运用基本图式发展几何直观，本文主要内容关键词为：图式论文,直观论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、几何直观与基本图式 1.几何直观的内涵 几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中新增加的核心概念之一.几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学.在初中数学的每个领域的学习中，几何直观都发挥着重要的作用，它贯穿于整个数学学习过程之中. 有学者提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系.笛卡儿也说过，没有任何东西比几何图形更容易引入脑际了，因此用这种方法来表达事物是非常有益的. 几何直观的本质是一种通过图形所展开的形象能力.它借助几何图形这一直观外形，并透过这种直观外形，发展对事物的数量关系的直接感知.即利用图形来说明和解决数学问题，把研究的对象抽象成图形，把对象之间的关系转化为图形之间的关系，把问题转化为图形的数量关系和位置关系，用图形直观地进行思考、分析和解决问题.一般地，基于《标准（2011年版）》的几何直观有两个层次：（1）利用图形描述和分析问题的意识，即遇到问题的时候有从图形的角度进行分析和描述的习惯和想法.（2）利用图形描述和分析问题的能力，即具有从图形的角度分析和描述问题的能力和方法等. 2.基本图式的概念 基本图式起源于“图形与几何”领域.这个领域主要包括图形的性质、图形的变化、图形与坐标等内容.其中，图形的性质、图形的变化是初中数学的传统内容和经典内容，也是基本内容和核心内容.由于这部分内容逻辑性强、形式化程度高、解题过程要求严谨、题目种类繁多，学生在学习中存在许多困惑和盲区，从而成为教与学的一个难点.在长期的教学实践中，笔者一直将基本图式的运用作为易化几何教学的突破口之一，积累了一些成型的经验和方法，总结出了运用基本图式发展几何直观的主要环节，并延伸到数与代数、概率与统计等数学领域的教学中. （1）基本图式的含义. 所谓基本图式就是将在“图形与几何”领域的学习过程中遇到的一些常用的、简单的图形结论化、模式化、方法化，作为一个基本单元或子图形，运用到复杂图形的研究和新知识的学习中，简化复杂问题，为新知识的学习提供指导和帮助.如同“数与代数”领域的公式一样，基本图式是“图形与几何”领域的公式，是结论化的图形，是图形化的公式，是简化几何教学的强力抓手. （2）基本图式的分类. 初中阶段“图形与几何”领域的基本图式一般分为两种类型，即理论型基本图式和经验型基本图式，其中后者所占比例较大，是学习的重点.教材中的概念、公式和定理中反复出现的图形叫做理论型基本图式；重要的例题、习题、试题中反复出现的图形叫做经验型基本图式.经验型基本图式大都来源于理论型基本图式，多数由两个或两个以上的简单的理论型基本图式组合而成.例如，由北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版《教科书》”）九年级上册第82页的基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论，可以得到相似三角形的两个基本图式，即如图1所示的A字图和如图2所示的8字图；将它们中的条件稍加修改后就得到两个新的图式，即如图3所示的斜A字图和如图4所示的蝴蝶图.由北师大版《教科书》九年级上册第90页习题4.5中的第3题得到母子三角形图式（如图5），以上5个图式和3R图式（如图6）构成了相似三角形的基本图式体系.其中前两个是理论型图式，后面四个是经验型图式.
理论型基本图式可以直接运用于后续知识的学习，既可以运用于客观题型，又可以运用于主观题型.而经验型基本图式只能直接运用于客观题型，在主观题型中要先证明后运用，但它对主观型问题的解决能起到导航的作用. 二、运用基本图式发展几何直观的主要环节 几何直观之所以成为《标准（2011年版）》的核心概念之一，原因在于它贯穿于初中数学的每个领域、每个章节之中，它的形成是一个相对漫长的过程.教学实践证明，如果能够借助基本图式，从较复杂的图形中抽象、分离出较简单的图形作为基本图式，寻找出基本图式中的基本元素及其相互关系，利用图式直观地进行思考，可以使复杂、抽象的问题变得简明、形象，提高学生对于图形与几何的学习水平，有利于发展学生的几何直观. 一般来说，运用基本图式发展几何直观的一般环节包括：基本图式的筛选、图式中问题的解答、图式中的主要方法、类题练习、图式的导航功能等.其中图形语言、符号语言与文字语言三种语言的互译是基础，基本图式在新知识和复杂图形的学习中的导航作用是关键，基本图式对合理思考、简明书写的指导是重点，发展学生的几何直观是伴随性功能.下面以二次函数应用中的一个基本图式的学习、提炼过程为例，说明运用基本图式发展几何直观的过程. 1.基本图式的筛选 图7是二次函数应用问题中的常见图式，是相似三角形与二次函数知识综合的一个基本载体.其代表题目是下面的例1. 例1 如图8，在Rt△AEF中，∠EAF=90°，AE=30，AF=40，在Rt△AEF的内部作一个矩形ABCD，使得边AB，AD分别在两直角边上，求矩形ABCD面积的最大值.
2.图式中问题的解决 解：在图8中，设CD为x，矩形的面积为y. 因为DC//AF， 所以△EDC∽△EAF.
当x=20时，y的最大值为300. 所以当x取20时，矩形ABCD的面积最大，最大值是300. 3.图式中的主要方法 例1是相似三角形和二次函数建模问题.首先，利用A字图得到一对相似三角形；然后，利用相似三角形的对应边成比例，得出AB与AD之间的关系，再求出矩形面积y与CD长x之间的二次函数关系式；最后，利用二次函数的顶点坐标求出答案.解决完本例后，可以让学生完成下面的类题练习，进行反思和类比. 4.类题练习 类题1：在例1中，如果把矩形ABCD改为如下页图9所示的位置，其顶点A，D分别在两条直角边上，点B，C在斜边上.∠EFG=90°，EF=30，FG=40，那么矩形ABCD的最大面积是多少？ 解：如下页图10，过点F作FM⊥GE于点M，交AD于点N. 则FM⊥AD，且EG=50. 从而得FM=24.
设AD=x， 因为AD//EG，所以△DFA∽△EFG.
所以当AD=25时，矩形面积最大，最大值是300. 类题2：如图11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12.在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得EF在BC上，点D，G分别在边AB，AC上.设DG=x，矩形DEFG的面积为y，问矩形DEFG的最大面积是多少？ 解：如图12，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N.
因为AB=AC=10，
当DG=6时，矩形DEFG的面积最大，最大值是24. 从解答过程可以看出，这两道类题与例1如出一辙，思路相同、方法类似，而且位置紧密衔接，可以视为例1的同类题. 5.图式的“导航”功能
分析：类比直角三角形内接矩形图式的解决思路即得.
通过上面一系列的学习、探究，我们成功地提炼出了两个基本图式：直角三角形的内接矩形图式和锐角三角形的内接矩形图式.在此过程中，学生经历了感知图形、分析图形、发现思路、作辅助线完善图形、解决问题、归纳规律、演变图形、拓展结论、图形重组等活动，从图形的直观关系逐渐提升到图形的数量关系，最终达到对图形结构的认识，充分发展了几何直观. 三、要在各个数学领域中运用基本图式发展几何直观 在初中数学教学中，培养学生的几何直观，其关键在于积淀基本图形及其代数含义，积淀代数、统计、概率等表达方式及其图形表示.几何直观的发展是数学教育的重要组成部分，应该贯穿、渗透于数学学习活动的每一个环节和初中数学的各个领域中.除了前面提到的图式，下面再举几个例子. 1.用平行四边形的基本图式发展几何直观 平行四边形是三角形的延伸，这部分内容大多数可以化归为三角形的全等和相似问题因为平行四边形有其自身独特的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称等），从而产生了一些基本图式.其中有两个核心图式：图14和图15.在图14中，过
ABCD对称中心的任意一条直线MN被一组对边截得的线段相等，即OM=ON，AM=CN，这个图式叫做平行四边形中的等截线图式.因为平行四边形中心对称，处于对称位置的两个三角形一定全等（如△AOM≌△CON，△DOM≌△BON），所以OM=ON，AM=CN，MN平分
ABCD的面积，等等.在图15中，已知
ABCD，如果DF平分∠ADC，那么AF=AD，即△ADF是等腰三角形.这个图式也叫做线平行、角平分、形等腰图式.因为AB//CD，所以∠F=∠CDF.所以∠ADF=∠F.所以AF=AD.
例2 如图16，在
ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E，F，AE，BF相交于点M.判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明. 解：DF=CE. 因为AE平分∠DAB，根据“线平行、角平分、形等腰图式”，得到DA=DE. 同理，由BF平分∠ABC， 得CF=CB. 因为AD=BC， 所以DE=CF. 所以DE-EF=CF-EF， 即DF=CE.
2.用反比例函数中的基本图式发展几何直观 函数的学习离不开它的图象，反比例函数的学习自然离不开双曲线.双曲线本身就是一种几何直观，它有许多美妙的性质，如增减性、分段性、对称性、渐近性等，与其他数学知识的兼容性也很强，可以渗透到数学的许多章节，为几何直观提供了一个广阔的平台.双曲线中有三个基本图式：k图（如图17）和一对“姊妹图”（如图18、图19）. 图17是反比例系数k的几何意义的体现，简称为k图，只要运用
，关于面积的问题就迎刃而解.图18和图19是双曲线与直线的组合图，因为它们包含的条件、结论、方法、设问等基本相同，不妨叫做一对“姊妹图式”.在这对姊妹图式中，已知双曲线和直线AB的解析式，可以解决下列问题：（1）求出两个图象的交点A，B的坐标；（2）求△AOB的面积；（3）写出一些特殊不等式的解集；等等.图18中的斜△AOB面积一般用割补法计算，
例3 在下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）.
解析：根据反比例函数系数k的几何意义可得， 选项A的两个阴影三角形面积和为xy=3； 选项B的阴影部分面积和为3； 选项C中，根据上面的规律，作一个梯形，得出阴影部分面积为选项D中，根据点M，N的坐标以及三角形面积公式，得出阴影部分面积为
； 选项D中，根据点M，N的坐标以及三角形面积公式，得出阴影部分面积为
故选择选项C. 3.用统计中的基本图式发展几何直观 数据处理离不开统计图和统计表.条形图、折线图、扇形图自身就是图形直观，它能反映一定的数量关系，是统计模块中的基本图式.利用各种统计图的直观性，描述数据、分析数据、处理数据的过程，蕴含了发展学生几何直观的目标.数据处理的过程自然是一个形成几何直观、发展几何直观的过程. 例4 统计九年级一班学生某节体育课活动内容的调查情况，可以引导学生用列表格的方式表达如表1，然后绘成扇形统计图（如图21）.
表格与扇形图直观地反映了体育课活动的人数占全班人数的百分比情况，在完成这项任务的过程中，不知不觉地发展了学生的几何直观. 4.用概率中的基本图式发展几何直观 求概率的过程与发展几何直观息息相关.用树状图或列表法求多步试验的概率，是借助几何直观解决问题的基本素材.树状图和列表法就是概率模块的基本图式.利用它们解决问题的过程就是培养图形意识，用图形解决问题，发展几何直观的过程. 例5 （1）抛掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否相同？ （2）同时抛掷两枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否相同？ （3）同时抛掷三枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否相同？ 处理过程：呈现问题后，先让学生自主解决.第（1）小题有2种可能的结果：正面朝上、反面朝上，它们发生的可能性是相同的.多数学生用列举的办法解决问题.第（2）小题，多数学生继续试着列举，部分学生得到正确答案：有4种可能的结果，分别是（正、正），（反、反），（正、反），（反、正），发生的可能性是相同的.部分学生得出错误答案：有3种可能的结果：（正、正），（反、反），（正、反），它们发生的可能性也是相同的.第（3）小题，如果继续试着列举，无序的列举会非常烦琐，多数学生非重即漏，错误频出，学生感觉难度较大.这时适时绘出树状图（如图22，图23）解决问题，有序、简明、直观！几何直观在这样的经历中自然而然地得到发展.反之，如果教师直接从问题过渡到树状图或列表法，采取给予式的教学方法，就错失了发展学生几何直观的一次最佳机会.
在初中阶段的数学教学中，可以承载几何直观、发展几何直观的基本图式每个领域都有很多，有意识地引导学生对基本图式做一些筛选、积累、运用、演变和拓展，体会数与形的协调性，感受图式直观的美妙，树立运用基本图式的意识，可以发展几何直观，延展学生大脑的内存，使学生从题海中跳出来，真正做到轻负高效的学习.
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