现代逻辑的思想方法与科学的眼界——从爱因斯坦的一封信谈起，本文主要内容关键词为：爱因斯坦论文,眼界论文,封信论文,逻辑论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一
作为本文开篇的话，我们不妨以本世纪最伟大的科学家爱因斯坦的一封短信谈起。41年前，爱因斯坦在给J·E·斯威策的一封复信中谈到西方科学的基础和中国古代的重大发明，他写道：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中）以及通过系统的实现发现在可能找出原因关系（在文艺复兴时期）。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。令人惊奇的倒是这些发现［在中国］，全都做出来了。”（《爱因斯坦文集》第一卷，商务印书馆，1976年版，第574页。）
需明确的是，爱因斯坦这里听说的形式逻辑体系，并不是我们在“形式逻辑”或“普通逻辑”课程中所学到的那些逻辑理论，而是两千多年前由亚士多德创建，并在欧几里得几何学中得到运用和体现的那种初步公理化，形式化的演绎逻辑系统理论。爱因斯坦信中所说的另一大成就，即西方文艺复兴时期建立起来的那种通过系统的实验有可能找出因果关系的思想理论，指的是那一时期西方科学家、哲学家提出的有关经验科学方法的思想与理论。达·芬奇，伽里略、牛顿等人科学方法论思想即属此范畴，培根、穆勒等人的归逻辑论是对这些理论的概括与总结。演绎逻辑及归纳逻辑的理论在20世纪都已有了长足的发展。
爱因斯坦为什么要把公理化、形式化的逻辑系统与经验科学方法论，归纳逻辑理论视为西方科学的，从而视为科学的基础？我们应该如何来理解这样一种科学眼界？
毫无疑问，科学理论来自科学考察的实践。在这方面，无论我们是带着某些为已有理论所不能完全解答的问题而进行探索，从事观察和实验，还是在观察、实验中发现了新的问题，我们都不会始终停留在直接获得的那些个别的、直观的结果上，我们要由已经获得的结果得出某些更具一般性的结论。这些结论称作假说，它们以科学命题的形式加以表述和记录。假说的断定范围超出了所根据的那些结果，也超出了已有科学理论的范围。在得出假说的过程中，有猜测，有联想，有严格的逻辑推导，也有一般人所不具备从而也难以揣测的灵感。科学方法论便是致力于研究、描述运用于此过程的各种方法的学科。不论科学家在得出假说的过程中运用了什么样的方法，有一点是确定无疑的，这就是，他们从直接获得的观察，实验结果得出某一假说，由于假说的断定范围超出了所根据的那些结果的断定范围，二者之间实质上便构成了一个归纳推理。归纳逻辑要对这样的归纳推理研究，它要解决归纳前提（科学观察、实验等探索中直接获得的结果）与归纳结论（以科学命题形式表述的假说）之间的概然性联系程度，这种概然性联系程度提高或降低的途径、归纳前提对归纳结论的证实情形、新的观察、实验结果对于作为归纳结论的假说的验证、支持度，以及有关对作为归纳结论的假说的接受问题等等。科学假说是科学原理前驱和候选者，在进一步的探索中，它们可能被推翻，被修改，也可能被作为科学原理而获得承认。归纳逻辑的研究为人们从观察、实验等探索中建立有关因果联系、相关性及其它规律性联系的科学原理提供了必要的工具和理论指导。
一特定领域的科学理论是对该领域中科学研究结果的概括与总结，是一系列科学原理构成的一个有机的整体。当人们对某一领域的科学研究已经获得了相当的结果，人们便要考虑对这些结果进行整理，建立一个系统的理论，以从整体上来认识、把握这些结果，以指导往后的科学实践。在这方面，公理化、形式化的逻辑系统及其思想方法是一个必不可少的工具。任何科学理论都必须应用逻辑，而按照逻辑系统的思想方法，整理、建立科学理论，要充分注意到反映所研究对象及其性质关系的概念以及表述科学原理的命题间的内在联系，明确地挑选出一些概念、命题作为该理论基本概念、基本命题，由基本概念定义其余概念，由基本命题推导其余的命题；基本命题描术基本概念的某些特征，基本概念不由其余的概念加以定义，基本命题不由其余的命题加以推导。这样，便使科学理论清晰地梳理出了科学原理逻辑上的“顺序”关系，使其成为各科学原理紧密联系的有机整体，又明确无疑地划定了理论的基础，避免了循环定义循环证明，为系统地研究、发展该理论提供了可能性。
作为西方科学的两大基础，从时间上来说，形式化、公理化的逻辑系统的思想方法早于归纳逻辑理论的建立两千年左右。公元前3世纪，亚里士多德最早提出了公理系统的思想。在一定程度上采用了形式化的方法，初步建立了体现这些思想方法的逻辑理论；欧几里得将这些思想方法用于修改、整理几何学理论。古希腊的逻辑学、数学遂远远领先于其它科学的发展。归纳逻辑的系统研究是在文艺复兴后开始的。此后，由于具备了这两大基础，西方科学获得了迅速的发展。数学各分支以及物理学、生物学、化学等各个领域的科学理论系统相继建立起来，各科学理论基础的研究、改进，加速了理论系统的发展和更新。本世纪以来，因数学基础的研究获得长足发展的数理逻辑使形式化、公理化的方法得到极大的完善，促使了现代归纳逻辑的产生的发展。两大基础的更新，直接导致了计算机、人工智能的问世，促进了当代科学以日新月异的速度飞速向展。
二
公理系统的方法是现代逻辑最根本的思想方法。正如爱因斯坦信中所说，欧几里得几何学乃是体现这一思想方法的一大典范。当时，在丈量土地、测量物体、建筑设计、绘制图案等实践中，人们获得了许多有关图形的知识原理。据史书记载，古希腊曾出现过上百种几何理论，根据总结这些知识原理。其中，唯有公元前3世纪问世的欧氏几何学最终获得了普遍的接受，并得以流传至今。欧氏几何学与当时所有别的几何学理论不同之处，就在于它并非简单地分门别类地记载描述那些几何原理，而是充分地运用逻辑及其思想方法，将这些几何原理整理成了一个公理化的系统理论。两千多年以来，欧氏几何学传遍了全世界每一个文明国家和地区，为文化教育和科学文化的发展作出了不朽的贡献。
在欧氏几何中，明确地列出一些基本概念和基本命题作和为出发点。如平面几何部分采用了“点”，“线”、“面”等作为基本概念，并采用了十几个基本命题，这些基本命题分为“公理”和公设”，前者是适用于其它领域的基本原理，具有显然的正确性，后者则只用于平面几何。公理，公设是证明定理的依据，它们本身毋需证明；基本概念则是用以定义其它概念的，它们本身不加定义。因此，在整个欧氏几何中，公理、公设以及基本概念就是作为理论出发点的东西，逻辑学将这样的出发点称作初始命题，初始概念。
最粗略地说来，象欧氏几何学这样的明确列出初始概念，初始命题，由初始概念定义其它概念，由初始命题推演其它命题的理论，就称之为公理化的系统理论。
欧氏几何所运用的推理，是逻辑学的研究对象。一切公理化的系统理论都需要从它的公理推演出定理，因此，一切公理化的系统理论或者是本身不包含逻辑而运用逻辑，从而是不自足的公理化理论，或者是包含了逻辑从而可能是自足的公理化理说。由此可见，逻辑学是一切公理化的系统理论的基础。
三
逻辑学是从推理的形式，即从推理的前提与结论之间的联系方式来研究推理的。现代逻辑有众多的分支，这些分支分别是研究特定类型的推理形式的系统理论，其中，一阶逻辑是最为基本的理论。
一阶逻辑所研究的推理形式，其前提、结论是一些比较简单的命题形式，具有这些形式的命题对对象陈述某种属性（性质命题、关系命题），或由这样的命题复合而成的命题。由于推理形式也可以表述为命题形式，故一阶逻辑与别的逻辑分支也可以说是以特定类型的命题形式为其研究对象的。在一阶逻辑所研究的据窑推理形式（命题形式）中，有的表示了前提结论之间的必然性联系。前一类推理形式能够保证从真前提必然地得出真结论，称之为普遍有效式，简称有效式。从理论上说来，任一类型的推理形式，其有效式都是无穷多的，而以某一类型的推理形式（或者更确切地说，以某一类型的命题形式）为研究对象的逻辑理论都要包容该类型无穷多的有效式。为了系统地进行研究，逻辑理论都采取了公理系统的形式。
一阶逻辑的公理系统首先要对出现在其所研究的命题形式中的概念进行适当的选择，即选择一些不加定义的初始概念，例如，对于逻辑概念，下述的任一组概念都可作为系统的初始概念：
……等等。一阶逻辑所研究的所有命题形式都可由任一组初始的逻辑概念与非逻辑概念按照适当的规则组成，非初始的概念是没有必要考虑的。不过，为了表述方便起见，我们也可以通过定义采用非初始概念。
初始概念是逻辑系统作为出发点的概念，对于这些概念，逻辑系统中要利用一定数量的命题形式来揭示其特性，这样的命题形式就是逻辑系统的公理。公理是逻辑系统中不加证明的命题形式，是系统中证明作为定理的其它命题形式的依据。例如，采用上述的第三组概念作为初始的逻辑概念，我们将以下命题形式作为一阶逻辑公理系统的公理：
其中，α、β、γ是任意的一阶逻辑的命题形式，α(x)表示命题形式α对于对象x成立。（对公理4、5还有进一步的要求，不过此处从略。这些公理揭示了初始的逻辑概念
、→的特性，可以看作这些初始概念的“隐定义”。例如，公理2揭示了→具有某种“分配性”。
由这些公理出发，再根据适当的规则，就可以进行定理的证明了。定理有许多是表述正确推理形式的命题形式。可以证明，凡是一阶逻辑的有效式，都无一遗漏地包括在这些定理之列了。
在一阶逻辑的出发点上，添加特定的初始概念和逻辑公理，可以得到各种各样的逻辑系统，诸如时态逻辑，模态逻辑，概率逻辑等。现代归纳逻辑便是利用这些逻辑系统研究归纳推理建立起来的逻辑理论。在一阶逻辑的出发点上，添加逻辑的初始概念和公理，还可以得到各种一阶理论的公理系统。如群论、数论、集合论、几何学的公理系统都可以如此得到。添加的公理称作特有公理。正如一阶逻辑的公理可视为初始逻辑概念的隐义一样，特有公理也可以看作以隐定义的方式刻划所添加的初始概念的基本特征。立足于此，通过初始概念定义各种概念，由逻辑公理和特有公理利用推演规则证明各种定理、便可以得出这些理论所包含的全部内容。
如前文所说，理论公理化的结果将为数众多的概念归结到少数几个初始概念，将众多的（从理论上说来无穷多的）定理归结为少数的一些公理，从而清理出一理论所赖以建立的基础，这样的思想方法对于科学研究提供了极为重要的眼界。对此，我们至少可以从这样的几个方面扼要地加以理解。首先，理论的公理化为理论的基础提供了可能，而有关一理论系统的一系列重要而又极其基本的问题，诸如该理论系统是否存在一致性（会不会推导出相互矛盾的结果），该理论的所有定理是否可靠，该理论系统是否具有完全性，能否推导出该理论所意欲接受的全部结果，等等，都必须通过基础研究，才能获得确切的答案；其次，理论的公理化不仅仅起到了整理一特定领域研究成果，形成科学理论系统的作用，而且为旧的科学理论的修改、扩展以及由此迅速地建立起新的科学理论系统开辟了广阔和道路。通过对理论基础的研究，因初始概念、公理的修改，更换，添加所造成的理论的变革，以及通过对理论公理化系统所反映的逻辑结构的考察，因新的解释、新的模型的建立而产生的新理论，在理论发展方面所起的作用都远非单纯立足于实行考察，概括总结出理论这种传统程序所能比拟的。再次，公理化思想方法为我们通过认识有限来把握无限，达到对理论系统的整体认识提供了途径，这样的思想方法是探索建立一特定领域的知识库、专家系统以实现人工智能在该领域的应用所必不可少工具。
四
早从古希腊时代以来，人们便以诸如“一个克利特岛上的人说：‘克利特岛上的人都是说谎者’”之类的论题产生了困惑。对这类论题可借助一个更简单的例子来加以分析。考虑下面这句话：
写在方框里的这句话是假的
且以“α”代表写在方框里的这句话。假设α为真，则“与在方框里的这句话是假的”为真，即写在方框里的这句话是假的，于是α为假。假设α为假，则“写在方框里的这句话是假的”为假，即写在方框里的这句话是真的，于是α为真。这就是说，α真当且仅当α假（或者说，由假设α真会得出α假，由假设α假会得出α真），于是便出现了悖论。
上述这种悖论称作语义悖论，语义悖论出现的原因是由于混淆了语言的层次。上述方框里的话说“写在方框里的这句话是假的”，这句话陈述了一句话的真假，是无语言层次上的语句，而被陈述的那句话则是对象语言层次上的语句。这就是说，上述方框里的那句话是用元语言表述的解释、说明对象语言语句特征（真假特征）的语句。由于对象语言的这个语句──“写在方框里的这句话”恰好就是“写在方框里的这句话是假的”，即与这个元语言的语句陈述的意思相同，于是，元语言与元语言所解释、说明的对象语言便混淆不分了，这个语句成了说明自己本身为假的语句。
通过对语义悖论的分析、研究、人们认识到，一个语句，一个命题不应该解释、说明、评价该语句，该命题自身，一个理论不应该包括对该理论本身的解释、说明或评价。研究（包括解释、说明、评价等等）一个语句，命题或理论的语句、命题、与被研究的语句、命题或理论在语言上分属不同的层次：被研究的语句、命题或理论属于对象语言的层次，而研究它们的语句、命题或理论属于元语言层次。与此相应，也可称前者属于或者就是对象理论，称后者属于或者就是元理论。语言分层理论的意思是，对象理论中不能包括对理想本身或其语句、命题的研究，关于该理论的各种性质、特征，关于该理论语句、命题的解释，真假等，是元理论的研究对象。
语言分层理论产生于对语义悖论的逻辑研究，而按照语言分层理论，一逻辑理论与研究逻辑理论的理论──元逻辑理论应该明确地区分开来。逻辑理论是表示命题形式，推理形式的公式的公理化的系统理论，至于有关这些公式的真假、有效、非有效等解释、说明，关于公式构成的规定，约定、以及关于公理系统的各种性质、特征、则是元逻辑的研究对象。
逻辑理论及其元逻辑理论分别以对象语言与元语言来表述。作为对象语言的逻辑语言完全形式化的语言是一套人工符号。由这些符号表示的命题，推理形式的公式与命题，推理的内容无关。尽管事实上这些符号在我们的心目中有着意定的所指，从而用它们组成的公式也有着意定的解释和涵义，但是，某一公式为逻辑系统所肯定，却并非由于对它意定的解释、涵义。一公式为逻辑系统所肯定，当且仅当，或者它是该系统的公理，或者是可由公理根据推演规则加以证明的定理，并且，如果是后一情形，则对它的证明也丝毫没有根据对它意定的解释和涵义。这样，这个逻辑的公理系统就是依赖于公式的解释、涵义，从而与其解释、涵义无关的完全形式化的理论；它完全从形式上研究用以表示命题形式、推理形式的公式，将该系统所肯定的全部公式整理成以一定的公理，推演规则为基础的形式化的公理系统。这样的形式公理系统通常称作逻辑演算。
元逻辑对逻辑演算的研究，可以进一步地从语义、语形及语用这三个方面予以区分，相应的理论可分别称作逻辑语义学、语形学及语用学。它们分别研究逻辑演算及其公式，证明等在意义方面，在外形方面以及在应用方面的特征。且以一阶逻辑的语义学为例作一说明。在一阶逻辑语义学中，我们要采取一些解释，说明公式的真假条件（真值条件），说明逻辑所肯定的公式的真值特征（如永真式，普遍有效式）。
一阶逻辑语义学都是所有一阶理论语义学的基础。在一阶理论的语义学中，我们可以类似的方式，对初始概念进行能释，使得系统的公理都具有某一性质，且以表示这样的性质。￠不可能是“普遍有效的”，因为系统的特有公理并非一阶逻辑演算的定理，从而不是普效式。￠是较“普遍有效”为弱的“M－为真”，其中，M表示某一解释，M－为真即相对于于某解释M为真。显然，系统公理中那些非特有公理，即一阶逻辑演算的公理，由于本身即为普效式，在任一解释下都为真，故都是“M－为真”的，即具性质￠。如果系统的推演规则又具有保￠性，即利用推演规则根据有性质￠的公式证明的公式也具有性质￠，那么，该一阶理论系统的全部定理就都是具有性质￠的公式了。这样，就建立起了系统的模型。如前文所述，一般地说来，对初始概念可能采取多种解释，故对一理论系统可建立起多种模型。例如，对欧氏几何学的形式化公理系统，既有意定的几何模型，也可以有算术模型。本世纪初，著名数学家、逻辑学家希尔柏特便是利用算术模型证明了该系统的一致性。一形式化公理系统的不同模型具有共同的逻辑结构（形式化公理系统本身即反映了这样的结构），而它们分别又适合于不同领域的作用。这样，当着我们运用逻辑工具，弄清了某一理论的逻辑结构，构造出该理论的形式化公理系统，我们就可以探索建立该系统的种种模型。而那些立足于非意定解释建立起来的模型，实际上就是该系统产生出来的新理论。这样，就大大地加快了新理论产生的速度。试想想，如果单纯从经验考察结果中形成一门新理论，那将是一个多么漫长的过程。
语义学方法从另一个方面来说也对科学认识提供了重要的眼界，这就是，如果对一理论的形式化公理系统的公理作出增加或改变，并使得新的系统仍然具有一致性，那么，新的理论系统就对原来的理论系统作出根本性的改变。语义学中有这样一条定理，如果公式α在系统T'中不可证，那么，将α具有反对关系或者矛盾关系的公式β作为一条公理添加进T的公理，新得到的系统T是一致的。显然，系统T'包含了T，即系统T的定理都是T'的定理。系统T'是系统T的扩展。并且，这样的扩展就不仅仅是向T新添加了一个公式β，而且使得扩展后的系统T'比原系统T多包含了无穷多个定理。换句话说，β作为一条新公理添加向T的公理，使得有无穷多在T中不可证的公式能在T'中得到证明，成为了T'的定理。可见这样的扩展是一种根本性的扩展。这告诉我们，在理论研究成果中，那些能作为新的公理添加到原有理论出发点的成果，对于理论的发展来说具有开创性的意义。
此外，逻辑语义学还向我们提供了考察形式公理系统公理独立性的方法。利用这样的方法，如果我们证明，公理α不能由其余的公理利用推演规则加以证明，即α具有独立性，那么，以与α作为公理构成系统T″，T″也是一致的。这样得到的系统T″与T具有交叉关系，即T″与T包含有共同的定理，T″中有定理不为T所包含，T中也有定理不为T“所包含”。T″对于T也是根本性的改变。例如，非欧几何与欧氏几何的关系就是这样的。罗巴切夫斯基的双曲线式非几何是从“锐角公设”──“过线外一点有两条直线平行于原直线”取代欧氏几何平行公设得到的；黎曼的椭圆式非几何则是以“钝角公设”──“过线外一点不存在一直线平行于原直线”来取代平行公设而得到的。这两种非欧几何都获得了欧氏几何所未曾获得的重要应用。
语义学的思想方法对于科学认识的重要意义。可以从欧氏几何与非欧几何产生、发展的历史过程清楚地感受到。不消说，两千多年前欧氏几何的建立曾经经历了从生产实践到理论概括再形成系统理论的漫长过程。而非欧几何的建立却并非如此了。无论是罗氏非欧几何也好，还是黎氏非欧几何也好，其用以取代平行公设的公理都并非由当时的生产实践概括出来的结果。非欧几何主要产生于人们对平行公设及欧氏几何系统的逻辑研究。平行公设不像欧氏几何的其它公设那样具有显然的自明性，因此，早在古希腊时代便引起了人们的注意。两千多年中，有人试图以其余的公设业证明平行公设，也没人探索以新的公设取代平行公设。通过这些努力，直到18世纪，人们意识到平行公设相对于其它公设具有独立性。锐角公设、钝角公设是与平行公设具反对关系的命题。以这两种公设取代平行公设，这样便在19世纪先后产生了两种非欧几何。非欧几何的产生及其作用，是语义学思想方法的一个很好的例子。尽管从欧氏几何到非欧氏几何的发展过程中，人们并未有意识地运用语义学的方法，倒是这一发展对于逻辑语义学提供了启示，可是，毋容置疑，倘若平行公设的研究者们早就有了这样的眼界，那么非欧几何的产生必定会大大提前了。
五
以上，我们仅从理论科学的角度极其扼要地谈到了逻辑学最为其本的一些思想方法及其为科学认识提供的眼界。在结束本文之前，我们感到有必要特别地提到《数学原理》这一不朽的巨著。著名的逻辑学家、哲学家罗素与怀德海在80年前合著的这一著作中，在一阶逻辑的基础上添加无穷公理、选择公理，推理出了算术理论、集合论等大部分数学理论。无穷公理、选择公理的大意是断定存在着无穷集合以及可以在无穷多个无穷集合上进行选择。这两条公理的假说性质是极其显然的。由此，可以说，《数学原理》向20世纪的科学认识展示了这样的科学眼界：既然数学理论尚且建立在具有一定假说性质的原理的基础之上，那么，应该说，一切科学理论本质上都是以逻辑为基础添加特定的、具有假说性质的基本原理（初始原理）建立起来的。事实上，前述爱因斯坦的那封短信中所包含的，也就是这样的思想。在《爱因斯坦文集》第一卷里，我们还可以找到这方面的别的一些论述。
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