数学教育改革与高考命题——关于2002年高考数学试题的命题说明，本文主要内容关键词为：命题论文,教育改革论文,数学试题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我国高中数学新课程从1997年开始试验，经历了六个年头，获得了许多有益的经验.随着时代的发展和教育改革的深入，世界范围的数学教育都显示新的特点和发展趋势.作为检测高中毕业生学习数学获得基础知识和数学素养情况的数学高考，必须体现新思想、新观念，促进中国数学教育改革.
2002年的高考数学科命题，在执行《考试说明》的各项规定中，创造性地贯彻数学教育的新思想、新观念，围绕对数学知识、数学理性思维、数学应用与创新意识和数学人文价值四个方面的考查来设计试卷和试题.发挥了数学高考的有效的选拔功能和对中学数学教育积极的导向作用.下面分别讨论和评价这四个方面的考查特点和意义.
1 基础知识和数学思想方法的考查
1.1 高中数学的主干知识构成试题的主体
高考数学科《考试说明》指出：“重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体.”如同以往，今年的命题继续坚持这一思想.在“3+x”及“文理合卷”试卷中，代数着重考查函数、数列、不等式、三角等主要内容；立体几何着重考查线面关系、线线关系，特别是它们之间的垂直关系；解析几何着重考查圆锥曲线和直线，特别是它们之间的位置关系.在“新课程”试卷中，除了注重上述知识重点之外，还注意突出新课程的特点，强化向量、概率、导数等新增加的主要内容的考查.在各套试卷中，涉及以上重点内容的知识点，均占全卷所考查的知识的80％以上.
1.2 抓住知识网络的交汇点设计试题
数学从本质上说是一个从客观事物中抽象出来的理性思辨系统，它撇开各种事物的具体属性研究它们共同的“数”“形”特征，它的形成和发展主要是运用逻辑、推演和思辨等理性思维方法，各部分知识之间必然有紧密的联系，构成一个严格的学科知识体系.高考，作为重要的选拔性考试，要在有限时间内通过有限的试题，特别是有限的解答题进行考查，必然要“提纲挈领”地抓住知识网络的交汇点，设计出具有综合性的新颖的试题，以达到较全面地考查考生的数学基础和数学素养的目标.比如，“3+x”理科试卷的第（21）题：
“设α为实数，函数f（x）=x[2]+｜x-α｜+1，x∈R.（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求f（x）的最小值.”
本题以最基本的二次函数为载体，考查了函数的意义，函数的对称性、奇偶性、单调性、最值等性质，全面覆盖了函数的主要内容.试题中引入了参变量a及绝对值，提高了思维层次，增强了知识的综合度，构成一个一般性的问题.解题时就是要在这个基点上分割成不同的具体情况去研究函数性质.
又如，“文理合卷”试卷第（22）题：
“设A、B是双曲线x[2]-（y[2]）/2=1上的两点，N（1，2）是线段AB的中点.（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？”
本题抓住了双曲线与两条互相垂直的直线的某一个特定的位置关系，把圆锥曲线和直线这两部分知识内容中多个重要的知识点有机地结合在一起，并联系到平面几何中圆的知识，考查用代数方法证明几何问题.由于证明“四点共圆”有多种方法，这就使考生证明问题运用的知识点有多种选择、不同解题方法的展开，能若隐若现地展示出一个解析几何的学科体系，这也是本题设计的匠心所在.
再如，“新课程”试卷的理科第（21）、文科第（22）题：
本题依托平面直角坐标系，把平面向量、圆锥曲线、三角函数结合起来，揭示出数学知识更深层次的内在联系.给出三组“两个向量的数量积”成等差数列的条件，更增强了试题的综合性，融不同的知识块于一体，这样的问题是“新课程”试卷中值得倡导的.当前，考生对于这类综合问题较为陌生，试题把握到考生直接运用知识的程度较为合适，在推理和思辨上不提出较高的要求.
1.3 较全面考查基本数学方法
基本数学方法有代数变换、几何变换和逻辑推理三类.代数变换有配方法、换元法、待定系数法、公式法、比值法等：几何变换包括平移、对称、延展、放缩、旋转、分割、补形等：逻辑推理主要有综合法、分析法、反证法、枚举法和数学归纳法.
如同以往，在今年的试题中，上述多数基本数学方法在多道试题中得以运用，大家在研究解题过程中可以体会到.兹举数例：“3+x”理科试卷第（17）题求三角函数值问题主要是用换元法的思想；“3+x”文科试卷第（18）题有关等差数列的简单应用题可以用枚举法解决；“3+x”文科第（19）题、“文理合卷”第（19）题，关于二面角为90°的证明，可以通过分割，延展平面或补形等方法来解决；“3+x”理科试卷第（22）题（Ⅱ）中两个不等式的证明，既可以用数学归纳法，也可以用不等式放缩等多种逻辑推理方法；至于配方法和代数式整体置换，更是频频出现于多道试题之中.
1.4 多角度考查基本数学思想方法
数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想.基本的数学思想方法有：函数与方程，化归与转化，分类与整合，数形的结合与分离，有限与无限，特殊与一般.数学思想方法与数学知识过程同步发生和发展，在高考的试题设计中必然考虑结合知识多角度地考查各种数学思想方法的领会和运用的程度.今年的数学试卷中，同样充分注意到这个问题.
把求解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，是数学解题中最基本的思想方法.如“文理合卷”试卷的第（17）题，给出满足某种关系的复数z，求实数a、b的问题，通过“两个复数相等的条件”，转化为解实数a、b的方程组；同样，此卷中的第（18）题，给出有关等差、等比数列的两个关系式，要求求数列的前若干项的和，也是运用数列的通项公式转化为方程组求解.总之，化归和转化的思想在卷中的多道试题中都有所运用.
函数描述了自然界中量的依存关系.是对问题本身的数量本质性和约束关系的一种刻划.方程是函数某个静止状态的表现形式，是一个特殊与一般的关系.“文理合卷”试卷第（22）题，给出函数f（x）=ax-bx[2]（a＞0），这里带有（a、b两个参变量，并由b的不同取值范围展开，研究对于某些限定的定义域和值域，a与b之间的关系.试题处于一个分类与整合的大环境中，解题除了有必要的基础知识之外，还要有清晰的函数思想，如果能联想对于b的不同取值函数的变化趋势（图1），就领会了问题的本质，不管从哪个角度入手，都能流畅解题.
数列是一类特殊的函数，数列问题往往可以用函数的观点来处理.“3+x”卷第（22）题“证明a[，n]≥n+2”，利用二次函数的性质，证明过程甚为简捷.此外，有限与无限的思想，体现于“3+x”试卷第（20）题之中；而第（21）题“讨论函数f（x）的奇偶性”，正是显现出特殊与一般的关系.总之，基本数学思想方法的多角度考查在全港中到处都有体现，这里不再列举.
2 数学理性思维能力的考查
数学是思维的科学，这里主要指理性思维，包括：从数形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、惟一性、不变性、充要性等）；归纳抽象，运用数形语言、数学符号思考分析问题.运算求解和演绎证明的能力；空间想象、直觉猜想和逻辑思维能力.
2.1 全面考查思维品质
思维能力的培养，是数学教育的目标之一.因此在学生的数学学习评价方面，思维能力的评价自然成为一个重要的组成部分.2002年的高考数学试题，全面而有层次地考查了学生的理性思维能力.
思维能力不是孤立的.在解题过程中，数学思维能力与其他的数学能力，例如应用能力、运算能力、交流能力等共同发挥作用.因此，每一道试题都是以题目为载体，综合考查这些能力.
2002年的高考试题，即使在小题中也处处体现对于思维能力的考查.例如，全国卷（理科）
领悟，比较快地得出结果.在小题中对思维能力的考查，一般层次要求不高，但如前所述，思维能力强（在小题中主要表现为通过观察，迅速抓住问题的本质和特点的能力以及直觉猜测的能力），对于快速、灵活、准确地解题相当重要.
思维的缜密性是数学理性思维的重要方面，数学归纳法、解不等式、不等式证明、几何证明以及函数性质的分析，经常涉及分类讨论，都属于思维缜密性的范畴.相关的考试题目要求考生思维周到全面，分类要合理，考虑的情况不缺也不多.2002年的试题中，全国卷（理科）第（3）、（11）、（15）、（16）、（19）、（20）、（21）等题都要进行分类讨论，而第（22）题要用数学归纳法.例如第（21）题，第一问要对参数a进行讨论，得到只有当a=0时，f（x）是偶函数；第二问也要求对参数a进行讨论，但更复杂，思维层次更高：直接的思路是首先对于不同的a，f（x）是不同的函数，其次对于固定的a，当x＞a及x≤a时，有不同的解析表达式，需要根据不同的表达式分段求函数f（x）的最小值，然后比较得到结果.
思维敏捷很重要，尤其是在考试的时候，但思维的逻辑严谨更加重要.全国卷（理科）第（20）题是一道应用题.某地目前的汽车保有量为30万辆，最大保有量为60万辆，报废率为6％/年，问每年新增汽车（逐年相同）至多不超过多少（万）辆.很容易想到汽车保有量达到最多时，新增汽车数量不多于报废汽车数量，因此，新增汽车数量不超过6％×60万辆.这样的确很快得到正解，但是不完整，或者说逻辑上不严谨.至此，实际上只说明了年新增汽车的数量不能超过3.6万辆，要完整解决问题，还必须证明这个界限可以达到，或者可以任意接近.在本题是前者，也就是必须证明从现在开始.每年新增3.6万辆，该地汽车的保有总量不会超过60万辆.这种思维的逻辑严谨性是数学学科本身的要求，应该在教学评价过程中有所体现.
2.2 充分展示思维过程
思维是不断深入不断发展的，在学习、探索以及解题过程中部是这样.这里值得一提的是全国卷（文科）第（22）题，要求设计剪拼方法将三角形剪拼成正三棱锥和直三棱柱的模型，尝试考查考生的设计能力、动手能力.考场上不提供剪刀、纸片、浆糊，因此需要学生发挥形象思维能力.题目层层深入，先从比较简单的把等边三角形剪拼成正三棱锥开始，这不用剪，只要沿三条中位线折起即可；第二问就深入了一步，要求将等边三角形剪拼为直三棱柱，需要设计在什么地方剪，怎样折，如何拼，思维比第一问要复杂得多，同时，剪拼方法不惟一，使解题思维具有一定的开放性；第三问附加题，思维层次更上一层楼，要求考生把一个任意三角形剪拼为一个直三棱柱，这要求考生抓住问题的根本特点，直三棱柱各个侧面的高相同，因此容易想到从三角形的内心入手，其余的事情比照第二问不难解决.三个问题层层深入，引导、鼓励考生通过观察，建立模型，通过逐步深入的思维，使模型不断完善.题目不难，虽然不以书本上的公式、定理为载体，但是也达到了考查实践能力、考查思维能力的目的.
的和.从题目条件不难猜出第二问的结论.第二问的结论与题目条件相容，但要证明，却并不那么容易，第一问为后面的工作铺路，完成数学归纳法的第一步.这里本质上是要证明惟一性，即利用非负整数条件证明：a[，3]只能等于2，不可能出现其他情况.据此，第二问其余的证明只需用数学归纳法即可.第三问比较简单，好一点的方法是把a[，n]写成n+（-1）[n]，按照等差数列求和，+1和-1互相抵消；差一点的方法是奇数项和偶数项分别求和，然后相加：两种方法都需要就n的奇偶性进行讨论.本题关键在第一问，考查了思维的严谨性，并提示了证明惟一性的排除方法.
全国卷（理科）第（22）题，考查数列、数学归纳法和不等式的基础知识.题目设计有特色，从一般到特殊，题干中给出数列｛a[，n]｝的递推公式a[，n+1]=a[2][，n]-na[，n]+1，这不是考生熟悉的等差数列或等比数列.但是，第一问由于数列的首项a[，1]=2，根据递推公式可以推出，a[，n]=n+1，数列｛a[，n]｝是等差数列.从思维能力考查的角度看，这一问主要考查演绎推理的能力，通过递推公式推出给定首项的通项公式.为帮助考生猜到结果，先要求设计a[，2]，a[，3]，a[，4]，然后推导通项公式，是比较简单的归纳.第二问分两个小问，第一小问是铺垫，重点在第二小问，如果继续沿着求通项公式的思路求解是行不通的，要求变换思维方法，进行归纳和类比，先用数学归纳法证明第一小问，即a[，n]≥n+2；第二小问的不等式本身相当“宽松”，关键在于找一个简单的对比数列，注意观察不等式的右端，很自然想到无穷递缩
的充要条件.这一问的关键在于找出充要条件，一旦正确找出充要条件，其后的证明比第二问容易.由f（1）=a-b，立即得到必要条件a≤b+1，只要猜到这也是充分条件，然后证明即可.这道题的三问，对于思维能力提出了三个层次明显的要求，从单纯的不等式推导，到充要条件证明，再到发现充要条件并证明，对思维能力的要求全面，有层次，有发展.
数学的研究对象是各种“数”和“形”的抽象模式结构，主要采用思辨和推演等理性思维方法进行研究.数学是源于实际，又指导实际的一种思维创造.数学作为一门主课，在培养学生理性思维方面，其作用是其他学科无法替代的，这种理性思维的培养对于学生全面素质的提高，分析能力的加强，创新意识的启迪都是至关重要的.今年的高考试题有意识地体现了对思维能力的考查.
3 数学应用和创新意识的考查
在2002年高考的5套不同的试卷中，共有8道数学应用题（选择题1道、填空题2道、解答题5道），每套试卷的含量在2题至4题之间，这种态势前所未见，而且题材广泛，情境新颖，富有时代气息.同时，不少试题内涵丰富，考查深刻，形态多样，得到师生们和社会的普遍好评.这些试题的构思、编制和入卷，是高考数学命题的一次成功的尝试，当中还出现了一些突破性的进展.
3.1 拓宽题材，加大力度
出现在各套试卷中的应用题包括：反映国家经济建设蓬勃发展、人民生活改善的国内生产总值问题和人均居住面积问题，反映自然规律和环境保护的气温变化问题与汽车保有量问题，还有与社会生产、人类生活关系密切的农作物产量稳定问题，员工上网概率问题，物体相向运动问题，以及纸片剪拼问题.题材如此广泛，不拘一格设计数学应用题，是高考数学命题的一次创新和突破，这表明对数学应用能力的考查力度显著加大.这是时代的要求，选拔的需要，也是教育改革深化的必然.
20世纪下半叶以来，数学最大的发展是应用.尤其是，随着计算机技术的广泛使用，使得数学的好多方面能够直接为社会创造财富与效益，以往的某些数学理论和方法，正在或者已经转化为应用性的普通技术，数学技术化的趋势日益发展.信息时代的今天，每天从各种媒体上，都可以接触到大量的数学应用信息，许多数学概念、名词和术语，甚至计算公式，已经不再神秘虚玄，有的已成为人们的普通常识和日常语言.就以进入2002年高考试卷的国内生产总值问题和人均居住面积问题为例，其原始素材正是直接来源于当年的《政府工作报告》和新华社的电讯.这样的取材，不仅增强了试题的实时性和时代感，真实生动，而且具有引导学生关心时事、关心社会的良好教育功能.编制试题时，注意与时代的发展同步，还可以用上网概率问题加以说明.该题编拟之初，说的是电话拨号上网成功的概率问题.可是考虑到如此上网的方式已经落伍，不少地方已经流行应用DDN专线上网，有的地区还实现了宽带上网，因此，为了与时代同步，改变问题提法，撇开上网方式和上网成功与否的制约，变为员工上网的概率问题，即已知6名员工需上网工作，每个员工上网的概率都是0.5，且相互独立，求至少3人同时上网的概率，又问：至少几个人同时上网，其概率小于0.3？
我国的高等教育正处于深化改革迅速发展的历史时期，高等教育正从以往的“专业教育”朝向“素质教育”转化，由“精英教育”转向“大众教育”.高校选拔新生，既要看重其所具备的知识基础，更要挑选那些综合素质好，有实践能力有发展潜质的优秀考生.为此服务的高考，在学科的考试中，当然也就不能局限于学科知识本身.而应以人为本.从素质考查的高度.对综合应用知识解决实际问题的能力进行有效考查.基于这个理念，在2002年高考数学应用题的命制中，发扬创新精神，尝试着将试题的题材拓展扩张，加大考查力度，取得了预期的好效果.
3.2 突出数学建模
数学应用题提供给考生的往往是一个（或一类）可将其数学化的实际问题.或者是可将其结构化的情境或事物.这里所说的“数学化”和“结构化”可理解为，应用数学的观点、思想、概念和方法组织被感知的现实.这个活动过程，也就是通常所说的数学建模，即把实际问题或情境“翻译”成数学问题的过程，这是解答数学应用题时所必须经历的过程.
数学建模对素质和能力的考查幅度和深浅度，可调控的范围都很大.因此，命题时把握好分寸非常重要.数学建模也是应用题最突出的考点，为其他形态的试题所无法替代.
通过数学建模，既考查从数学的角度观察、思考和分析实际问题的能力，又考查对相关知识（包括数学的、生活的、社会的、自然的，乃至文化的多方面的知识）和技能的理解和掌握程度.从而能比较好地反映考生对信息的接收、加工和输出能力，达到有效考查综合素质的目的.以汽车保有量的问题为例：
某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计以后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量相同.为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
在这个问题中，关于每年新增汽车的数量x（万辆），至少可以建立两种不同的数学模型：
这两个模型，虽然都是不等式模型，但所采用的数学思想却有明显差别，前者用的是函数的思想，所建立的是连续性模型，后者用的是数列的思想，所建立的是离散性模型.其次，从思维特点和“翻译”技能的角度看，两者也存在明显的差别，前者进行较深层次的思考，然后作了准确的“意译”，后者的思考比较表浅，顺着试题的表述作了正确的“直译”.再次，两者用到的知识，乃至进一步的求解之难度与繁简，也都有所不同，模型1的解答明显要快捷得多.这个例子，又一次证明解答应用题时，洞察与思考之重要.不宜匆忙应答.
3.3 注重数学知识和技能应用的有效性、灵活性和综合性
求解数学模型，是应用题的又一项不可或缺的考查内容.与纯数学题一样，这时考查的是数学的学科知识与技能的运用，不过，侧重点往往有所不同.设计应用题时，对于这一环的考虑，通常是侧重于数学知识和技能应用的有效性和综合性，而不刻意追求其考查的深刻性和系统性.通俗地说，在数学知识和技能的要求上，应用题通常不宜偏深偏难，往往控制在基础层面上.例如，在汽车保有量问题中，模型1的解答，虽然考查一定的综合性，但不难，只须用移项的方法，将①式化为
x≤60-0.94a，
由于不等式的右端可看作是a的一次函数，在区间（0，60]上是减函数，有最小值3.6，所以模型1的解为x≤3.6.其中用到的都是很基础的知识.
模型2的求解则较为繁难一些，对灵活性与综合性的要求稍高.对此，可看作是建模时缺乏深思所要付出的代价.具体解法有多种，这里只举一种方法供参考.
3.4 设置开放性应用题，尝试附加分，激励探索创新
应用题以实际事物和实际需求为素材，可以编制成具有开放性、设计性和实践性的试题.用这类试题考查创新意识、创新能力和实践能力十分适宜，不仅效度好，而且还可达到各种不同的深刻层次.我们以纸片剪拼问题为例加以说明.该题分设三问：
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（图2，图3），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图2、图3中，并作简要说明：
（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给出的是一块任意三角形的纸片（图4），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图4中，并作简要说明.
这一题型首次在高考试卷中出现，新颖别致，特色鲜明：
（1）操作性：纸质立体模型的剪拼，从操作层面看，每个人都可以试一试.但本题不是低层次的折转或模仿，它需要考生用直觉思维、几何知识和相关的计算技能，来设计合理、有效的方案指导操作.
（2）开放性：本题是一道约束条件不多的设计性试题，存在着多种设计方案，有利于充分调动考生的自主性和创造力.题中只要求剪拼所成的多面体的全面积与原三角形面积相等，没有限制剪几次、折转多少次、可否折叠，乃至拼接的细节规定，因而，解题的思维空间和自由度都非常大.下面以个案加以说明.
将正三角形纸片剪拼为正三棱锥，可如图5所示，沿三条中线将三个角折起接合，即成4个面全等的正三棱锥.如果要求正棱锥的底面积不为原三角形面积的1/4，则此法失效.但对一定的比值要求，仍有设计方案存在.例如将这个比值由1/4改为1/25，则可用如图6所示的方法剪拼.图中AD=1/5AB，矩形DECE’与梯形DBCB’面积相等.将矩形分割成7块，拼接成三个侧面，以△ADB’为底面，也能接合出合乎要求的正三棱锥.
将正三角形纸片剪拼成正三棱柱，可如图7或图8所示.在图7中，从三个角剪出3个全等的四边形，刚好拼成棱柱的一个底，剩下的部分折成3个侧面和另一个底.剪出的四边形有一组对角为直角，较长的边为原三角形边长的1/4.在图8中，将正三角形剪为5块，图中的3个矩形为柱的侧面，小正三角形为一个底，两个小直角三角形拼接为另一个底，可接合成正三棱柱.当中，虚线是原正三角形的一条中线.
（3）层次性：试题的三问体现了三个考查层次，逐层深化递进.第（Ⅰ）问主要考查思维能力和空间想象能力；第（Ⅱ）问主要考查推理计算，必须以第（Ⅰ）问的正确解答为基础；第（Ⅲ）问主要考查由特殊到一般的推广、深化能力.这一问，将已知条件正三角形泛化为任意三角形，同时，目标也相应调低，把正三棱柱改为直三棱柱.为了解答该小题，可将图7所示的方案推广为图9所示的方案，便可达到目的.图中，用三角形的内心O作为定位的基准点，然后，在点O与三角形的3个顶点的连线上分别取中点，过这3个中点分别向各边引垂线作为剪切线，剪得3个四边形可拼接成直棱柱的一个底，余下部分，将3个矩形折起接合，构成3个侧面和另一个底.从而便剪拼得一个直三棱柱，其全面积等于原三角形的面积.
试题的层次分明，渐次递进，有利于区分度的提高.但必须注意的是难度的调控恰当，否则，良好的愿望可能落空.对于本题，这一点也做得比较好.
（4）创新性：该题无论是形式，解答要求，还是内涵，都给人耳目一新的感觉，乃至附加题的设置，充分反映了命题人员的创新精神和匠心所至.这类试题，能较好地为考生提供展现创新解题方法的良好的舞台和空间，同时，由于考生平时少见少练这类试题，因而也有利于营造公平竞争的环境.
（5）启发性：该题容易引发许多联想，有较好的启发和教育功能.比如，它让人容易联想起折纸游戏和折纸术.折纸是一种古老的艺术，当这种艺术与计算方法结起来，就产生了一门有趣且具有新技术应用价值的学问折纸术.例如，应用“树状程序编器”，你可以把一种人物线条画输入电脑，该程序就会告诉你如何通过折纸术算法将其变成一个三维的人物形象.又如，20岁便当上美国麻省理工学院教授的埃里克，他的一个突破性的成就，正是发现了折纸术的一个公式，用以解决“折叠和一次切割”的难题.该公式告诉人们，在何种条件下，将纸片进行怎样的折叠，然后在什么地方直直切割一下.便可得到所需要的形状，读者不妨想一想，图6至图9的那些裁剪方案中，哪些可以用“折叠和一次切割”的方法实现？
3.5 体现新思想、新理念，给中学数学教学改革以良好导向
当前，教育改革正在深入发展，其中，将“研究性学习”课程引入我国基础教育课程体系，被公认为是一大亮点.“研究性学习”强调的是，学生应当基于自身的兴趣，在教师指导下，从自然、社会和生活中选定专题，主动进行积极的学习活动（包括获取知识、应用知识和解决问题，等等）.这对培养具有创造性和实践能力的创新型人才有着重大的意义.这是一种新的教育思想和理念，能有效克服传统的“接受性学习”的缺点和不足，我们必须大力宣传和提倡.
从上面对2002年高考数学应用题的分析，可以发现，命题者十分注意在应用题中体现“研究性学习”的精神和特质，给中学数学教育改革指引方向.在此，我们不拟重复罗列，也不作系统阐释，只是在上述评论的基础上，作些适当的引申和补充，简要指出下列几点：
（1）题材选用，除了广泛性外，还能注意贴近学生的兴趣、生活环境和知识水平.有利于激发学生的情感和思考.
（2）为考生解题自主性和个性的发挥，创设条件和空间.主要表现在附加题的设置，试题的开放性和解法的多样化等方面.
（3）带有操作性和生成性的纸片剪拼问题，加强了动手意识和研究意识的指引，推动“研究性学习”的开展.只可惜由于当前高考模式的局限，只能作“纸上谈兵”式的考查，未能进行具体的操作考查.
（4）试题设计，努力体现人与自然，人与社会的和谐统一，着眼于以人为本的整体素质的考查.汽车保有量、气温曲线、人均居住面积、国内生产总值和员工上网等问题，都反映了这个思想和理念.
（5）与教材多样化，教育考试改革多样化相适应，精心编排各套试卷的试题，改变了以往一道应用题，多套试卷同时使用的格局，以利于各种改革试验的健康发展.
4 体现数学的人文价值
4.1 数学与文化的基本关系
众所周知，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.
在当今社会，数学的人文价值不仅体现为数学是现代文明的一部分，而且体现为数学对现代社会的深远影响.在今天，数学的足迹已经遍及人类知识体系几乎全部的领域.从卫星到核电站，高技术、高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的.产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用.数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又悄悄地遍布在我们身边，改变着我们的生活方式.可以说数学对现代社会已产生了深远的影响，我们生活在数学的时代.数学对社会发展的影响，一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用；同时，也反映出在未来社会中，社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质.
数学文化是一种个体知识，是个体理解数学在现实社会中的作用、做出有理有据的数学判断的基本修养和素质，作为一个有创建的、关心他人、审慎思考的公民，应当具备以满足现实和未来需要的方式参与数学活动的这种素养.
4.2 数学人文价值在数学高考试卷中的具体体现
在数学高考试卷中，对数学人文价值的考查内涵主要包括：
（1）对数学情感、态度、价值观等个性品质的考查.
具体表现为，能积极参与数学学习活动（在这里，特指数学高考试题的解答过程），对数学有好奇心和求知欲；能在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立起自信心；能初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；能形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
（2）对实践第一、运动变化、对立统一等观点的考查.
尤其是，能够表现出勤于动手、动脑、手脑和谐一致的习惯；能主动采取动态的、对立统一、相互转化等观点研究和解决有关的数学问题.
（3）对理论与实践、形式和内容、运动与静止等辩证关系的认识的考查.
（4）对数学在科学和社会中的地位、作用的考查.
即考查考生是否能够体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；是否初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.
多年来，数学高考命题一直在探索如何在整体的一套试卷中，在每一道具体的试题中考查数学人文价值的具体途径.在2002年的数学试卷中，对这方面的考查体现为：
以动态的方式，在数学内容变化的过程中考查考生对基础知识、基本技能的理解和掌握程度.如文史卷第（4）题在函数y=a[x]变化曲线（函数图象）中考查考生对最值的确准把握；文史卷第（5）题在正弦线、余弦线的变化中考查对两种线段的大小的正确理解（也可以理解为将正弦曲线、余弦曲线放在同一个坐标系中考查对二者关系的正确把握）；理工卷第（6）题以简明的语言、从运动的观点考查考生对抛物线基本事实的理解和掌握程度.
以考查数学思维的灵活性、思辨性（尤其是辩证思维）、深刻性为重点的题目也有比较好的体现，如文史卷第（14）题“函数
是单调函数的充要条件的角度考查考生对有关内容的把握程度，其中，需要考生灵活地处理参变量b；天津等地理工卷第（9）题、文史卷第（10）题从不等式角度考查考生思维的深刻性和综合运用不等式、对数函数解决问题的能力；文史卷第（12）题、理工卷第（11）题以正方体的6个面为背景、考查考生对组合问题的掌握程度；理工卷第（16）题考查考生对运算策略的选择意识，考查思维的深刻性.
注重对动手操作、主动探索以及在动手、动脑基础之上的理性思考的考查.在2002年数学文史卷中，首次增加了一道以考查考生“动手操作能力、主动探究能力、空间观念等”为主题内容的题目（即文史卷第（22）题，满分14分，附加题4分）；并首次在解答题中增加附加分，为有创新特长的考生提供良好的发挥空间.同时，并不局限于考查实践第一的观点，还考查考生是否有动手操作的经历、经验和自觉习惯，能否在动手操作的基础上开展深入的理性思考——考生需要思考“所得的两个几何体哪一个的体积更大”等问题.
此外，在小题中注意考查考生的动手画图、读图、数形结合能力及估算意识等也有良好的体现，如理工卷第（6）、（10）、（12）、（19）题.
值得关注的是，2002年的5套高考数学试卷对运算能力的考查发生改变——以往，对此的考查重点放在对“正确迅速的数与式运算、变形的能力”上，而近几年逐步转移到“对估算意识、估算能力”的考查，2002年将其扩大到“在懂得基本运算技能的基础上，考查考生对运算策略的选择、估算意识，对运算工具的使用技能以及对运算结果反思、演算的自觉意识”.
关注学生在试题解答过程中的情感、态度、价值观等个性品质的表现.考查学生是否乐于接触社会环境中的数学信息，是否乐于研究某些数学话题，是否能够通过一定的数学活动开展深入细致的思考；是否能结合具体情境发现、提出数学问题，并尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并获得问题的有效解决；是否通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验.
如文史卷第（13）题“我国农村人均居住面积增长率问题”，第（17）题“气温变化曲线问题”，理工卷第（20）题汽车保有量问题，天津等地理工卷第（19）题、文史卷第（20）题互联网上网概率问题等题目，就需要考生以开放的心态接受这些社会信息，并从中尽快“建立模型、优选适当的方式方法，最简便地解决问题”.
在解答考题中，考查学生是否敢于面对数学活动中的挑战，有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学、完成考试的自信心.事实上，1999年以来，全国高考数学试卷加强了对考生心理素质、心理承受能力的考查，尤其是2001年打破了“解答题”的六道大题固有的编排顺序，采用“两个档次，平均难度，压轴题与最后一题不一致”等做法，达到良好效果.2002年，将这一设想继续扩大到整张试卷，不仅考查心理承受能力，而且考查学好数学的自信心.如全国文史卷，理工卷、天津等地的文史卷、理工卷都一改以往以“集合、映射”等为“打头题”的习惯，改用“圆与直线问题”，既可以数形结合，也可以从代数角度解决问题.”
考查学生是否能够主动探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、不等式、函数等进行描述；是否能够体验数字、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，能否用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性；能否认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
是否认识通过观察、实验、归纳、类比、推断等活动可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性；在探索图形的性质、平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性，发展演绎推理能力.
2002年文史卷第（13）、（17）题属于图表信息题，重点考查考生的读图、识图能力；理工卷第（22）题考查猜想、归纳、推理以及探究问题、解决问题能力；文史卷第（20）题（Ⅰ）“判断函数f（x）的奇偶性”着重考查考生对证明思想中的“反例思想——否定一个函数是奇函数、偶函数，只需要举出一个反例即可”、归纳猜测思想的理解和掌握情况；天津等地的文史卷（19乙）、天津等地的理工卷（18乙）确定MN长的最小值问题，就需要考生先猜想何时最小——这需要直觉和数学美的鉴赏意识，然后验证自己的猜想结果，其中，数学活动的探索、创造性得到良好的体现.