在算法多样化中警醒———次分数除法教学给我带来的思考，本文主要内容关键词为：给我论文,除法论文,算法论文,分数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分数除法是小学数学数与运算内容中的重点和难点，主要包括分数除以整数、整数除以分数和分数除以分数等类型，并经过循序渐进的教学后将算法统一为“除以一个数等于乘这个数的倒数”。算法的表述很简洁，也很好记忆，对于不少高年级学生而言甚至课前就已经知晓。但可以肯定的是，对于算法的掌握不能单纯地依赖模仿与记忆。在计算教学中不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，应努力在理解算理的基础上真正掌握算法，为后续运算技能的形成奠定坚实的基础。
一、案例回放
对于分数除法这节计算教学内容，怎样引导学生进行主动探究，从而明确地理解算理、掌握算法呢？在实际的课堂中，我创设了以下教学环节。
出示问题情境：一辆汽车
小时行了40千米，照这样计算，1小时能行多少千米？
学生根据路程、速度、时间之间的数量关系，很快列出了算式
。而且就像课前预计的一样，有几个小家伙在看到算式之后就开始急切地说算法了。在这种情况下，我没有强行按下，而是顺着他们的话进行了启发。
师：可能有许多同学已经知道了分数除法的计算方法，首先应该表扬大家利用课余时间主动获取知识的积极态度。但我想请大家冷静地想一想，为什么分数除法可以这样计算？如果你是第一次面对这个实际问题，你会用怎样的方法来解决？来吧，时间交给你们，按自己的想法试一试，看谁能把自己独到的见解清楚、明白地展示给大家！
在当时的课堂上，有的同学抓耳挠腮，写写画画；有的手托下巴，陷入了沉思；还有的三三两两轻声地交谈……大部分学生都沉浸在思考中。
在实际反馈过程中，学生们展示出了令教师意想不到的个性思维。
……
多么令人欣喜的想法啊，数学学习中重要的“转化”思想在学生解决问题的过程中充分展现。课堂上的我洋溢着笑容，在组织其他学生认真倾听的同时，充满感情地对各个同学的方法进行了积极评价，其他学生也为他们独到的见解报以了热烈的掌声。
而后，我又结合线段图以及生1、生2的计算方法，引导大家重点理解“
”这一分析过程，使学生明确理解了“除以一个分数为什么等于乘这个分数的倒数”，不仅呼应了开始的探究问题，而且充分理解了算理。我自己当时感觉很好，一切顺利。
接下来，顺利过渡到分数除以分数，引导学生解决新的认知冲突，完成知识的系统建构：“这辆汽车后来发生了故障，车上的人不得不推着前进，结果小时行了
千米，照这样计算，1小时能行多少千米？”列式是
。很自然，也很简单。问题一出，孩子们很积极地再次埋下头进行解答。
一切看来都尽在掌握。但就在尝试解决这一问题的过程中，生4，也就是用商不变方法的男孩，他的表现使我一下子紧张了起来。
这个男生个子很高，坐在教室的最后一排。他当时坐在座位上的样子真的可以用抓耳挠腮来形容了，手中的笔拿起来又放下，还不断地用笔轻轻地敲打着自己的额头。按他刚才的精彩表现，解答应该没问题呀。经过简单的询问得知，他沿用自己刚才的思路，但是没有找到解决问题的有效途径。啊，对了，刚才在展示过程中我对其他同学的方法都转化到了
这一结论，他的方法还没和联系起来。
我意识到这是一个很好的教学资源，充分利用好可以帮助大家进一步领悟分数除法的计算方法。想到这，我请他把困惑呈现在大家面前，引起大家的共同关注，并在他叙述的过程中思考对策。
在大家的简要交流之后，我也说出了自己的看法。
师（边说边板书）：按照你的想法，把除数变成整数，其实也有办法。可以这样做：
，其实就等于
。也就是说，分数除以分数的类型也可以用“乘倒数”的方法来解决。说说你现在的感受吧。
生4：我明白了，以后没有必要再去把除数转化成整数，直接变成乘法形式就行了，而且这样更简便
看到他真的接受了，我又下意识地想起了生3。他的想法又是怎样的呢？
师：你是怎样计算
的呢？
生3：我没用刚才的那种方法，因为我觉得太麻烦了。
师：你刚才的方法很好呀！怎么又感觉到麻烦了？给大家具体介绍一下。
回顾这一令人回味的教学过程，需要承认自己思想意识和知识水平的不足。第一次面对学生反馈的方法时，我只是粗浅地对不同思路进行了鼓励性评价，对于生3、生4的方法缺乏必要的思想准备。但令人高兴的是，就在这误打误撞下我很好地抓住了学生个体的生成资源，并把有效资源呈现在全体学生面前，注重了优化的过程，促进了全体学生主体意识上对新知识的建构。
二、我的思考
1.学生的“算法多样化”是老师“教”出来的吗？
在课后的一段时间里，我总以为自己的水平蛮高的，孩子在自己的教导下能够产生富有个性的多样化算法，甚至还有自己作为老师都没有想到的算法。其中，固然有教师所作出的努力，但应该冷静地认识到：其实，“算法多样化不是教师刻意教出来的。”课堂上，当教师放手让学生主动去探索算法的时候，往往会出现许多不同的算法，这些是学生已有的经验、认知水平与认知风格都存在个体差异的原因。所以，教师与其片面地追求算法多样化，不如鼓励学生对算法的主动探索与发现。算法多样化本身并不是目的，它不过是反映了探索算法的客观过程。重要的是通过对多样化算法“存异求同”的过程，丰富和发展学生的各种思维表象，达到帮助学生发展思维，并主动优化各自算法的目的。
2.为什么最终能够理解的还只是那几个孩子？
在上述案例中，有学生独立思考的空间，有学生充满个性的思考，有师生间围绕核心问题进行的交流，也有教师适时作出的指导，这些都是对学生理解和掌握新知识有利的因素。但是在课后对学生进行调查、访谈时却依然出现了尴尬：解决基本的计算问题时，孩子们的正确率达到了86%以上，应该说对于初次学习的掌握程度是可以接受的。但问及“为什么除以一个分数等于乘这个数的倒数”时，有近40%的学生不知如何回答，也有一部分学生的回答依然是“就应该这样算”，只有不足20%的学生能结合课上的思考过程进行合理的解释，而且恰好都是课堂上有自己个性想法的那几个孩子。反观案例中的教学过程，可以看到的是，在相对较多的时间里出现了教师和某一个、某几个学生单独沟通、交流的场景。而且遗憾的是，大多数学生成了听众。这里面有学生学习习惯的原因，也有学习兴趣使然，更有教师对课堂理解和操作层面的认识原因。这也就明确表明课堂教学过程存在需要改进的问题。
3.分数计算教学中值得思考的问题
(1)分数的运算教学要与分数的意义教学相联系
一直以来，“分数的意义”都是小学数学数的认识教学中的重点和难点。众多老师、学生都对分数有一种共识：分数既表示一种关系，又表示一个实际结果（这一认识也常在分数与百分数意义的对比中使用）。分数自身的结构组成（分子、分母）不同于自然数、小数，以往数的认识中一直采用的位值制也行不通了，再加上自身又是一个“运作”的过程，这些对学生而言理解起来都有不小的难度。
对于分数意义理解的基本线索和维度，北京市海淀区的孙京红、李宁等几位老师用图的形式给我们带来了进一步的认识（图1）。
图1 分数意义理解的基本线索和维度
简单来说，“比率”是指部分与整体的关系以及部分与部分的关系。“度量”是指可以将分数理解为分数单位的累积。
“运作”主要是指将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，上述案例中的小时本身就是把1小时平均分成3份，表示其中的2份，列出算式就是1÷3×2，也就是
。
“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。
也许上述关于分数意义理解四个维度的划分还可以有不同的认识，但从中可以明确感受到，以上这四个维度相辅相成，共同承担着学生对于分数的丰富内涵的认识建构。其中，“商”“度量”这两个维度的认识最终可以凝聚为对分数是一个数的认识。
在对教师和六年级学生进行问卷调查时发现，关于整数除以分数(如)和分数除以分数(如)两种计算类型，几乎100%的教师和学生一致认为分数除以分数的难度大于整数除以分数。通过部分访谈，也再次证实了大部分教师和学生心里对于分数是一个实实在在的数存在认识障碍，还是或多或少地关注着被除数（如)本身所具有的部分与整体关系的内涵。这一认识本身客观存在，但过于偏重则会加大对于分数除法算理算法理解的困难。例如，过分地从部分与整体关系去理解分数除法计算，则很难对
的算法合理性作出解释。
其实，如果真的接纳了分数是一个实实在在的数，就可以把问题解决聚焦到对除数(如)的运作过程上来，学生也就能更好地将分数除以分数与先前学习的整数除以分数进行联系和融合了。
因此，分数除法的计算教学（其实也包含着分数乘法乃至加、减法）要与分数的意义紧密联系，使对分数意义的认识更好地成为计算的基础，使计算·教学的实践再次促进对分数意义的巩固和发展。
(2)注重知识之间的内在联系
各版本的教材中，在教学分数乘法的基础上，大多将分数除法按照“分数除以整数——整数除以分数——分数除以分数”这条线索编排。不妨以这样的角度来看待上述三个阶段：①分数除以整数，引导学生结合除法的意义（平均分）和分数的意义（部分与整体的关系），体验将除法转化成乘法的过程
；②整数除以分数，借助对分数意义的理解（重点指“运作”维度）和基本运算律的运用，体验将除数是分数的除法转化成乘法的过程
；③分数除以分数，综合前两个阶段的认识和理解，将被除数（分数）看作一个实实在在的数，重点关注对除数（分数“运作”维度）的理解，继续借助基本运算律将分数除法转化为分数乘法
。这样，使分数除法的单元教学充分地以分数乘法作为重要基础，分数的意义、基本运算律等核心算理伴随始终，且各类型教学侧重分明，自然整合。有了较为系统的认识，知识体系也就自然建构形成。
(3)辅以直观图，促进学生对算理的理解
“为什么一个数除以分数等于乘它的倒数？”这是一般分数除法教学中不可回避的一个问题。知其然还要知其所以然，应努力实现在理解算理的基础上真正掌握算法，为后续运算技能的形成奠定坚实的基础。
例如，上述案例中生2自发地借助直观图（图2）阐述了自己对算理的理解，并在明确对应关系的基础上，借助“份”这一最基本的概念，从倍数关系（比）的角度对一个数除以分数的算法进行了直接的合理性解释。
图2 矩形田与线段图
再如，对于“
”这一分析过程，许多老师称之为由算理到算法的推理过程，应该说是有一定道理的。道理固然在，但教师单纯讲解的效果是有限的。就像案例中的课堂上，依然是学生在教师的讲解下单一地听，而教师讲着讲着就又会把相当一部分孩子“扔到云里雾里去了”。若在教学中辅之以直观的模型相对照，则可收到事半功倍的效果。“
”的过程充分蕴涵着对除法意义、分数意义的理解和运用，从而初步实现将分数除法转化为分数乘法，而这些内容都可以在模型中找到对应的直观图像；在后续形成“
”算法的过程中，涉及分数除法运算中另一个重要的算理——基本的运算律，有了矩形图、线段图（也有老师称之为半直观模型）的辅助，运算律的合理运用为算法的正确性进行了解释和证明，使学生对算法更加确信。
借助直观模型与具体运算过程的对照，增进了学生对算理、算法的理解，并在一定程度上解决了面向全体的问题；有了直观模型做支撑，可以有效促进学生对“对应”“份”等因素的认识和理解，促进学生由直观思维到抽象思维的发展。
(4)适当“拉长”优化的过程，寓算理于算法之中
反观本文描述的案例，有可喜的一面：教师对学生个性算法的尊重与重视、对学生亲身经历算法化过程的组织与实施，都在一定程度上促进了学生对算法的理解。但面对授课之后依然存在的实际理解效果，除去上述几方面的解决办法，还应在教学的实际操作层面加以促进，即适当“拉长”优化的过程。
一方面，“理解算法的最好途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令人信服，如果不给儿童必要的时间，如果算法是生硬地灌输的，随之而来的必然是一个糟糕的反应”（弗赖登塔尔）。另一方面，课堂上学生的典型发言，是充满个性的，也是个别学生主观的理解。课堂上呈现出的算法多样化只是属于课堂本身，还没有真正属于全体学生。为了更好地达到良好的教学效果，发挥这些资源的价值，应当在学生个性发言、教师点拨的基础上，适当花一些时间让更多的孩子亲身尝试、体验各种多样的算法。