基于联立方程计量经济学模型的经济系统预测与控制方法
王义闹
(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)
摘 要： 对联立方程计量经济模型所描述的经济系统，由于随机干扰项的存在，系统不可能达到均衡.本文将数理经济学中均衡概念进行推广，提出了均值均衡的概念.证明了只要简化式模型存在，就一定存在均值均衡点；由最小二乘法估计简化式模型参数进而可得均值均衡点的无偏估计.指出了当结构式模型存在过度识别方程时，用二阶段法求得结构参数，然后解（省略随机干扰项的）结构方程组求内生变量预测值的方法不一定能得到无偏估计.并讨论了系统中部分变量的控制方法.
关键词： 联立方程模型；预测；控制；均衡；均值均衡
联立方程计量经济学模型是描述经济系统中内生变量与先决变量之间线性关系的模型.其中，根据经济理论和行为规律建立的，描述经济变量直接关系结构的计量经济学方程系统称为结构式模型.结构式模型中的每一个方程都是结构方程.结构方程的正规形式是将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式[1].当我们得到结构方程的良好估计后，就对经济系统中变量之间的结构关系有了较好的认识.对于经济系统，我们还常常希望了解系统的均衡状态.由于随机干扰项的存在，联立方程计量经济学模型所描述的经济系统不可能达到均衡.退而求其次，本文将数理经济学中均衡概念进行推广，提出了均值均衡的概念.并研究了调控外生变量时，系统均值均衡状态的变化，以及如何调控外生变量才能达到我们希望的某个均值均衡状态.
课前，教师认真进行了教学设计，从课堂导入开始，激发学生产生浓厚的兴趣，使学生在对生命天然的敬畏和尊重感驱动下，产生对遇到患者突发急情正确处理的迫切希望。在进入课堂教学后，教师通过发生在学校中的真实事件开始设置情境，层层深入，引导学生学习和思考在突发事件面前的科学处理方法。整个课堂中设置了3次阅读教材和3次现场模拟，旨在既能让学生学会自学和归纳总结，又能让学生动手操作，掌握一定技能。整节课内容丰富，活动多样，学生一直处于相对兴奋的状态。然而，当对热闹的课堂深入剖析，在45 min的课堂中学科素养的真正落地又在何处呢？这样的初中生物课堂教学是否有学科素养的安身立命之处？
对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于内生变量是受先决变量和随机干扰项影响的，我们可以通过调控外生变量影响内生变量，而不能调控随机干扰项.因此本文关心的预测问题是：在先决变量取定一组值的条件下，内生变量均值取什么值；同样的理由，本文关心的控制问题是：应该如何调控外生变量，才能把内生变量均值控制在我们希望的状态.实际上，要实现对系统均值均衡状态的预测、控制，只要能由结构式模型解出简化式模型，即可用最小二乘法估计模型参数，得出满意的预测、控制结果，而不必考虑结构式模型是否可识别，结构参数如何估计.计量经济学、线性回归文献[1-9]，用大量篇幅介绍了结构式模型的识别、估计方法，但没有讨论对系统均值均衡状态进行预测、控制的必要假设有哪些，如何进行预测、控制，效果如何.对这几个问题，本文作了初步研究，以下所提到的系统均指联立方程计量经济学模型所描述的经济系统.
1 模型假设
设联立方程计量经济学模型的结构式模型如下：
其中Y 表示内生变量，X 表示先决变量，N 表示随机干扰项，B 表示内生变量的结构参数，Γ表示先决变量的结构参数.
1.2.2 检测方法 采用烟台普罗吉生物科技发展有限公司生产的血浆Hsp90α酶联免疫吸附试验(enzyme-linked immunosorbent assay， ELISA)检测试剂盒测定待检者血浆Hsp90α水平。选用罗氏Elecsys2010电化学发光仪与原装配套试剂测定血清CEA、CA125及CYFRA21-1。操作步骤严格按仪器及试剂盒说明书进行。
式中X 1=（1 1 … 1）′，即每个方程都有常数项，因而设 E (N )=0是合理的.通常认为，每一结构方程式中出现的所有内生变量与随机误差项都（可能）是线性相关的，各随机误差项之间也是线性相关的，各先决变量与随机误差项都是线性无关的.
注意：对包含内生解释变量的结构方程式，由于内生解释变量与随机误差项都（可能）是线性相关的，因而对任意给定的一组解释变量的值，随机误差项的条件期望为0的假设（可能）不再成立.
为简单起见，本文引入更强的假设：在各先决变量任意取定一组值的条件下，随机误差项的条件期望恒为0.
因为若对 ∀x ∈R ,E (u |x )=0，则
即对 ∀x ∈R ,E (u |x )=0，就必然有r (u ,x )=0.即条件期望为0一定线性无关.
均衡假设：
蒋中一（Alpha C.Chiang），凯尔文·温赖特（Kevin Wainwright），在《数理经济学的基本方法》[10]第30页给出的均衡这一概念的一个定义为：“选定的一组具有内在联系的变量经过彼此调整，从而使这些变量所构成的模型不存在变化倾向”的一种状态.
对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律包含随机干扰项，对给定的先决变量的一组值，内生变量总会存在随机变化，不会不存在变化倾向.我们要把数理经济学的均衡概念推广到计量经济学中，自然就考虑内生变量均值的均衡.在给定先决变量取值的条件下，在模型（1）两边取数学期望，就得到：
这是内生变量的（在给定先决变量取值的条件下的条件）均值与先决变量之间的确定关系式.依此相互影响规律，内生变量均值经过彼此调整，从而使这些变量均值满足方程组（3）时，内生变量均值就不再存在变化倾向，系统的这种状态本文就称为联立方程计量经济学模型（1）所描述的经济系统（下文简称为经济系统）的均值均衡状态.
当模型（3）中内生变量均值的结构参数矩阵B 是可逆矩阵时，解此方程组就得到唯一一组内生变量均值的均衡解
理念决定行为。教师的理念是学生的起跑线。“以生为本”的教育理念是实现学生全面发展的坚固基石。这就要求教师必须坚守“让每个学生都成才，让每个学生都成人”的教育目标，必须坚持“每个学生都是独一无二的”理性思维，必须遵循“学生身心发展和认知有差异”的科学规律，切实提高自身的核心素养和综合能力，时时事事给学生以积极的引导，真正成为学生“学生锤炼品格的引路人、学习知识的引路人、创新思维的引路人、奉献祖国的引路人”，切实促进学生的全面发展，实现每个学生的综合素养都得到发展。
结构参数矩阵B 可逆就是联立方程计量经济学模型所描述的经济系统存在均值均衡状态的充分条件.
对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律包含随机误差项，给定先决变量的一组值，不经过系统实际运行，我们不可能预先知道系统的不存在变化倾向（均衡）的运行结果.但如果可以预先知道系统的内生变量均值的均衡运行结果，就可以称此系统是（均值）可预测系统.
可预测性假设：
对具有确定运行规律的系统，给定先决变量的一组值，不经过系统实际运行，仅通过系统运行规律即可预先知道系统内各变量之间相互影响的均衡运行结果，则该系统是可预测系统.
以下我们恒假设所研究的系统是存在唯一一组均值均衡解的均值均衡系统，也就是假设模型（1）中内生变量的结构参数矩阵B 是可逆矩阵.称此假设为均衡假设.
定理1 若模型（1）中内生变量的结构参数矩阵B 是可逆的，即系统是均值均衡系统时，则系统（1）是（均值）可预测系统.
可控性假设：
对具有确定运行规律的系统，可以通过控制外生变量取一组值，使系统达到均衡状态时，内生变量的均衡值取得预定的（一定范围内的）目标值，则该系统是可控系统.
在“内环境与稳态”的教学设计中，对教材的编排顺序和教材提供的素材进行大胆取舍和合理安排，并在课前提供了一小段微课，导入时补充资料分析。在教学中基于生物学核心素养的提升，以创设真实情境引课，与学生已有的知识发生联系，建构起细胞能与内环境发生联系的有意义的知识体系，接着设计一系列疑难问题，活跃了学生的思维、提高了学生的参与度，同时培养了学生的生命观念、理性思维和社会责任等生物学核心素养，最后通过小结课堂内容进一步完善知识体系、巩固所学知识。
对联立方程计量经济学模型所描述的经济系统，由于系统运行规律中包含我们不能控制的随机误差项，使得不可能仅仅通过控制外生变量，达到控制内生变量的目的.对系统（1），记
为外生变量构成的向量，
为滞后内生变量构成的向量，记
在给定先决变量取值的条件下，两边取数学期望，就得到内生变量的（条件）数学期望与先决变量之间的确定关系式：
当外生变量的结构参数矩阵Γ1的秩等于增广矩阵的秩，即当
时，方程组（5）有解，即至少存在一组外生变量的值，使我们希望达到的内生变量的状态Y =E (Y )是外生变量取这组值时的均值均衡状态.这时我们称系统（1）是均值可控的.特别，当外生变量的结构参数矩阵Γ1为可逆矩阵时有：
其中Yt 为支出的国内生产总值（GDP），Ct 为消费（COM），It 为投资（INV），Gt 为政府支出（GOV）；内生变量为Yt ，Ct ，It ；前定变量为Gt .
定理2 若系统（1）中外生变量的结构参数矩阵Γ1的秩等于增广矩阵的秩，即当（6）式成立时，则系统（1）是均值可控的.
在实际系统中，外生变量常常比内生变量少，从而对我们希望达到的内生变量的某些状态
=E (Y )，不能通过控制外生变量得到.退而求其次，可以对系统中我们最关心的几个内生变量进行控制，在此控制方案下如果其它内生变量是可预测的，并且我们对预测结果满意，就得到了满意控制方案.以下称这样的系统是部分均值可控的.
流坑村内建筑大部分为砖木结构，既有外砌马头墙、内悬楹联匾额的民居邸宅，共墙连体、规模庞大的建筑群，也有登临远眺、防卫御敌的门楼，造型别致、雕梁画栋的宗庙牌楼，这些都反映悠久的历史和辉煌，也是集历史文化、建筑艺术、民俗风情为一体的古文化博物馆[1]。
前定变量与随机干扰项不相关假设：一般认为，前定变量与随机干扰项是不相关的：
2 可预测性与可控性的判别
在上一节我们讨论了联立方程计量经济学模型（1）所描述的经济系统的可预测性和可控性，这种讨论是在已知系统的真实规律（1）的基础上进行的.然而，在实际问题中模型参数是未知的，从而B ,Γ的秩也是未知的，不能直接应用定理1、2判别系统的可预测性与可控性.下面谨给出一些可预测、可控的特殊情况.
定理3 递归系统是可预测的；
(4)高职泛在学习资源需要保证知识点的连贯性和交叉性。知识是相互关联的，不是孤立存在的。而现有的资源多是以课程为单位来建立资源库，课程与课程之间的联系并没有在资源库中体现出来。比如，《数据库系统》和《C#程序设计》这两门课就不是孤立地去学，学完的最终目的是需要用c#程序作为前台和数据库作为后台数据支撑实现一个完整的信息系统。当前的教学资源建设就没有考虑到这一点，而是作为两门独立的课程分别开发。类似的课程还有很多。为了避免所构建的教学资源成为一个个的“信息孤岛”，应该考虑到知识点的交叉性。同时，为了满足高职学生的碎片化学习方式，在开发资源时应该考虑以知识点来进行开发，而不是以课程为单位。
只要系统（1）的简化式模型存在，该系统就是（均值）可预测系统；
只要系统（1）的结构式模型是可识别的，该系统就是（均值）可预测系统；
只要系统（1）的简化式模型存在，且至少有一个外生变量，则系统是部分（均值）可控的.
由于递归系统中B 为下三角阵，一定是可逆的.于是，由定理1知系统是（均值）可预测系统.
简化式模型中有外生变量的那个方程左端的内生变量一定是（均值）可控的，所以系统是部分（均值）可控的.
3 参数估计
结构式模型（1）所表示的系统的简化式模型为
由前定变量与随机干扰项不相关假设（8）可知，前定变量与（9）式中随机干扰项μ 也是不相关的；再由E (N )=0知E (μ )=0.故参数C 的最小二乘估计量
是C 的无偏估计量.进而
是均值均衡向量
的无偏估计量.
定理4 以
记简化式模型（9）中参数C 的最小二乘估计量，则
是均值均衡向量
的无偏估计量.
本节以文[2]第六章第五节给出的简化的中国宏观经济调控模型为例，示意性的给出对取定的外生变量，如何预测系统的均值均衡状态，以及对希望达到的均值均衡状态，应如何控制外生变量以达到我们的控制目标.
定理5 如果结构式模型（1）是恰好可识别的，则先用间接最小二乘法估计结构式模型参数B , Γ得
进而
是均值均衡向量
的无偏估计量.
这时，宏观经济模型可写为[2]：
注意：当结构式模型（1）中存在过度识别的方程时，先求结构式参数估计量
，再以
作为均值均衡向量
的估计量，一般与定理4中
不同，不一定有无偏性.
4 预测与控制示例
如果简化式模型（9）中随机干扰项μ 还是同方差、序列不相关的，则
还是均值均衡向量
的有效估计量.如果随机干扰项μ 还是服从正态分布的，我们还可以进而讨论均衡向量的区间估计.
例1 采用基于三部门的凯恩斯总需求决定模型，在不考虑进出口的条件下，消费者、企业、政府的经济活动的理论模型为[2]：
综合管线深化设计对于建筑工程的整体性能有着重要的影响，能够精准的确认工程的整体规划，利用相应的数据进行操作分析，最终运用详细的操作软件进行决策与整合。因此，需要大力拓展该技术的运用方法，协调各管线的安装与规划，进而确保整体施工工艺的精准性。
即对我们希望达到的内生变量的状态
=E (Y )，存在唯一一组外生变量的值与之对应.
上述结构式模型中，第一个方程是恒等式，无需识别，第二、三个方程都是恰好可识别的，模型系统是恰好可识别的.该宏观经济模型的简化式为
可见三个内生变量都是可预测的，对给定的外生变量Gt ，内生变量的均值均衡状态为
但只有一个内生变量是可控的，例如希望把Yt 的均衡状态控制为
，则只需外生变量
.用最小二乘法求得简化式模型参数后，进而可得内生变量的均值均衡状态的无偏估计.考虑到由恒等式还可以得到
所以由结构式模型的4个参数也可以唯一确定简化式模型的六个参数.
近几十年来，国内外学者研制了各种不同类型的压电驱动装置，根据驱动原理不同可分为直动式和步进式[1]，其中步进式压电驱动器采用循环步进运动的方式不断积累位移，可实现较大的推动力和输出行程。
例2 考虑在宏观经济活动中，当期消费行为还要受到上一期消费的影响，当期的投资行为也要受到上一期投资的影响，因此，在例1所述宏观经济模型里再引入Ct 和It 的滞后一期变量
和It -1.
大棚韭菜套种模式：为了提高单位面积在一定时间内光、热、水、气等自然资源的利用率，许多农户在韭菜生长间歇季节和价格低迷期套种甘蓝、花椰菜、秋萝卜等蔬菜作物。做到了韭菜与套种蔬菜的空间互补，增加复种指数，提高了单位面积产量和效益[2]。
基于“95.8”洪水率定的糙率适合于中低流量洪水情况，大流量级别洪水条件下的河道糙率确定需要结合河床演变，分析主要水文/水位站水位-流量关系曲线(简称“H-Q”)、水位相关关系( 简称“H-H”)等数据综合考虑。
由于结构式模型（1）是恰好可识别的，于是其中每一参数的估计值 均可由简化式模型中参数估计值 唯一确定；反之由模型可识别知B 必可逆，从而
可逆， 可由 唯一确定.
或写为
其中Y 表示内生变量，X 表示先决变量，N 表示随机干扰项，B 表示内生变量的结构参数，Γ表示先决变量的结构参数
“我为这些同事们感到骄傲，也非常敬佩。虽然可能有些委屈或痛苦，但他们一定都还是会克服这些困难，尽最大努力和可能来完成自己的工作。”荣鹰说。
易求得
于是得简化式模型
可见三个内生变量都是可预测的，对给定的外生变量Gt ，内生变量的均值均衡状态为
固结系数可以通过CPTU的孔压消散试验获得。根据孔压消散曲线的形状分为单调、非单调消散曲线（或标准、非标准消散曲线），其计算方法有所不同：
又由于Ct 和It 的滞后一期变量Ct 1-和It 1-是已经发生的、不能调控的，能够调控的外生变量只有一个Gt ，所以只有一个内生变量是可控的.例如希望把Yt 的均衡状态控制为Yt ，则只需外生变量
对文[2]第175页表6-1数据，用最小二乘法求得简化式模型参数：
代入（14）可得内生变量的均值均衡状态
的无偏估计
跑步，是人生美丽的主题，是心灵快乐的涅槃。人生也就像跑步一样，需要不断地去踏足、磨炼、超越，然后勇往直前、坚持到底，这样，才能遥遥领先他人，奔向成功。
由于消费方程、投资方程都是过度识别的，在文[2]第177页，由二阶段法估计结构参数
得估计值
的基础上，进而由（12）式求得均值均衡状态
中参数
的估计值
这与最小二乘法所得简化式模型参数估计值
(i =1,2,3,j =1,2,3,4)明显不同，进而再由（14）得内生变量的均值均衡状态
的估计值
则一般有
不一定是
的无偏估计.
由例1、例2更清楚的看到，如果我们只寻求预测系统的均值均衡状态（预测政策运行效果），或者只寻求将一些内生变量控制到我们预定的均值均衡状态，则应该用最小二乘法估计简化模型参数，没必要估计结构模型参数，特别是存在过度识别方程时，用二阶段、三阶段法估计结构模型参数再求均值均衡状态估计，所得估计量的性质并不好，估计值与上述无偏估计明显
不同.
参考文献
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The Method of Forecast and Control in Economic System Based on Simultaneous Equation Econometric Model
WANG Yinao
(College of Mathematics, Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University,Wenzhou, China 325035)
Abstract: It is impossible for the economic system described by the simultaneous equations econometric model to sreach the equilibrium due to the existence of random disturbance terms.The concept of equilibrium in mathematical economics is generalized and the concept of mean equilibrium is provided in this paper.It turns out that the mean value equilibrium point definitely exists as long as the simplified model exists, The unbiased estimation of the mean value equilibrium point is obtained by means of the simplified model parameters of the least square estimation.It is indicated that when the structural model has over-identified equations, it is not always possible to obtain the unbiased estimation by using the two-stage method to obtain the structural parameters and then to solve the set of structural equations (the random disturbances) to calculate the endogenous variable predictive value.And the control method of some variables in the system is furthermore discussed.
Key words: Simultaneous Equation Model; Prediction; Control; Equilibrium; Mean Value Equilibrium
中图分类号： O212
文献标志码： A
文章编号： 1674-3563(2019)01-0001-08
DOI： 10.3875/j.issn.1674-3563.2019.01.001 本文的PDF文件可以从http://xuebao.wzu.edu.cn/获得
收稿日期： 2018-01-19
作者简介： 王义闹(1963-)，男，河北安平人，教授，硕士，研究方向：预测与决策
(编辑：封毅)