群保持协变的必然结果，例如：在引力方程的形成中，爱因斯坦从数学对称性出发，首先要求它们对广义非线性变换群保持协变，然后再寻求它们的确切表达式。杨振宁先生说：“爱因斯坦不是从实验上已证实的麦克斯韦方程组出发，去追问这些方程组的对称性是什么，而是把局面扭转过来，从对称性去发问方程组怎样。把原先的地位颠倒过来的这一崭新程序，我曾称之为对称性支配相互作用”。⑥质言之，根据数学对称性进行研究，在经验方面获得的规则不再是出发点，而对称性要求才是理论构建的起点，对经验规则的阐述，必须符合对称性要求。
相对论的创立对规范统一场理论的研究产生了巨大影响。规范统一场论的核心思想是局域对称性原理，即自然界中每一种连续对称性都是局域对称性。其基本观点在爱因斯坦广义相对论中已有反映，并为杨－－米尔斯规范理论所发展。鉴于量子力学是严格的U(1)局域不变性理论，杨振宁和米尔斯提出了强相互作用的Su(2)同位旋规范理论。即假设所有物理过程（不包含电磁作用）在同位旋变换下保持协变，并且为保持物理系统的Su(2)局域对称性。那么，相应于Su(2)群的每一个生成元，必须引入一个规范场，且使其同时作一变换，以保证理论系统的局域规范不变性。尔后，杨－－米尔斯规范理论被推广到更一般的情形，并获得了一系列富有成效的结果。近三十多年来，基本粒子物理学研究获诺贝尔物理学奖的共6项，其中4项与对称性理论直接相关，即：1957年李政道、杨振宁的宇称不尽守恒理论、1963年维格勒的对称群物理学、1965年格尔曼的幺阵对称理论和1979年格拉肖、温伯格、萨拉姆的弱电统一规范理论。
目前，由规范对称性去构造场方程已成为场论中主导的和有效的研究方式，许多物理学家甚至持有这样的信念：自然界的所有基本力都是由一些对称原理产生的。从理论的生成机制上看，对称性具有一种动力学效应。另一方面，理论的对称性与简单性、统一性之间又具有某种内在的联系，因而被科学家们 视为评价相互竞争理论的标准之一。格拉肖说：“我们提出的一系列假说和推测，不可避免地导致这样的结论：Su(5)是这个世界的规范群－－并且所有的基本粒子力（强、弱和电磁）是具有单一结合力的同一基本相互作用的不同表现。我们的假说也许是错误的，我们的推测也许是无效的，但是我们图式的唯一性和简单性是应予认真对待它们的充分理由。”⑦
三
现代科学数学化的特征及数学在科学认识中的能动作用，在很大程度上是由现代科学认识的特点决定的。
众所周知，近代科学（也称经典科学）是一种宏观经验科学，它主要采用直观模型，应用日常经验语言来描述。对某一现象或过程的认识归根结底意味着建立符合它们的模型，该模型能直观地显示出作为该现象或过程基础的法则。例如在经典物理学中，对研究对象建立直观力学模型被视为一种理想和完备的解释，这种思维模式在相当长的时期内支配着科学界。在科学理论的构建中，科学家们十分重视概念与命题同感觉经验间的直接对应关系。与此相适应。归纳法是近代科学认识与理论构建的主导方法，科学概念与命题正是通过归纳途径同经验事实相联系，从而确保它们的可靠性与直观性。总的来看，近代科学理论构建模式立足于从经验内容方面来洞察知识本身，经验事实具有双重作用，它既是理论产生的源泉，又是验证理论的终极标准。这种经验论倾向虽有一定的认识背景及合理性，但其极端化导致了对理论形式结构在选择或同化经验事实方面能动作用的忽视，而仅仅把它视为装填经验材料的一种容器。当时的科学家们普遍认为，原始经验是绝对中立的，人类的观察、实验等活动独立于理论之外，也即是存在所谓的“中性”观察，这无疑是对认识主体能动作用的一种忽视。事实上，科学家们获取经验事实的途径，他们对经验事实的同化与选择，都受制于一定的认知框架，没有也不可能有“中性”的观察和“纯粹”的经验材料。
现代科学的认识对象日愈远离人的感性直观，向宏观和微观领域拓展。认识对象的这种非“宏观性”特征。再也不能用直观模型与日常经验语言来直接描述。这一事实在量子力学研究中有充分的反映。如果用经典力学概念直接描述微观粒子的运动，必然导致波粒二象性详谬。为了弥补经典概念的不足，必须引入超出日常经验语言的形式语言－－数学符号语言，并对经典概念的使用进行某种限制。狄拉克用如下方式概括了所出现情形：“物理科学的主要任务并不在于为我们补充直观图象，而在于要表达出支配现象的规律……。不能期望在原子物理学中存在通常词义下的直观图景，通常词义下的直观模型可以理解为基本上按经典原则起作用的模型。”⑧
形式语言的引入意示着对直观性描述的放弃，它使现代科学理论变得越来越抽象，并从根本上导致了科学理论经验内容与形式结构的反常模式。在现代科学认识中。主体为了把握客体的内容，必须把其形式结构从经验内容中剥离出来作专门研究，然后再借助形式结构返回内容，只有如此才能更深刻地理解客体内容的本质。现代物理学的研究表明，许多非宏观客体甚至仅具有用形式语言表述的性质，如微观粒子的自旋、宇称、奇异性等，离开一定的数学表达式，根本无法理解。从这个意义上说，形式结构是客体本质的规定性，科学认识越是深入客体的本质，越是需要借助对客体形式结构的认识与把握。因此，在现代科学理论构建中，理论体系形式结构的建立往往超前于经验内容的阐述，而且对形式结构的经验诠释受形式结构的制约。
在现代科学认识中，主体的能动性作用越来越显著。科学理论的构建主要依赖于主体的创造性活动。因此，适用于科学幼会时代的经验归纳法也逐渐让位于探索性演绎法。爱因斯坦曾反复强调：“我们思维和语言表达的各种概念，从逻辑上看都是思维的自由创造，它们不能从感觉经验中归纳地得到。”⑨
数学之所以在现代科学认识和理论构建中扮演如此重要的角色，还同其自身的特殊性密切相关。
第一，现代数学的主要研究对象是各种抽象的形式结构。
100多年前，恩格斯曾认为，数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。这一定义反映了数学知识的来源和当时数学研究的状况。但是，随着数学研究领域的扩展，诸如群、环、域、格和拓扑空间等等已不能为“数量关系和空间形式”所概括，它们作为普遍的抽象结构逐渐上升为数学的基本研究对象。现代数学研究的各种抽象结构是从具体现象和过程中剥离出来的，它们是现实结构的一种理想化模型。由于它们具有极大的普适性、从而为自然科学的许多学科所采用。恰如恩格斯所言：“从现实世界中抽象出来的规律，在一定发展阶段和现实世界相脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来规律与现实世界相对立。”⑩
第二，与现代数学研究对象相适应，形式运算是数学最基本的思维方式。
数学形式化地刻画所研究的对象，它的语言是一种人工符号语言，借助于这种语言，数学把思维过程简明扼要地再现出来。它把研究的各种抽象结构表示为某种数学不变式，这是数学有别于哲学及一般科学的实质。通过形式运算，数学可以把低级的形式整合到高级的形式中，逐级构造能够同化和选择经验事实的认知结构；另一方面，这种形式运算还能够把形式的关联与内容的真实性区分开，使形式独立于它的内容而便于思维操作。对科学认识而言，数学形式运算具有一种独特的认识功能，即它能够使主体的认识超越于对客体的直接经验，为认识客体提供一种形式框架。
近、现代科学发展的内史表明，科学理论的演化和进步同数学科学的发展相关。数学理论的变革往往是科学理论变革的前兆，数学发展的里程碑也多是科学发展的里程啤。数学在现代科学认识中的先导性作用正在合乎逻辑地增长。狄拉克在展望数学在现代物理学发展中的作用同时曾说：“数学和物理学走向统一的趋向，为物理学家提供了一种有力的新方法来研究这门学科的基础，即先选择那种人们认为将会构成理论基础的数学分支……沿着适当路线发展它，同时去寻找一种方式，使它显得自然地适合于物理解释。”(11)
注释：
① （美）H·S塞耶：《牛顿自然哲学著作选》，上海人民出版社1974年版，第8页。
②⑨ 许良英编：《爱因斯坦文集》第一卷，商务印书馆1977年版，第316、409页。
⑧ N·玻尔；《原子物理学和人类知识》，商务印务馆1963年版，第73页。
⑦ 狄拉克：《我们为什么信仰爱因斯坦相对论》，载《自然科学哲学问题丛刊》1983年第3期。
⑧ 许良英编：《爱因斯坦文集》第二卷，商务印书馆，1977年版，第225页。
⑥ 杨振宁：《场与对称性》，载《物理学史研究（二）复旦大学出版社1986年版。
⑦ 转引自K·威尔克斯《科学家是否需要科学哲学》载《自然哲学问题》1986年第4期。
⑧(11) 狄拉克：《理论物理学的方法》，载《自然科学哲学问题丛刊》1982年第2期。
⑩ 恩格斯：《反杜林论》，人民出版社1971年版，第51页。