初中数学思想方法教学的缺失与应对策略，本文主要内容关键词为：缺失论文,初中数学论文,思想论文,应对策略论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
义务教育数学课程标准指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”.如何培养学生的数学素养？关键因素是“数学思想数学方法”.
数学知识是数学素养的基础；运用数学的思维方式去观察分析，提出问题、思考问题，并努力解决学习与生活中的问题的数学意识和观念是数学素养的核心；而形成学生数学意识和观念的决定性因素是数学思想方法.从某种意义上讲，这也正是初中数学教育中应试教育与素质教育的区别.
数学教育心理学家弗利德曼认为：“数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的，……数学的各种方法是数学最重要的部分”.可见，数学概念、公式、定理等具体的数学知识只是数学思想、数学方法的基础和载体，数学思想、数学方法才是数学的根本.
但是，由于认识上的缺失，在初中数学教育中，重知识、重解题技能，忽视数学思想方法的现象较普遍，本文拟结合教学案例探讨以下数学思想方法教学一般策略.
一、数学思想方法在教学理念认识上的缺失
第一，对数学教育的目标认识不到位.课标总体目标中指出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”（简称四基）.课标要求课程内容“……不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法”.但是，由于数学思想、数学方法在高中、大学才以明显的形式列入教学内容，在初中对数学思想方法没有明确的教学目标，是以不展开的形式教给学生的，强调的是渗透.因而是隐性的知识.因此部分老师、同学往往认为学习数学就是学习“用数学概念、公式、定理等去解题”.从恢复高考以来，解题教学一直是中学数学教学的中心，2002年课程改革以来，虽然逐渐重视“情境”“过程”“经验”等关键词，但数学思想数学方法依然被解题技巧代替.
第二，对中考试题的教学导向理解不全面.老师教学中不研究“课程标准”，只钻研中考大纲、中考试题，为中考而教.有些老师认为2002年课改以来，数学中考从来没有让学生默写概念，中考没有让学生证明公式定理，为节约课时，急功近利的老师，淡化了由生活经验到数学概念的抽象过程，淡化了数学问题到公式定理的证明过程，教学的重心过早的下移到了“教学生用数学知识解题”.然而，概念、公式、定理的生成过程正是学生感悟数学思想方法的过程.不能全面解读中考试题，狭隘的理解中考试题的教学导向，忽视了概念公式定理所蕴藏的数学思想方法.
第三，忽视了数学思想方法对进一步学习新知识的指导价值.数学思想方法是对数学本质的认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法.奥苏伯尔认为：“下位学习所学的知识具有足够的稳定性，有利于附着新的知识点”.从认知结构上讲：数学思想、数学方法包容程度更高，是总括性观念.而数学概念、公式、定理、解题技巧等是从属观念.当学生了解、掌握了相应的数学思想方法后，学习具体的数学知识就是下位学习，更有利于学生利用数学思想方法去同化、理解相关的数学知识，将知识纳入认知结构，并对其进行改组和重组，形成新的认知结构.因此，掌握相应的数学思想方法有利于学生理解接受新知识，数学思想方法是学生进一步学习相关知识的“催化剂”“云梯”。
二、数学思想方法教学的基本策略
思想认识上的误区，注定了教学过程中的策略性缺失.由于数学思想方法是隐性知识，所以老师在教学设计中不仅不会深挖教材中数学思想方法，更缺少有计划有步骤的设计，数学思想方法的教学处于无目的无意识状态.
1.全面分析教材是数学思想方法教学的基础
数学思想方法，隐藏在数学知识与数学活动的过程中，因此，深入研究每节课的教学内容，把握数学本质，是数学思想方法的教学基础.无须说数学概念的“抽象、形成”过程所表现出的数学方法、无须说数学公式定理的“探究、证明”过程所经历的数学素养，就是简单的数学知识应用都蕴藏着丰富的数学思想方法，特别是数感、符号感、空间观念、统计观念。
例1 “勾股定理”思想方法分析
人教版第18.1勾股定理一节教材的基本体系是：让学生探索以直角三角形三边为边长的三个正方形的面积关系→发现直角三角形三边关系→证明三边关系→让学生运用勾股定理解决问题.有些老师把教学活动的侧重点放在探索“三个正方形的面积关系”，有些老师把教学活动的侧重点放在探索“证明三边关系上”，有些老师把教学活动的重点直接放在“应用上”.普遍认为这节课很好上.简单明了，重点突出.这都是忽略数学思想方法教学的表现.事实上本节内容蕴涵着丰富的数学思想方法：
首先，把探求边的数量关系转化为探求面积的数量关系，将“边不在格线上的图形”转化为可计算面积的“格点图形”，是转化的思想.
其次，从探求“特殊直角三角形的三边关系”到探求“一般直角三角形的三边关系”，是特殊到一般的思想.教材是首先让学生观察两直角边分别为1的等腰直角三角形→再观察两直角边分别为2，3以及两直角边分别为3，4的直角三角形，进而发现规律.如下图：
值得注意的是，让学生体验探索勾股定理的过程很必要，但是，老师如果仅引导学生从
这几组加法中找规律，那这是小学四年级的数学，恰恰丢失了这一过程中的初中数学教学应点拨的思想方法.
第三，把三角形有一个直角这种“形”的特点转化为三角形三边边长之间的“数”的关系，是数形结合的思想.勾股定理是“形→数”，勾股定理的逆定理是“数→形”.
第四，课本给出的勾股定理的“赵爽证明法”——面积法也是后续学习中常用的数学方法.学生以前没见过，但这不仅是前面在方格纸中探寻面积关系的自然延续，也是面积法解题思想的入门面积法解题具有直观、简便、灵活、新颖等特点.如等积法（同底等高、同高等底、全等三角形）、割补法（通过分‘割或补’把不规则图形化为规则图形），整体与局部结合的思想（同一图形的面积等于几个部分图形的面积之和）等在后续学习中都会带给学生“剑走偏锋”的快感.由于教科书中没有专门讲过“面积割补理论”，学生感觉不像证明.因此老师对数学思想方法的点拨尤为重要.
第五，勾股定理的应用，实际上也可以理解为一个“简单的建模”的过程.要从生活背景中构造出一个直角三角形模型（学生分析已知条件，确定直角位置及已知边的位置，尝试应用勾股定理已知两边时求第三边）.例如课本P66探究1：由题意得：门高2米，木板长3米，所以木板竖着进不去；门宽1米，木板宽2.2米，所以木板横着也进不去.只能试着斜着能不能进去？而这时对角线AC是斜着能通过的最大长度，求矩形对角线长，也就是已知两直角边求斜边，问题的突破口就是构建Rt△ABC.
2.尊重学生的接受能力是数学思想方法教学的前提
教学必须与学生的思维发展水平相适应，数学思想方法的教学不能超越学生已有生活经验和已有数学知识的理解能力.维果茨基“最近发展区”理论给了我们很好的启示——把握好学生发展的两种水平：一种是学生已经达到的发展水平；另一种是学生可能达到的发展水平.这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”.把握“最近发展区”，能加速学生的发展.数学思想方法的教学更要坚持可接受原则.
例2 数集与集合论思想
初中的“数集“与”集合思想“是有距离的.学生在小学就已体验从具体情境中抽象出数的“分数、小数、百分数、负数”的过程，理解或了解它们的意义.做为数的认识数的表示的一部分，老师也在引导学生用韦恩图对各类数（有限个）进行分类——这就是整数集、分数集的渗透.到初中学习有数理数概念、无理数概念、实数概念也是让学生用韦恩图去分类比较（如下图），在分类中形成不同数集的观念.
集合是数学中基本而又简单的概念之一.集合论思想是现化数学重要而基本的思想.它的概念与方法渗透到数学的各个分支以及其他一些自然科学部门.虽然学生对数集的接触从小学就开始了，但对集合论思想初中学生还不能理解.在初中他们只能直观的感悟“有限集”，对“无限数集”是无法完整理解的.如果不强调数集的“集合思想”，学生还觉得“圈子”中的数很直观，如果过多强调集合思想，可能越说越糊涂.如“自然数集”与“有理数集”学生会想到“哪个多哪个少的问题”.学生甚至有这样的直觉“认为正偶数的个数是正整数个数的两倍”等问题.原因在于初中学生对“无穷”还没有足够的理解能力，根本不可能在“无穷背景下理解确定性、唯一性、互异性”.要说明这些问题，还要构造两个集合之间的“对应思想”.因此，我们无法向学生解释“整数集与实数集”这两个无穷集之间的区别（无穷级别）.
虽然，高中时集合思想在方程、函数、排列组合、概率等都有涉及，特别是在解题中用集合运算思想考察“对象的合并”“公共部分”等问题是学生的基本方法，但对“集合思想”不能超越学生的接受能力，不能触及实质.
3.螺旋上升是数学思想方法教学的主线
螺旋上升，就是分阶段逐渐深化.课标明确指出：数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则.数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等.因此，对相应的数学内容与思想方法在教学设计时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则.螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求.例如，在初一第一章“数轴”教学时介绍“数形结合”思想，学生是可接受的，因为在小学已储备了“直线、点、数”等概念足够的数学活动经验，但在“数轴”教学时不宜凸出“对应思想”，只能适当渗透“对应思想”.因为这里“有理数与数轴上的点的对应关系”中涉及“直线是无限长，直线上的点是无限个，有理数是无限个”，对这几个概念的理解要在第三章学完“点、线、面”后学生才会有“几何直观”.学生从感性的体会“对应、一一对应”到理性的理解“映射”“函数”有很长的路，欲速则不达.
例3 函数思想
函数是研究运动变化的重要数学模型，它是以“变化与对应”思想为基础的数学概念，在当今数学的各个领域都是极为重要的角色.数学是以数量关系与空间形式为研究对象的，无论数量关系还是空间形式都充满了有关运动变化的问题，而函数概念的本质就是“运动变化与联系对应”，它反映的是变量之间的对应规律.但对这一思想的认识要逐步理解，在不同阶段对这一思想的渗透介绍要有不同的做法和要求.要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识、逐渐加深学生对函数的理解.
第一层，小学及初一侧重点，通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得对函数的感性认识.如数与式部分：有理数与数轴上点（对应）、有理数与它的相反数（对应），有理数与它的绝对值（对应）.空间与图形部分：锐角与它的余角（对应），射线绕其端点旋转形成不同大小的角（变化过程）、让学生探索多边形的内角和（变化、对应）.概率初步中：折线统计图（变化、对应）、在反复实验中观察不确定现象（变化、对应）.另外，人教版教材还结合章节新知内容在节后习题或章复习题的“拓广探索”部分安排了一些找规律的题，这些内容都很好地让学生感受到“对应、变化”，是对函数思想的逐步渗透.
第二层，初二及初三上册侧重点，在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及其性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识和理解函数.如人教版教材，通过候鸟飞行问题引入正比例函数、通过登山问题引入一次函数、通过汽车行驶中的问题让学生体会变量间的对应关系.人教版教材还专门安排了一次函数与实际问题、反比例函数与实际问题、二次函数与实际问题，让学生找出相关变量间的对应关系，并以数学的形式表现这种关系，不仅体现了数学建模思想，也反映了函数应用的广泛性。
第三层，初三下册侧重点，了解函数与其他相关数学内容之间的联系.例如：方程问题被看做函数的特殊情况时，借助函数图象问题往往更容易解决；抛物线与x轴交点的判定；直线与抛物线交点的判定；利用各类函数在不同区间上的单调性讨论不等式有关的最大值最小值；利用几何图形的变化，构造函数关系式更是近几年中考的热点.
4.关注“过程”是渗透数学思想方法教学的保证
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等.学生只有积极参与教学过程，独立思考、合作交流、积累数学活动经验，才能逐步感悟这些思想.
渗透，也就是润物细无声.就是在基本数学知识的教学中或师生的基本数学活动中，融进某些抽象的数学思想，使学生对这些数学思想有一些初步的感觉或直觉，让数学思想或方法逐渐进入到学生的思想中，通过积累成为学生认知结构的一部分.
关注过程，也就是老师切实组织、引导学生对数学概念、公式、性质定理进行“解”与“构”.老师以学生熟悉的生活背景或已有数学经验为载体，帮助学生建立有意义的学习方向，学生从自己不断深入的概括活动中、探究过程中、应用训练中经历数学思想的形成过程.一是合理创设情境，好的“情境”，应当是学生熟悉的、简明的、合理的有利于引向数学本质的.二是引导学生自主探索.探索活动的价值不仅在于获得知识，还包括引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想.
例4 一个简单问题的两种教学构思比较
教师给出题目，探索数量关系的变化规律.求1+3+5+…+99=？
表面看这是一个小学低年级的加法运算，如果让学生逐个加起来，那就失去了它的教学意义，有些老师也会为展示自己的风采直告诉学生首末相加，也因漠视“过程”在失去了以此题为契机进行思想方法教学的机遇.在初中，学生学习了字母表示数后，对对应思想有初步理解后，教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果，而是希望学生通过求解的过程归纳出规律，最终预测出一般性的结果并验证.
教学思路一：由简单到复杂.
（1）由简单到复杂.从题目的最简单的情况开始计算，探索规律：
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
进一步引导学生观察（不是老师直接告诉），学生可能会发现上述计算结果均为平方数，甚至可能会发现均为算式中因子个数的平方，于是可以预测：
结果找到了，但作为教学，还应该对此题进行提升，要在知道了一般的计算公式的基础上，要让全体学生都能够用数学符号把计算公式表达出来.这时，需要先引导学生考虑奇数的符号表达，考虑这个表达与题目中因子个数的关系，然后可以得到一般的结论：
最后可以让学生用数学归纳法等验证这个结论.
这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙，但在数学探究中往往是最有效的方法.在教学过程中要让学生关注：分析计算结果的数量关系、寻求规律，提出猜想，符号表达，验证规律.
为了帮助学生思考，教师也提供一些工具，比如下面的点阵，启发学生从数与形的联系中发现规律：
可以看到，图中的折线中得到的就是平方数，引导学生用算式表达出来，然后得到一般的结论.
教学方法二：利用已知的公式（已知结果）.
如果学生已经知道自然数前n项和的公式：
则可以计算偶数的前n项和的公式：
2+4+6+…+2n=2（1+2+…+n）=n（n+1）
于是奇数的前n项和的公式为：
两种思路分析：
教学设计一，引导学生由“特殊到一般，从简单到复杂，由具体数字到符号化”.这种特殊化的方法不仅在数与式的学习中，就是在空间与图形学习中也有重要用处，例如在求几何定值问题中，多用特殊化方法——特殊到容易看清楚的地方，认透了、钻深了，然后再一般化，这是解决难题复杂问题的一个“偏方”，能帮学生找到解题思路的策略.
教学设计二：简洁、符号化，体现了数学演绎推理的特征，表面看数学味更浓.但它不是教学，它是解题.如果是初二整式乘除法之后，意在引导学生在运算情境中熟悉整式变换，尚可以.
我们应该选用哪种方法进行教学呢？取决于不同的教学目标.如果重在让学生理解数学符号的意义，培养学生推导公式的能力，那就用第二种.如果重点是（初一）意在引导学生探索数量关系的变化规律，就应该用第一种.
5.择机介绍是数学思想方法教学的必要提升
介绍，就是在某些数学知识或数学活动中有意识的“引进”或“带入”数学思想方法，不仅“融合”，而且使学生“了解或熟悉”，使学生对这些思想方法有初步的理解，有一定的理性认识.特别是在学生的探究活动或变式训练中，教师不仅要给予学生启发、引导，而且应当在“归纳、示范阶段性结论、明晰进一步探索的思路”这三个节点上适时的介绍思想方法.
例5 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等
教材分析：圆是日常生活中常见的图形之一，教学重点不是了解圆的性质，而应突出图形性质的探索过程，重视直观操作与逻辑推理的有机结合.借助圆的轴对称性，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等探索图形的性质.因此，教学活动分两个阶段：
（1）探索发现.在透明纸上画出如图：设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流.学生可以发现：
PA=PB，∠APO=∠BPO.
在这个通过实例发现图形性质的过程中，老师要点拨、介绍让学生认识到这是一个“由特殊到一般”，通过“合情推理”推测出切线长定理的结论的数学方法.老师的介绍可以强化学生的对这一思想方法的认同感.
（2）证明结论.如图，连接OA和OB和OP.因为PA和PB是⊙O的切线，则∠PAO=∠PBO=90°，即△POA和△POB均为直角三角形.又因为OA=OB和OP=OP，则△POA与△POB全等.于是有PA=PB，∠APO=∠BPO.
这是个逻辑推理过程.这一阶段，学生初步掌握了推理论证的方法，但需要巩固提高，达到熟练地用综合法证明命题.老师要向学生介绍推理证明的要求“已知、求证、证明”，也可适当向学生介绍“探索式”的证明方法.
在这个问题中，我们分别用了实验操作与推理证明，都是研究图形性质的有效工具.如果不向学生做必要的介绍，学生无法理解合情推理与“证明”的关系.介绍，就是让学生在实际情境中明确什么是合情推理？什么是演绎推理？从而进一步理解合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式.
6.突出重点是数学思想方法教学的根本
突出，就是在日常教学中经常性的予以强调，使它成为学生“学习习惯”“思维习惯”的必然，从而使学生能灵活自由应用.重点，就是同类事物中重要的或主要的组成部分.初中数学学习中数学思想方法的重点是什么呢？新课标背景下，中小学数学学习活动，涉及的思想方法很多，但是“观察、比较、分析、综合和归纳、类比”等都是一般的科学方法，学生在小学就已在接触.初中数学有别于小学数学的是“抽象、概括、逻辑论证”.而在“抽象、概括、逻辑论证”这三个数学活动中要用到的“数形结合、转化、由特殊到一般、分类、符号化、方程与函数”等思想方法，自然就成为我们的重点.
例6 特殊与一般的思想方法
“特殊与一般的思想”，在初中每一章内容的学习活动中都有这一思想方法的教学素材，这就是“突出重点”的着力点.如“用字母表示数”——是代数的基本特征，是学生初一从“具体数字”到“抽象的符号”的一次质的飞跃，是“符号化”的基础，也是常量到变量的基础.后续学习中用字母表示未知元、表示待定系数、表示函数，实际上列方程、解方程、解不等式、待定系数法、根与系数关系等都是用字母表示数思想的集中延伸发展.如“特殊图形的应用”——通过取特殊点、特殊角或特殊几何图形（任意三角形转化为特殊三角形、任意四边形转化为特殊四边形）容易发现待求问题与已知条件之间的联系，找到问题的突破口.要想让学生到初三能熟练地在中考中用“特殊化方法探求定值、探求图形的性质”等就必须在相关教学活动中突出这一思想方法.
所谓突出，不单是让学深度参与“过程”，更要让学生不断明确这一思想方法在“过程”中的意义.在教学中，通过在不同知识背景与数学活动中的体会，不仅让学生掌握“从特殊到一般，再由一般到特殊”这一探究问题的方法，还要让学生理解这是“认识”的基本规律，进而让学生形成“事物的一般性存在于事物的特殊性中”“事物的一般性又包含着事物的特殊性”这两个哲学概念.“滟滟随波千万里，何处春江无月明”，这就是思想方法教学的境界.
三、结束语
学生走出校门后，忘掉的是数学知识点，忘不掉的是铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法.事实上，学生在中学所学的“数学概念、公式、定理、解题技巧”在毕业后，因在工作与生活中很少用到，很快就忘记了，真正对日常工作与生活有深远指导作用的是数学思维方法、研究方法、推理方法.因此，学习数学的根本是学习这些数学知识所蕴藏的数学思想、数学方法，唯有如此，才可能在工作与生活中数学的提出问题和解决问题.
章建跃博士认为：“数学思想方法教学要强调有序性、过程性，并强调变式训练…数学思想方法重在‘悟’，悟就需过程”.因此，数学思想方法教学的关键点就是要落实一个循序渐进的过程——有目的、有计划的安排、形式与内容统一的教学设计，这两者是让学生领悟数学思想方法的基本抓手.对于常用的数学思想方法，老师在“层次上”要有明确的教学目标——是了解？理解？掌握？还是灵活应用？唯有如此，才可能让学生在数学活动中享受丰富而又多元的资源，才可能让学生经历并感悟到一种唯有在数学学科的学习中才有可能经历、体验和形成的思维方式——数学思想方法.
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