华北电力大学 电气与电子工程学院 北京 102206
摘要：本文以Matlab为工具，利用有限容积法求解二维热传导方程从而对高温作业专业服装各层的导热性能进行研究，并结合附件中的相关数据解得各层的温度随厚度、时间的变化关系函数。
问题一、首先对高温作业专业服装的各层模型做简化处理，将热传导看成在简单的二维平面内沿厚度x方向进行。将每层的材料视为无数“有限体积单元”的叠加；再对每个“有限体积单元”进行研究并得到温度T关于时间t、厚度x的偏微分方程。运用有限容积法对该偏微分方程进行求解。
问题二、利用以上模型在给定的条件下，首先确保在60min时假人皮肤外侧的温度低于47℃。随后将Ⅱ层厚度划分为从0mm-1mm……24mm-25mm的25个区间，并在这25个区间内分别进行数值分析与试探,求得符合条件的14个厚度区间，再对符合条件的厚度区间进一步划分并重复以上操作以求得厚度的最优解为8.7mm。
问题三、基于问题一的模型在给定条件下可得到以II层，IV层厚度为自变量，皮肤外侧温度为因变量的非线性二元函数。采用随机搜索法确定最优解的近似值，用牛顿法对函数进行求解，得出厚度的最佳值为II层为18.4mm，IV层为6.2mm。
关键词：一维传热方程、有限容积法、牛顿迭代法、Matlab
一、问题重述
高温作业专用服装为高温从业者提供人身安全保障，通过对高温作业专用服装的相关参数的确定完成以下问题的解答：
问题一：结合附件1给出的数值，对当环境温度为75oC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。建立合适的数学模型，分析并计算假人皮肤外侧的温度随时间及厚度在各层的分布规律，并生成温度分布的相关Excel文件。
问题二：当环境温度为65oC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。
问题三：当环境温度为80℃时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。
二、模型假设
（1）假设各不同材料的衣层间无接触热阻。
（2）假设忽略Ⅰ层外侧的空气热对流。
（3）假设Ⅳ层为非流体层。
（4）假设热量的传导方向是一维的。
（5）假设取单位面积进行分析研究。
（6）假设假人皮肤、空隙层和衣料各层构成的系统为平板结构。
三、符号说明
为分析假人皮肤表面温度分度，我们引入时间（τ）、温度（T）、密度（ρ）、热传导系数（λ）和热源项（S）等参数，将假人皮肤及各层衣料所构成的系统简化为不同材料的平板的叠加并取系统中的有限体积单元中利用由二维导热方程简化得到的一维导热方程解得温度随时间的变化规律。
4.1.1有限体积法的运用
在有限单元中，采用温度场离散，将每个方程分解为各个“有限体积单元”元对它的贡献，如此即可运用单元搜索法，计算每个单元对各个方程的贡献，最后整体合成为要解的线性方程组。对于二维问题，“有限体积单元”是指以P为中心，由上下左右界面所形成的封闭面积（如图示），相邻体积单元间通过各自然界面传递热流量，并运用能量守恒定理进行计算。
再利用（2）式可求得二维传热偏微分方程的等效离散代数方程。
4.2.1模型求解
5.2问题二的求解
5.2.1利用二分查找思想初步确定最优解
首先将0-25mm的厚度范围均分为步长为1mm的25个区间，在每个区间内运用二分查找法，将对应的厚度带入问题一中所确定的模型中可以得到假人皮肤外侧温度与Ⅱ层厚度之间的函数关系，运行程序可得在不同II层厚度情况下的多条温度-时间曲线。
通过对图像的观察，基本确定出符合题意的厚度区间为6mm-7mm、7mm-8mm……24mm-25mm这14个区间。综合考虑到阻热性能、成本及舒适度初步确定区间为8mm-9mm。
接下来我们再将区间8mm-9mm分成8.0mm-8.5mm、8.5mm-9.0mm两个区间，再次综合考虑以上因素锁定区间8.5mm-9.0mm。观察以下曲线：
再利用matlab进行求解。
5.2.3利用Matlab编程求解微分方程
对于离散化得到的离散型微分代数方程，先将其化为标准方程，再利用
运行程序得到皮肤外侧温度，时间及第II层厚度的三维关系图如下：
比对程序运行结果可知，当环境温度为65℃时，时间为60分钟时，皮肤外侧表皮温度不高于47℃且温度高于44℃的时间不超过5分钟的厚度范围和上述结果并无相悖。结合实际情况以及考虑到成本与舒适度，最终得出第II层的最佳厚度为8.7mm 。
5.3问题三的求解
基于上述模型，将环境温度80℃，时间30分钟代入求得的温度分布函数中，可得到如下函数：
τ=F（x,y） (4)
式中τ为假人皮肤外侧温度，x为第II层衣料厚度，y为第IV层衣料厚度。不难看出，τ为关于x和y的非线性二元函数。为使在环境温度80℃，时间30分钟时，假人皮肤外侧温度不高于47℃，即在该条件下，该非线性二元函数的最大值为47℃。由此可以对该二元函数进行最优解的求解。
5.3.1利用遗传算法得到最优解的近似值
采用随机搜索的全局方法，确定最优解的近似值。
利用遗传算法分别对II层与IV层给定厚度区间上的数据进行随机搜索。
最后求得的II层厚度的最优解近似值为18.4mm，IV厚度的最优解近似值为6.2mm。
5.3.2 利用牛顿迭代法求得理论最优解
该非线性二元函数的优化问题可看作是一个无约束的优化问题，因此可以利用牛顿迭代法对其进行最优解的求解。
首先利用泰勒展开式对该二元函数进行展开，由于二阶导数的近似导数等于原方程的一阶导数近似，因此在此采用二阶近似的方法简化其泰勒展开式。然后对展开的函数进行求导，迭代法求解接近于导数零点的值，即可得到函数的极值点，亦即所要求的II层与IV层厚度的最优解。
运行程序求得的II层最佳厚度18.4mm，IV层最佳厚度为6.2mm。
六、模型的改进
为使模型更加符合实际情况，可以考虑防护服中各层材料之间的热辐射。对于三层防护服，若我们设定β为辐射吸收常数，K^(-1)，σ为斯蒂芬-玻尔兹曼常数，则材料之间的热辐射量应满足以下方程：
代入相应的衣料材料的边界条件和初始条件，可以求得在防护服中各层材料中热辐射的热量，将所建模型中求解得到的热量传递数值与该热辐射热量数值做代数求和，可得到由外界传递至皮肤外侧的热量，最终可以求得实际情况下的皮肤外侧温度分布情况。
七、参考文献
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论文作者:卢俞帆、陈锦辉、刘天元
论文发表刊物:《科技新时代》2019年3期
论文发表时间:2019/5/9
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