对核心素养“数学抽象”的实践与认识，本文主要内容关键词为：素养论文,抽象论文,核心论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来，有关“数学素养”的问题受到教育界的普遍关注.高中课标的修订明确提出了培养核心素养的问题.数学核心素养具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现.“数学抽象”位居六个数学核心素养之首，史宁中教授认为：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象.本文结合笔者的教学实践谈谈数学抽象的含义及如何培养学生的抽象能力. 一、数学抽象的含义 所谓抽象，是指在认识过程中，舍弃事物个别的、非本质的属性，抽取出本质属性的过程和方法.数学抽象是指通过观察、分析，撇开事物表象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律的一种数学研究方法.著名数学家欧拉在解决“哥尼斯堡七桥”问题时，撇开岛区、陆地的其他属性，将它们抽象成四个点，把七座桥抽象成七条线，于是，一次无重复地走过七座桥的问题转化为不重复地一笔画成图形的问题.欧拉这一成功的实践采用的就是数学抽象的方法. 关于数学，辞海中定义为“数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学”，史宁中教授定义为“数学是研究空间形式和数量关系的一门科学”，认为不管是现实世界中，还是思维想象中的“数量关系和空间形式”都属于数学研究的范畴.这表明数学抽象的基本特征是数量化和形式化. 二、在课堂教学中进行数学抽象的探索 数学抽象具体表现在以下几个方面：1.形成数学概念与规则；2.形成数学命题与模型；3.形成数学方法与思想等.以下通过几个优秀的教学案例予以诠释. （一）在概念教学中，通过精心设计素材，引学生抽象数学概念 众所周知，数学概念是数学知识的基础，是数学思维的基本形式.概念的获得有两种基本方式——概念的形成与概念的同化.概念的形成是指从一些具体例证出发，抽取一类事物的共同属性，从而形成概念；概念同化是指用定义的方式直接揭示概念，学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念.可见，概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程，譬如，导数的概念，就是从物体直线运动的瞬时速度、曲线的斜率以及电流的强度等概念进行高度抽象的结果；譬如“四元数”，是借助符号与类比得到更高层次的抽象.“对数”是高中数学中的一个核心概念，也是教学的难点. 案例1 高中数学必修1“对数”概念教学 在江苏省高中数学评优课上，我们把两位优秀选手的教学片段整合如下： （1）创设问题情境，自然引出对数概念 情境1 以古代名句引入 上课伊始，“大家知道古代的思想家庄子吗？”教师乘势介绍“老庄哲学”.（略） 接着，投影：庄子日：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 问题1：取1次，还剩余多长？ （剩余0.5尺.） 问题2：取多少次还剩余0.125尺？
思考：多少次后剩余不足0.001尺？
情境2 从逆运算的角度引入 课本第68页 例4 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%. 问题3：写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 学生不难列式：经过x年，该物质的剩留量为y=0.84x. 问题4：只要知道时间x就可以计算剩留量y，反过来，如果我们知道了该物质的剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如经过多少年，剩留量为0.5？ 即已知
=0.5，求x.
引导学生得出：这是一个“已知底数和幂的值，求指数”的问题，这是一种新的运算，本节课将要研究它. 问题6：
=0.5中的x是否存在？是否唯一？能否借助之前所学的指数函数内容加以说明？ 引导学生得出
=0.5中的x存在且唯一. （2）从情境中抽象、建构对数概念 ①定义“对数”：一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即
，那么就称b是以a为底N的对数，记作
，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数. ②对定义的说明：教师让学生明确对数概念的本质以及如何书写等. ③简单运用（略）. 评注：对数概念比较抽象构成教学的难点，突破难点的主要方法是化抽象为具体，适当增加感性材料作为铺垫.情境①是通过学生熟悉的古代名句引入，以史激趣、以史化人.情境②是从数学体系的需要，以教材中指数函数问题为背景，依次提出四个问题，问题3、4是引导学生从数学逆运算的角度引出对数概念，较为自然；经过三次抽象，第一次是从两个实际问题情境舍弃具体的属性，抽象出数学问题；第二次抽象是通过问题5让学生观察、分析两类实际问题、两个数学式子，从中抽象出概念的共同属性，得出“已知底数和幂的值求指数”的新问题，这样，从解决一类问题的需要引进一种新的运算，揭示了学习“对数”的必要性；之后通过分析问题6，发现了“求指数x的运算不仅存在而且唯一”，可见，进行“对数”的研究是有价值的，由此给“对数”下定义就水到渠成，下定义可以视为第三次抽象，是把对数的本质属性用数学符号语言表述，明确称呼、记法，使对数概念更明确、且容易推广.由此可见，对数概念的教学是从概念的形成角度，抽象出概念的本质属性，然后从概念同化的角度给对数下定义，这是两种概念获得方式的结合，也是教师引导学生进行数学抽象的结果.提供抽象的事例一般需要3个，否则抽象的结论不能令人信服. （二）在应用题教学中，通过归纳提炼，教学生抽象数学模型 “数学建模”是新课标提出的六大数学素养之一，应用题是建模的主要载体，也是中等及中等以下学生的“拦路虎”.而建立模型的过程，就是一个数学抽象的过程.教师要让学生亲历探索、建模的过程，教学生抽象数学模型和问题的本质. 案例2 高一必修4“三角函数的应用”的教学片段 无锡市一次学科带头人评选的课题是“三角函数的应用”，教材上有两道例题（见下例1、例2），以下是其中一位优秀教师的教学片段. 例1 点O是简谐运动物体的平衡位置，取向右方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到平衡位置最远处开始计时. ①求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系？ ②求物体在t=5s时位置？ 说明：教材中例1虽容易理解，但教材直接给出了简谐振动的函数关系，学生心存疑惑，因此，教师设置一道简单探索题复习拟合法建模，暴露振动方程的形成过程，而把例1作为练习，如此处理体现了用教材教的理念. 课堂操作： （1）创设情境，提出问题 情境：动画播放简谐振动图片，出示下图.
问题：点O是简谐运动物体的平衡位置，取向右方向为物体位移的正方向，下表是物体对平衡位置位移x（cm）和时间t（s）的关系表：
试求出物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系. （2）引导学生探究 师：观察表格中数据，位移变化具有怎样的规律？部分学生感觉是周期变化，但不够自信.师问：有什么办法解决这个问题呢？学生觉得可以通过画图、观察. 教师给每位学生下发画图纸，学生在纸上描点、画散点图.部分学生觉得可以用正弦型函数x=Asin（ωt+φ）来拟合这些数据，有的学生觉得也可以用余弦型函数.教师为方便起见，统一用正弦型函数.之后，学生用待定系数法求出
（3）学生练习（解决教材例1） （4）回顾小结 教师提出下列问题，引导学生抽象、回味. ①通过上述解答，请你说出一个物体的简谐振动，其数学本质是什么？ ②从今天研究函数的方法，结合初中研究函数的方法（一次、二次、反比例函数），你觉得研究函数的一般方法是什么？ ③请大家归纳提炼解决三角应用问题的基本思路，重点是什么？从而推广到解决一般应用题. 请3～4位学生回答，整理如下： ①物体的简谐振动，可以用正弦型函数，也可用余弦型函数，其本质是周期函数. ②通过列表、描点、画图获得性质，即拟合法是研究函数的一般方法. ③解决三角应用问题的基本思路（见流程图），重点是建模，难点是联想到画图.
解决一般应用题的基本思路也类似，通过审题、寻找数量关系，建立模型.再通过解模，从而回答原问题. 例2 一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点
）开始计算时间.
①将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； ②点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：略） 说明：本题是三角函数在圆周运动中的运用，信息多，综合性强，高一学生显得困难，需要突破建模之难点. 课堂操作： （1）创设问题情境 情境：投影明代科学家宋应星《天工开物》中的水车和三峡水电站的大型机组的图片（略）. 问题：从上述两幅图片看，水轮在生活中起了重要作用，水轮的运动特点是什么？用什么函数描述这种运动？出示例2（把半径改为4m）. （2）通过师生对话，引导学生探究
（3）教师通过下列问题引导学生数学抽象 ①变式：若半径为r，角速度为ω，起点
分别在第一、第二、第三象限时，点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数怎样？ ②例2这种圆周运动高度z与时间t的函数关系的数学本质是什么？ ③结合例1，你觉得还有哪些学习、生活中的运动问题也满足这个规律？ 请3～4位学生回答，整理如下： ①z表示为时间t（s）的函数为：z=rsin（ωt+φ）-rsinφ； ②z满足解析式z=Asin（ωt+φ）+B，本质是周期函数； ③除了刚才的弹簧振子、水轮，还有钟摆、摩天轮等含周期现象的问题，都可以归结为这一公式. 评注：对教材中的例1、例2的处理显示了教师的智慧，其一，从生活中的问题（简谐振动、水轮）出发精心设计问题情境，有益于促进学生理解问题；其二，围绕问题的解答，在教师引导下，学生都亲历了数学探究；其三，解答后让学生回顾反思，进行数学抽象.例1中三个问题：①是抽象出物体简谐振动的数学本质；②是抽象出研究函数的一般方法；③是让学生提炼解决三角应用问题的基本思路，乃至一般应用问题的基本思路.例2中的三个问题：①是把例2这一具体问题进行变式推广，归结为一个表达式；②抽象出质点运动一类问题的本质——三角函数的周期性（三角函数的最重要的性质之一）；③是通过举例，让学生说出质点运动的外延.这是在教学生抽象数学模型，抽象问题的实质. （三）在复习课教学中，实施有效变式，让学生抽象问题的本质 复习课是高中数学的主要课型之一，其重点是问题的选编与精讲，这里主要谈如何通过变式精讲，教学生归纳数学方法、抽象问题的本质.“变式”是指通过变条件、变结论等，对命题进行不同角度、不同层次的变式，完善学生的知识结构和方法体系. 案例3 在高三“三角”复习教学中，一位教师出示问题： 在△ABC中，若三角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，若a，b，c成等比数列，求角B的取值范围.
解答后，教师可进行下列变式： 变式1：若a，b，c成等差数列，则∠B的取值范围________. 变式2：若a，b，c成等差数列，且sinB+cosB=k，则k的取值范围________.
让学生进行依次回答下列问题，进行抽象、应用： （1）从原题及变式题中抽象一下，这是一类什么问题？ （2）请说出解决这类问题的方法及流程，该问题的本质是什么？ （3）请你编一道问题，让同伴求解. 通过2～3位学生回答，归纳起来，有以下几点： （1）这是一类求三角形中某一个角（或余弦值）的取值范围（或最值）问题. （2）解题方法及流程：转化为边的关系→用余弦定理表示角的余弦→→变形、结合基本不等式→求余弦值的范围→根据余弦函数的单调性，求角的范围或最值. （3）学生自编题（选取其中两题）：
评注：在学生解答一道问题后，教师通过三个变式题，变更对象的非本质属性，这种从特殊到一般，推广引申的过程就是一种弱抽象的过程.通过对该题组的解答及抽象思考，学生不仅掌握了解决这一类问题的方法，获得整体认识，而且透过现象弄清了这类问题的本质，喜悦之情溢于言表.当然，变式需要依据学情与内容，适度进行.之后，让学生尝试自编习题，是为加深学生对一类问题本质的理解. 三、数学抽象的意义及操作要点 综上，数学抽象，可以把表面复杂的东西变得简单，把表面混沌的东西变得清晰，把表面无关的东西变得统一.数学抽象的意义，归纳一下有四点：（1）数学研究对象通过符号形式进行推理和运算，给数学理论的表述和论证带来极大的方便，它是数学发展和人们认识数学的重要方法.（2）通过抽象，让学生亲身经历新知建立的观察、分析、抽象、概括的全过程，有益于他们学习科学研究的一般方法，有益于培养学生的认知力和抽象能力.（3）引导学生透过现象抽象问题的本质，实际是教学生学会学习、学会思考，这对于改变某些地区学生依赖教师、被动学习有积极的意义.（4）数学抽象也是解决数学问题的基本方法.正是数学的高度抽象性，使得数学具有广泛的应用性，可以提炼数学概念，概括数学模型，使学生在数学解题时有意识地区分问题的主次，抓住事物的本质. 操作上，其一，不论是概念教学还是应用题、习题教学，要预留一点时间，把抽象的机会让给学生；其二，在新授课教学中，教师要精心创设问题情境，引导学生通过观察、分析、抽象，提炼数学概念，归纳数学结论、抽象数学模型，在复习课或习题课教学中，教师要进行有效的变式训练，使学生更好地把握问题的本质和规律；其三，要遵循循序渐进的原则，起点低，由易到难，发现并肯定学生的闪光处，不断给予学生成功的机会.培养学生数学抽象能力是一个长期的过程，从上述案例不难发现，在课堂上有意识加强训练，润物细无声，只要坚持下去，就能积小胜为大胜.
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