STIT 逻辑的能力片段初探
何键枫
摘 要： STIT 理论作为刻画主体能动性的一类哲学逻辑，近来受到了多主体系统研究者们的关注。由于群体STIT 逻辑被证明不可判定且无法有穷公理化，相关研究者们转而寻找其中可判定且可有穷公理化的片段。本文限制公式的定义，将目标限定在形如◇[a:cstit]φ 及◇[G:cstit]φ 的能力公式上，分别称之为个体STIT 逻辑与群体STIT逻辑的能力片段。可以证明，如果只考虑STIT 逻辑的能力片段，每个STIT 模型都存在一个等价的邻域模型。此外，个体STIT 逻辑与群体STIT 逻辑的能力片段都是可有穷公理化的。
关键词： STIT 理论；能力片段；邻域模型
1 引言
STIT（Seeing To It That）理论提出于20 世纪80 年代，它是研究主体与其行动所致结果之间关系的一类行动逻辑（[2,3,11,15,16]）。有别于其它以动态逻辑为基础的行动逻辑，STIT 理论并不讨论主体的行动本身，而是聚焦于发挥能动作用的主体之上。形式地说，STIT 理论一般情况下是在命题逻辑的基础上扩充以STIT 算子与历史必然算子而得到的一类模态逻辑。出于不同的分析需求，文献中存在不同的STIT 算子（[3,6,7,10]）。以语义最为简单的CSTIT 算子为例，公式[i:cstit]φ 的读法为：主体i 的当前行动确保φ 的成立。利用历史可能算子，我们甚至能在STIT 理论的框架下讨论主体的能力问题：公式
的读法为主体i 能够确保φ 的成立，其中◇是历史必然算子□的对偶。另一方面，得益于STIT 理论的语义模型特点，我们能够以一种非常自然的方式将个体STIT 算子推广为群体STIT 算子（[9]），群体的共同行动（joint action）乃至群体的能力亦能在STIT 理论下得到刻画。
尽管个体STIT 算子能够被非常自然地推广为群体STIT 算子，关于个体STIT 算子的技术结果，如逻辑的可判定性、可靠完全的公理系统等（[21,22]），却未能在群体STIT 算子中得以保留。文献[8]将群体STIT 逻辑的公式可满足问题归约为乘积逻辑S5n 的公式可满足问题，从而证明了当主体集的基数大于等于3 时，群体STIT 逻辑不可判定且无法有穷公理化。面对上述群体STIT 逻辑的否定性结果，一个自然的思路是放弃整个群体STIT 逻辑，转而考虑STIT逻辑的特殊片段：文献[13]通过严格限制公式的构造，尤其是历史必然算子与群体STIT 算子的叠置，从而得到了群体STIT 逻辑的一个可判定片段以及相应的公理系统；文献[18]则定义了一类由群体构成的格，并且将群体STIT 算子的构造限制在格点上，从而得到了群体STIT 逻辑的又一可判定片段与相应的公理系统；文献[5]讨论了STIT 理论的一个基于时态逻辑的扩充，其中代替CSTIT 算子而新引入的XSTIT 算子（可视作
的缩写，其中X 是表示下一刻的明日算子）由于不满足交集性质，同样得到了有穷的公理系统并保持了可判定性；文献[23]通过弱化群组CSTIT 算子的交集性质，得到了基于Z 型STIT 框架且含有直到算子与自从算子的可判定片段。
沿着类似的思路，本文将注意力集中在STIT 逻辑中形如
与
的能力公式上，并将这一类公式称之为STIT 逻辑的能力1 本文所指的能力需要从三方面加以把握：首先，本文讨论的是狭义上主体的行动能力，并不包括主体其他类型的能力。其次，本文讨论的是基于情况的（situation based）行动能力而非基于主体的（agent based）行动能力。换言之，本文讨论的是如主体当前有能力确保自己的身体浮在水中而非如主体有能力游泳的句子。最后，本文讨论的是因果意义上的行动能力而非认知意义上的行动能力。后者需要涉及主体的知识或信念。值得一提的是，根据本文语义主体总是能够确保有效式为真。这是因为本文的语义并未考虑相关的负条件。 片段。注意能力片段与文献[13]中可判定片段的区别：尽管能力公式
属于文献[13]中的可判定片段，能力公式
却在其中并不合法。因此，本文所关注的STIT 逻辑的能力片段并不等同于已知片段。事实上，我们将构造
本身视作一类模态算子，并在此基础上探讨STIT理论这一片段的相关性质。另一方面，注意到构造
的读法具备存在-任意的特点，这是否意味着STIT 理论的能力片段存在一个邻域模型的解释？答案是肯定的，下文将会证明给定一个经典的STIT 模型，存在一个与之等价的邻域模型，二者满足相同的能力公式。因此，本文之后对STIT 理论的能力片段的讨论，便能在满足条件的邻域模型上展开。
某碳酸盐岩气田主要含气目的层为二叠系长兴组，在长兴组底部钻遇底水层。该气田构造简单，整体表现为NNE走向的大型长轴断背斜型构造，地层倾角约为6°。
本文的结构如下：在第2 节中，我们将重点放在STIT 逻辑包含个体的能力片段上，并证明如果只考虑能力片段，每个STIT 模型都存在等价的邻域模型。以此为基础，本文给出一个公理系统，并通过逐步构造法证明其完全性。对STIT 逻辑包含群体的能力片段的讨论则是第3 节的任务，我们利用类似的方法证明包含群体的能力片段的完全性。最后，我们在第4 节中对本文的工作进行总结，并简单讨论将来的研究思路。
2 个体STIT 理论的能力片段
下面给出基于经典STIT 模型的形式语义。需注意对应的点模型是索引，而非分支时间结构中的状态。
2.1 语言与语义
预设可数命题变元集PROP 与有穷的非空主体集AGT，并考虑语义最为简单的CSTIT 算子与历史可能算子。下面给出公式的定义：
定义1 (公式).公式由以下BNF 递归定义得到：
其他命题联结词如常定义，
的缩写。默认最外层括号可省略。
将上面定义构造的公式称为个体STIT 逻辑的能力片段，本节中公式均为个体STIT 理论的能力片段公式。值得一提的是，当
时，历史必然算子□是冗余的，即□φ 逻辑等值于
，其中i,j 为不同主体（[1]）。因此，本文处理的其实是形如
的公式。
以100例颅内动脉瘤患者作为本次研究对象，选择电脑分配方式作为分组原则，分为两组（观察组50例与对照组50例）。
下面给出STIT 理论的形式语义，STIT 理论的语义框架BT+AC 由两部分构成。其中，BT 是分支时间理论的缩写（[17,19,20]）。分支时间理论以类树结构表示非决定的世界：向前可分支表示将来未定，向后不分支表示过去唯一。历史是类树结构中的极大链，直观意义为世界的一种可能的完整演变进程。
定义2 (分支时间).分支时间结构T=(W,＜)是满足下面条件的二元组：
· W 为非空时刻集，＜是W 上严格偏序，表示状态的先后关系；
EK2S不育系经检测携带有Pi1和Pi2基因且纯合。2016年用EK2S作母本，以自育恢复系R20为父本组配的新组合推荐参加湖北省中稻品比试验，稻瘟病抗性鉴定结果为病级1级，综合指数2.1。2016—2017年以该不育系配制的系列组合在湖北省武汉市、黄冈市、襄阳市、宜昌市、孝感市等地试种，田间均未见稻瘟病发生。
· ＜满足树状性：对于任意w1与w2，如果w1＜w3且w2＜w3，那么w1=w2或w1＜w2或w2＜w1成立；
当照相机的出现，美术作品由具象艺术开始转向抽象艺术，随着数码相机、数码摄像机的普及，手绘美术作品不再是美术界表达思想的主流，那些无法言喻的东西就会通过多媒体的方式呈现出来，这就是多媒体时代。目前，我们正在迈入这个时代。总而言之，现阶段的美术教学，引入多媒体技术和电脑绘图是时代发展的需要，是培养创新型人才和全面发展人才的需要。作为一名优秀的人民教师，应从教育发展的角度，应用现代教育技术，推进教育信息化，带动教育现代化，实现基础教育跨越式的发展。
· ＜满足历史关联性：对于任意w1与w2，存在w0满足w0≤w1且w0≤w2，其中≤为＜的自反闭包。
给定分支时间结构T=(W,＜)，将历史定义为W 中关于严格偏序＜的极大子集h，即任取w,v ∈h 均是关于＜可比较的且不存在h 的真超集满足前面条件。将所有历史的集合记作HT并用Hw表示所有穿过状态w 的历史集合，w ∈h 的直观意义为世界在历史h 中曾演变为状态w。给定历史h1,h2∈Hw，如果存在w ＜w′满足
，则称h1与h2在状态w 中未分离。给定历史h与状态w，如果w ∈h，则称序对(w,h)为索引。
承载分支满载时，弹性波基波振动频率ω1=4.12 l/s；回程分支的弹性波基波振动频率ω2=7.57 l/s。弹性波基波振动周期T1=1.18 l/s。
STIT 模型的第二部分AC 是将每个主体i 映射到相应选择的Choice 函数，Choice 函数规定了主体在世界中能够作出的选择。Choice 函数的数学定义如下：给定状态w 与主体i，
是Hw的分划，主体i 在状态w 的选择正是分划中对应的等价类。上述处理的背后直观为：当世界演变至状态w 时，主体i 的选择c 将会使某些可能的演变进程不再可能，主体i 在状态w 作出选择c的结果是世界之后的演变将局限于c 对应的等价类中。STIT 理论正是将选择带来的结果等同于选择本身。特别地，Choice 函数还需满足两个额外条件：首先，要保证未分离历史是不可区分的，即如果h1与h2在w 上未分离，h1与h2属于
中的相同等价类。其次，要保证主体之间是相互独立的，即对于所有状态w、所有主体i 与对应选择
，均有
并非空集。其中，
是
中等价类，即主体i 在时刻w 中可作的选择。
定义3 (经典STIT 模型).经典STIT 模型M=(W,＜,Choice,V)是满足下列条件的四元组：
本节讨论STIT 理论中只含个体的能力片段。我们先介绍STIT 理论经典的BT+AC 模型，并证明只考虑能力片段时，每个BT+AC 模型都对应于一个等价的邻域模型。因此，当考虑完全性证明时，本文的策略是为每个一致公式集构造相应的邻域模型。
定义4 (满足).给定模型M=(W,＜,Choice,V)与索引(w,h)，称(w,h)满足φ当且仅当：
注意到公式
解释中的存在-任意特点，事实上，任取h1,h2∈Hw，有
当且仅当M,
成立。因此，在判断个体STIT 理论的能力公式的真假时，只需考虑当前状态w 而无需涉及具体的历史。另外，能力公式的存在-任意特点也启发我们定义以下邻域模型：
定义5 (邻域STIT 模型).邻域STIT 模型是满足条件的三元组(W,{σi:i ∈AGT},V)：
· W 是非空状态集；
· 对任意i ∈AGT，映射
是满足下面条件的邻域函数：
-对于任意w,v ∈W 均有σi(w)=σi(v)2 之所以要求所有点都必须具有相同的i 邻域，是因为i 邻域对应主体i 能作出的选择。 ；
-对于任意w ∈W 均有σi(w)是W 上的分划；
-对于任意
均有∩
；
虽然GAN的应用场景非常广泛，但是对于一些复杂的问题，原始的GAN会比较吃力，比如人脸翻译问题，故本文作出相应的改进，提出了一种新的人脸翻译方法T-GAN，对比原始的GAN结构，这里对生成网络G和判别网络D的输入部分做了更改：
·
是赋值函数。
在邻域STIT 模型中递归定义公式的满足，特别地对于公式
，定义
当且仅当存在
满足任意u ∈U 均有
成立。值得一提的是，本文采用的邻域语义与经典邻域语义存在细微区别：经典邻域语义只有在邻域框架满足单调性时，语义才具备存在-任意特点。另一方面，注意到这个定义与经典STIT 模型下定义的相似之处，事实上，我们有以下结果：
命题1. 公式在经典STIT 模型上可满足当且仅当其在邻域STIT 模型上可满足。
证明.思路：
：令
为经典STIT 模型且
成立。定义邻域STIT 模型
如下：定义W′=Hw且
，定义赋值函数V′满足(w,h)∈V(p)当且仅当
成立。注意到
是定义在Hw满足要求的分划。施归纳于公式的结构可证明M′,hw|=φ 成立。
鉴于公式
解释上的存在-任意特点，我们在下文将其缩写为公式
。类似地，
的缩写。利用邻域STIT 模型构造经典STIT模型的技巧参考了文献[22]，这一技巧之所以可行是因为本节考虑的能力片段中并未出现时态算子。文献[22]利用有穷模型性质证明了个体STIT 理论的可判定性，作为推论，得到以下结果：
推论1. 个体STIT 理论的能力片段是可判定的。
同样地，容易得到个体STIT 理论能力片段的复杂度上限：已知不含时态算子的个体STIT 理论在
时是NEXPTIME 完全的（[1]），相同条件下个体STIT 理论能力片段的可满足问题最坏是在确定型图灵机中指数时间内可检验的。最后，我们在下面给出个体STIT 理论能力片段的一个公理系统。
定义6. 表1 与表2 的公理模式与推理规则构成希尔伯特式公理系统ABI.I。
表1:ABI.I 的公理模式
表2:ABI.I 的推理规则
称公式集Φ 推出φ（记作：Φ ⊢φ），当且仅当存在有穷
使得
是系统内定理（公式φ 是系统内定理记作：⊢φ）。称公式集Φ 是一致的，当且仅当Φ 不能推出矛盾。
命题2 (可靠性).公理系统ABI.I 是可靠的。
1.3.2 葡萄糖标准曲线的绘制。精密称取干燥恒重的标准葡萄糖10 mg，定容于100 mL容量瓶中，配制成浓度为0.1 mg/mL的葡萄糖标准溶液。精密移取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2 mL的葡萄糖标准品溶液，分别置于具塞试管中，依次加水定容至2 mL，另取2.0 mL蒸馏水作空白对照。然后加入1.0 mL浓度5%的苯酚溶液，摇匀，迅速加入5 mL浓硫酸，摇匀后待试管冷却至室温即可。在波长490 nm处测定吸光值，以所测吸光值为纵坐标，标准葡萄糖浓度为横坐标，绘制标准曲线，并求出线性回归方程及相关系数。
2.2 完全性结果
我们证明上节给出的公理系统的完全性，即证明一致的公式集都是可满足的。具体的思路是为一致公式集构造出满足的邻域STIT 模型。由于典范模型无法保证典范邻域函数恰好给出论域的分划（关于邻域语义的典范模型可参考文献[14]），本文的策略为通过逐步构造进行逼近，从而在极限条件下得到所需模型。逐步构造法中使用的概念如网络、融贯性与饱和性等，参考文献[4]。
预设AGT={1,...,k}并给出网络的定义，其中关于极大一致集的定义与性质可参考文献[4]。
定义7 (网络).网络是三元组
，满足以下条件：
· 对于任意i 符合
是一个邻域函数；
· 标签函数ρ 将任意s ∈S 映射到某个极大一致集。
如果
，称网络µ 是可数的。如果对于任意i 符合0 ≤i ≤k 与s ∈S均有
，称网络µ 有可数邻域。
定义8 (融贯性).网络µ=(S,{σi:0 ≤i ≤k},ρ)是融贯的当且仅当3 不难发现，条件C1-3 分别对应邻域STIT 框架的相关条件，条件C4 则对应邻域STIT 模型上的语义特点，即：存在s 满足M,
=
当且仅当对于任意s 均有M,s|=
。 ：
当网络µ 满足融贯条件C1 时，µ 的可数性将保证µ 拥有可数邻域。
臭氧污染问题逐渐加重，我们应当提高对于臭氧污染的重视程度，积极的进行解决。环境是每个人生活的空间，保护大气环境，解决臭氧污染，不仅是相关部门的义务，也是我们每个人义不容辞的责任。近年来，全国出现了不少以臭氧污染为主的主要污染物，因此解决臭氧问题刻不容缓，根据臭氧的特征及其主要的形成因素等，研究各个地区臭氧浓度差异，制定出科学合理的环境保护措施，为人们营造高质量的居住环境。
定义9 (饱和性).网络
是饱和的当且仅当对于任意公式φ，如果存在s ∈S 与i 符合0 ≤i ≤k 满足
，则对于任意
均存在u ∈U 满足φ ∈ρ(u)。
如果网络是融贯饱和的，称该网络是完美的。给定一个完美网络µ，定义赋值函数
并称对应模型Mµ为网络µ 生成的模型。施归纳于公式的结构容易证明下面引理。
引理1 (真值引理).令µ 为可数无穷的完美网络，对于任意公式φ 与任意s ∈S，满足：Mµ,s|=φ 当且仅当φ ∈ρ(s)。
根据上面引理，给定一致公式集φ 并将其扩充为极大一致集，只需要构造完美网络
满足存在s ∈S 使得Φ ⊆ρ(s)，我们便能得到相应的模型。另一方面，完美网络可以在融贯网络的基础上，通过逐步移除融贯网络中不满足饱和要求的反例，从而在极限条件下定义出来。
3.1.2 普适模块中，无论自评还是家长代评，社会功能得分均为最高，学校功能得分最低。这说明化疗患儿的社会功能未受到疾病的强烈影响，可能基于家长对疾病的掩盖及孩童年幼无知，对疾病缺乏认识及社交圈相对较小且稳定，不易受到变动冲击有关，所以在担忧等方面患儿也未出现强烈的反应。与社会功能正常相比，由于疾病本身或者看病的需要，患儿大多休学在家，并且由于患病，父母降低了对儿童学业的期望，很少在学业上对他们督促、辅导，导致了患儿学校功能偏低，这与相关报告一致［7-8］。
现在只剩下定义出满足条件的基于µj+1与
的辅助函数λj+1。对于任意i 符合
，定义
为包含
的关于i 的邻域链的并集，辅助函数序列λj0,...,λjn,...保证了任意
均有
成立；对于任意n ∈ω，定义
为包含
的关于j 的邻域链的并集。辅助函数序列λj0,...,λjn,...保证了任意
均有
成立。关于辅助函数的其他要求显然满足。
引理3 (修补引理).令
为可数融贯网络且λ 为基于µ以及
的辅助函数，其中s ∈S 成立。假设D 为µ 中缺陷。存在µ 的一个可数融贯扩充
且基于µ′的辅助函数λ′满足λ′相对于λ 合适。特别地，D 并非µ′中缺陷。
定义11 (辅助函数).λ 是基于
与Γ 的辅助函数当且仅当：
定义12 (扩充).给定网络
称µ′是µ 的扩充当且仅当：
给定网络
以及其扩充µ′，令λ 与λ′分别为基于µ 与Γ、µ′与Γ′的辅助函数。称λ′是相对于λ 合适的当且仅当
且对于任意
均有
成立。
令Φ 为公式集，我们用
表示公式集
，用
表示公式集
。
本研究总体样本量较小，纳入的随机对照研究均为国内已发表的文献，缺乏国外的原始文献，可能会使结果出现一定程度的偏倚；纳入的大部分研究未阐明具体的随机分组方法，也未提到是否采用盲法，会导致选择性偏倚和实施偏倚；所有文献中均描述用药后脑出血的发生例数，未对其他部位出血及其他不良反应进行定量报道，因此本研究未对其他用药不良反应进行系统评价。因此，还需要大样本、随机、对照的临床研究进一步验证。
引理2. 令Φ 为极大一致集，存在融贯网络
与基于µ以及
的辅助函数λ，其中存在s ∈S 且ρ(s)=Φ。特别地，µ 是可数网络。
证明.令
为网络，不难发现µ0满足除C5 的融贯条件。构造网络序列与辅助函数序列如下：令µ0为µ0，令µj+1为µj满足C1-C4 的网络扩充；令λ0为
，令λj+1为基于µj+1与
的辅助函数且相对于λj合适。需要检验上述序列是否存在。施归纳于序列长度l：当l=1 时，µ0=µ 且λ0=显然存在。假设存在长度为j+1 的序列，需要构造合适的µj+1以及λj+1。
在当今，应多关注“自我”的观念越来越被老年人接受，这让很多老人过于在乎自己的得失和感受，忽略了子女的现实需要和不满情绪，从而造成了家庭不和谐。
给定
，基本思路是构造新邻域Uj满足Uj是
的证据。对
进行排序，将该排序记作E。定义µj0为µj并定义µjn+1为µjn的满足C1-C4 的网络扩充；定义λj0为λj并定义λjn+1为基于µjn+1与
的辅助函数且λjn+1相对于λjn合适。为了简化记号，令µjn=
且φn=φ，需要证明网络µjn+1与辅助函数λjn+1的存在。
给定
，再验证
的一致性。如果是一致的，就能将其扩充为极大一致集作为新点的标签，并将该点增添至新邻域中作为
的证据。否则，存在合取使得
是系统内定理。利用单调性能够得到
作为系统内定理。注意到
同样是系统内定理。此时有
，矛盾。
对于
要验证
的一致性。由于
，对于任意i′符合0 ≤i′≤j-1，由辅助函数λjn规定了相应邻域
的证据。考虑前面的邻域族
的交集，需要保证我们为
构造的证据与该交集相交非空。解决思路是为该邻域族的每个成员增加新点。如果
是一致的，便能将其扩充为极大一致集并用来标签新点。假设不然，则有
是系统内定理。运用规则RIA 即可得到
是系统内定理。注意到
是系统内定理。现在有⊥∈Φ，矛盾。
将{0,...,j-1}记作AGT′，将AGT′关于
的补集记作AGT′′，对于任意i ∈AGT′，辅助函数λjn保证了存在单射非满射函数
为相应能力公式指派证据邻域。令
。尽管W 在严格意义上并非
子集，它显然唯一对应于
的某个子集，因此不会引起混淆。将
记作V。
给定序对(w1,w2)∈W，它对应于某个合取
。我们在前面已经验证过
∪ 的一致性，将其扩充为极大一致集并记作Γ(w1)。引入
个新点并将这些新点标签为Γ(w1)。即，对于任意
，引入新点s(w1,w2)并将其标签为Γ(w1)。将引入的新点集记作S(w1)并注意到
。对于任意
并非空集当且仅当
。
另一方面，再引入新点集
并将其记作
。因为
且存在可数无穷多个公式与之等值，
是可数无穷的。同样注意到
是至多可数的。因此，存在从
到V 的满射函数，将其记作h。对于
，前面已经验证了
的一致性，将其扩充为极大一致集并记作
。特别地，对于任意
，S(w1)与
互不相交。
因此，我们成功定义了满足条件的网络µj+1与辅助函数λj+1。注意到AGT 是有穷的，只需要将以上的步骤重复有穷多次，便可得到一个可数融贯网络
以及基于µ 以及
的辅助函数λ，其中
。
阿花抹了一把泪，接着说，瞒得过别人，可是能瞒得过我自己么？它就像一个永远的结，系在我不灭的记忆里。每当我看到你的目光，心中的那个结就会系得更紧。
其中，
现在验证µjn+1是否为满足C1-C4 的可数网络。根据选择公理可知可数个可数集合的并集依然可数，故S′ 可数且对于i≠j 有
。此外，
依然可数。令
为新构造的邻域，则U为
的证据。任取
，则显然存在
与x 一一对应。如果
，显然有
∩并非空集。如果x′∈V，则存在
使得
，再次得到
∩并非空集。
由上可知我们完成了对µjn+1的定义，我们还需要定义辅助函数λjn+1。然而，λjn+1的定义是显然的：对于任意i 符合0 ≤i ≤j-1 以及
，定义
为
在µjn+1中的扩充；对于任意
，定义
；令
中新增邻域，定义
。上面的构造保证了我们对λjn+1的定义是成功的且相对于λjn合适。
证明.假设
为µ 中缺陷，基本思路是为每个
引入新点作为
的证据。借助辅助函数λ 可以得到函数hj告诉我们哪些j 邻域是某些
的证据。只需验证对于任意
，公式集
是一致的。但引理2 的证明中已经验证过，为任意
增添新点s(U,ψ)，将前面的公式集扩充为极大一致集Γ(U,ψ)，将新点s(U,ψ)标签为Γ(U,ψ)。注意到σj(s)≠ran(hj)，因此存在邻域未被讨论，但这时候只需要往里面增添新点s(U)并标签为极大一致集Γ(U)作为
的证据即可。对于i≠j，需要重新定义
(s)，取
并将所有新点都添加到该邻域中。注意到这一构造并不会影响到后面对λ′的定义。
不难验证µ 是满足C1-C4 的可数网络：S 是可数个可数集合的并，因此是可数的；对于融贯性，只验证融贯条件C1，假设s′∈S 则存在最小的n 满足s′∈Sjn。注意到
是对Sjn的分划，因此存在
满足
。不难找到邻域链I 满足
。另一方面，容易验证给定关于j的邻域链I,I′，则有∪I=∪I′当且仅当I=I′。因此
是Sj+1上分划。
定义10 (缺陷).令
为融贯网络，公式
为µ 中缺陷当且仅当存在s ∈S 与U ∈σi(s)满足任意u ∈U 均有φ
ρ(u)。
给定
，用vi表示v 的i 分量。定义
：
给定融贯网络µ 与µ 中缺陷D，我们可以通过扩充网络的方式修补缺陷。但是，由于任意地向邻域添加元素可能会破坏融贯条件C5，我们引入基于网络µ 与公式集Γ 的辅助函数λ。下面给出辅助函数λ 与网络扩充的严格定义：
对于任意i 符合0 ≤i ≤k，称Sj+1的子集构成的可数序列{An:n ∈ω}是关于i的邻域链，如果该序列满足：第一，{An:n ∈ω}是非降序列；第二，存在m ∈ω满足任意n ∈ω 均有
4 特别地，如果m=0，此时默认Sjm-1为空集。 ；第三，如果
则
相交为空。定义
为：
定义
如下：
总体按照“一核多群多点”进行空间布局，“一核”即：以重庆主城区为核心，集聚全国、全市线上线下互动创新资源要素，形成吸引境内外知名电商服务企业集聚发展的核心区。“多群”即：相关区县特色产业“+电子商务”形成特色电商产业集群。“多点”即：全市基层各园区、各镇街辖区内特色专业市场、零售卖场、便民商圈、商业网点等载体“+电子商务”，形成特色电商网点。
其中，
不难验证µ′ 是µ 的可数融贯扩充，
并非其中缺陷。µ′并没有增加邻域，而我们对原有邻域中新增的点并不会破坏融贯条件C5。对于辅助函数λ′ 的定义是显然的：对于任意i 符合0 ≤i ≤k 以及
，只需定义
为λ
在µ′的扩充。λ′显然是相对于λ 合适的。
命题3 (完全性).一致公式集都是可满足的。
证明.固定集合
。对于任意一致公式集Σ，将其扩充为极大一致集Σ0。由引理2 可知存在可数融贯网络µ0以及基于
以及∪
的辅助函数λ0，其中存在s ∈S0满足ρ0(s)=Σ0。
不难发现
是网络µ0中所有潜在缺陷的集合。注意到该集合是可数的并对其中元素排序。令n ≥0 并假设µn是定义好的可数融贯网络且λn为相应辅助函数。如果µn为完美网络，定义µn+1为µn且λn+1为λn。否则，令D 为µn中排序最前的缺陷，按照引理3 的方法修补缺陷D 并定义λn+1为相应辅助函数。
定义
如下：
对于任意i 符合0 ≤i ≤k，σi的定义类似前面。称S 的子集构成的可数序列{An:n ∈ω}为关于i 的邻域链，如果{An:n ∈ω}满足下面条件：第一，{An:n ∈ω}是非降序列；第二，对于任意n ∈ω 均有An∈
(s)成立，其中
是µn中关于i 的邻域函数。根据我们对µn的定义，必然存在关于i 的邻域链。定义σi(s)如下：
类似引理2 容易证明µ 是可数融贯网络且容易定义出相应的辅助函数λ。
现在验证µ 是饱和网络。如果D=Dk是µ 中某个缺陷
，则存在µn使得Dk在其中是缺陷。注意到D 最坏也是µn+k的最优先缺陷。故
并非µn+k+1中缺陷。注意到任取
均有对应的
(s)是其子集，故U 中存在
的证据，矛盾。
由此证得µ 是完美网络，由引理1 可知
成立。
推论2 (紧致性).对于任意公式集Θ，Θ 是可满足的当且仅当每个有穷子集都是可满足的。
3 群体STIT 理论的能力片段
本节讨论STIT 理论中包含群体的能力片段。我们首先介绍群体STIT 算子的语义推广，并给出当只考虑群体能力片段时，经典BT+AC 模型与邻域STIT 模型的等价性。在后者的基础上，本节证明群体STIT 理论的能力片段具备有穷模型性质。
3.1 语言与语义
预设可数命题变元集PROP、有穷的非空主体集AGT 以及对应的非空群体集GRP，并考虑语义最为简单的CSTIT 算子与历史可能算子。下面给出公式的定义。
定义13 (公式).公式由以下BNF 递归定义得到：
其他命题联结词如常定义，
的缩写。默认最外层括号可省略。
将上面定义构造的公式称为群体STIT 逻辑的能力片段，本节中公式均为群体STIT 理论的能力片段公式。
现在说明群体STIT 理论将个体STIT 算子推广为群体STIT 算子这一处理的背后直观：个体i 在状态w 的行动令世界的演变可能局限于Hw,i，个体j 在状态w 的行动令世界的演变可能局限于Hw,j。因此，个体i 与个体j 的联合行动令世界的演变可能局限于
，主体的相互独立性确保了
并非空集。遵循个体STIT 理论对能动性的刻画，交集
便是群体{i,j}能够选择的行动。
定义14 (满足).给定经典STIT 模型M 与索引(w,h)，邻域STIT 模型M′与状态w′，分别定义◇[G:cstit]φ 在不同模型上的解释：
当|G|=1 时
的解释与个体STIT 算子的解释是等价的。注意到语义条件中的存在-任意特点，遵循上节的惯例将
与
分别缩写为
。不难发现，对于邻域STIT 模型，
当且仅当
在M 上全局真。此外，经典STIT 模型与邻域STIT 模型在对群体STIT 理论能力片段的解释上依然是等价的。
命题4. 公式在经典STIT 模型上可满足当且仅当其在邻域STIT 模型上可满足。
下面现在给出群体STIT 理论的能力片段中公式在有穷模型上满足的充分条件。给定邻域STIT 模型M 与其中状态s 并定义
为公式集
，用
表示前者关于逻辑等值的商集并用
表示公式
关于逻辑等值的等价类。称模型M 是关于语言证据独立的，当且仅当对于任意i ∈AGT 均存在单射非满射函数
满足：如果
是公式
的证据。
定义15 (模态度).函数deg 递归定义如下：
当
时，在逻辑等值的意义下模态度不大于n 的公式仅有穷个，相关证明可查阅文献[4]。给定命题变元集P，用
表示φ 仅由P 中命题变元构成。
命题5. 如果公式在证据独立的模型上是可满足的，则公式在有穷模型上是可满足的。
证明.给定公式φ 并假设存在证据独立的邻域STIT 模型M,w|=φ 成立。将φ中出现的命题变元构成的集合记作P 并假设φ 的模态度为n。如果n=0，命题公式φ 显然能在有穷模型上满足，只考虑n ＞0 的情况。在逻辑等值的意义下，模态度不大于n 且只由P 中命题变元构成的公式仅有穷多个。给定公式ψ，如果ψ 的模态度不大于n，其中出现的命题变元均出现在P 中且M,w|=ψ，将其记作P(ψ)。
考虑模态度不大于n 且只由P 中命题变元构成的公式
，如果M,w|=
成立，对于任意i ∈G 均存在Ui∈σi(w)使得
是
的证据。由于模型M 是证据独立的，对于任意i ∈AGT，存在对应的单射非满射函数hi指派证据。用
表示集合
。注意到
是非空有穷的，因为公式
总是有效的。额外选择Xi∈σi(w)且
。
至此，对于任意i ∈AGT，选择了模型M 中
个i 邻域，其中除了Xi，任意
都是某个满足上面条件的
公式的证据。对于任意i ∈AGT，取
，有
并非空集。任意选择
这是为了满足主体的相互独立性。现在考虑模态度不大于n 且只由P 中命题变元构成的公式
。对于任意i ∈G 与
，如果
成立，
中必然存在相应的证据，任意选择证据
，这是为了满足模型的模态饱和条件。
现在定义模型
如下：W′如上面定义，给定w′∈W′；定义
；对于命题变元
当且仅当w′∈V(p)。不难发现M′是有穷的邻域STIT 模型。
下面证明对于模态度不大于n 且只由P 中命题变元构成的公式ψ 与任意v ∈W′，M,v|=ψ 成立当且仅当M′,v|=ψ 成立。
因此，如果w ∈W′成立，便能直接得到
成立。否则，可以扩充W′为W′∪{w}，对于任意i ∈AGT，将对应的Ri等价类Xi扩充为
。将对应模型记作M′′。类似地，可证明对模态度不大于n 且只由P 中命题变元构成的公式ψ 与任意
成立当且仅当
成立。
因此，只要证明群体STIT 理论的能力片段中每个公式都是在证据独立的模型上可满足，就证明了群体STIT 理论的能力片段具备有穷模型性质。下面给出群体STIT 理论能力片段的一个公理系统。
定义16 (公理系统).表3 与表4 中公理模式5 A7 要求G∩G′为空集。 与推理规则构成希尔伯特式公理系统ABI.C。
命题6 (可靠性).公理系统ABI.C 是可靠的。
表3:ABI.C 的公理模式
表4:ABI.C 的推理规则
在本节的最后，我们给出一个含历史必然算子□、表示下一刻的明日算子X 以及表示上一刻的昨日算子Y 的群体能力片段的公理系统，可以证明该系统关于文献[12]中离散的关系STIT 框架可靠完全，思路类似于下节证明但需作修改，本文略去这一证明。
定义17 (公理系统).表5 与表6 中公理模式与推理规则构成希尔伯特式公理系统ABI.CXY。
命题7 (可靠性).公理系统ABI.CXY 是可靠的。
3.2 完全性结果
下面证明上节给出的公理系统ABI.C 的完全性，具体思路依然是为一致公式集逐步构造满足的邻域STIT 模型。我们继续预设AGT={0,...,k}并令GRP 为所有非空群体集。我们直接将
简记为
。令Φ 为公式集，我们用
表示公式集
，用
表示公式集
。
定义18 (融贯性).网络µ=(S,{σi:0 ≤i ≤k},ρ)是融贯的当且仅当：
表5:ABI.CXY 的公理模式
表6:ABI.CXY 的推理规则
定义19 (饱和性).网络
是饱和的当且仅当对于任意公式φ，如果存在s ∈S 与G ∈GRP 满足
，则对于任意i ∈G 以及Ui∈σi(s)均存在
满足φ ∈ρ(u)。
关于完美网络、由网络生成的模型仿照前面定义，不难验证关于完美网络生成模型的真值引理。
定义20 (缺陷).令
并令s ∈S，公式
为µ中缺陷当且仅当对于任意i ∈G 均存在Ui∈σi(s)满足任意
均有
。
定义21 (辅助函数族).
是基于
与Γ 的辅助函数族当且仅当：
1.µ 满足融贯条件C1-C4；
2.存在s ∈S 满足Γ ⊆ρ(s)且任意φ ∈Γ 均为形如〈[G]〉cψ 的能力公式；
3.对于任意i 符合0 ≤i ≤k，λi:Γ-→℘(℘(S))是部分函数满足:
给定网络
以及其扩充µ′，令
与
分别为基于µ 与Γ、µ′与Γ′的辅助函数族。称
是相对于{λi:0 ≤i ≤k}合适的当且仅当
且对于任意
以及任意i ∈G 均有
成立。
按照第2.2 节中的方法并进行适度调整，对于任意极大一致集Σ，我们都可以构造一个可数网络
满足：µ 满足融贯条件C1-C4且存在s ∈S 有Σ=ρ(s)；存在基于µ 以及
的辅助函数族；对于任意i 符合0 ≤i ≤k 与公式φ，
并非µ 中缺陷。称满足上述条件的网络µ 是相对于Σ 的个体拟完美网络。
引理4. 给定极大一致集Σ，令µ 为相对于Σ 的个体拟完美网络且
i ≤k} 为对应的辅助函数族。存在µ 的可数融贯扩充µ*以及基于µ*与
的辅助函数族
。特别地，µ* 是相对于Σ 的个体拟完美网络且
是相对于
合适的。
证明.对集合
进行排序，并将该排序记作E1。构造网络序列与辅助函数族序列如下：令µ0为µ，令µj+1为µj满足融贯条件C1-C4 的网络扩充且其中不存在形如
的缺陷；令
为
令
为基于µj+1与
的辅助函数族且相对于
合适。需要检验上述序列是否存在。施归纳于序列长度l：当l=1 时，µ0=µ 且
显然存在。假设存在长度为j+1 的序列，需要构造合适的µj+1以及
。
对于任意i ∈G，给定
，再验证
的一致性。如果是一致的，就能将其扩充为极大一致集并将其增添至新邻域中作为
的证据。假设不然，有
为系统内定理。根据
的单调性可知
为系统内定理。注意到
为系统内定理，故
，矛盾。故
∪是一致的。
最后，对于任意i ∈G，我们要保证新引入的邻域Ui满足融贯条件C3。尽管Ui尚未被定义，我们在下文对它们的指称将不会引起歧义。将
记作W，不难发现任意
W 对应于一个邻域组合。特别地，对于i ∈G，需要留意i 分量恰好为Ui的向量
。将这样的向量构成的W 的子集记作V。
现在需要验证公式集
6 φi与φH分别为辅助函数族{
:0 ≤i ≤k}规定的公式。特别地，如果{vi:i ∈H}恰好是{Ui:i ∈G}，则φH为φn。 的一致性。假设不然，则
非空且有
是系统内定理。不失一般性地，将
对应的主体集合的并集记作G*。此时有
是系统内定理。另一方面，容易验证
是系统内定理。此时有
Σ，矛盾。
现在定义
如下：
其中，
对于任意i 符合0 ≤i ≤k，称Sj+1的子集构成的可数序列{An:n ∈ω}是关于i的邻域链，如果该序列满足：第一，{An:n ∈ω}是非降序列；第二，存在m ∈ω满足任意n ∈ω 均有
；第三，如果An⊂An+1则An+1\An与Sjn+m相交为空。定义
为：
类似于引理2，容易验证µj+1是满足条件的网络并由此得到相应的辅助函数族
。只需要重复上述步骤有穷多次，我们便能得到满足条件的µ*以及相应辅助函数族
。
引理5 (修补引理).令
为可数融贯网络且{λi:0 ≤i ≤k} 为基于µ 以及
的辅助函数族，其中s ∈S 成立。假设D 为µ 中缺陷。存在µ 的一个可数融贯扩充
以及基于µ′与
的辅助函数族
满足λ′相对于{λi:0 ≤i ≤k}合适。特别地，D 并非µ′中缺陷。
证明.对于任意i ∈G 以及任意
，基本思路是增加新点至
作为
的证据。将
记作V，V 显然是可数的。
对于新点
与任意i 符合0 ≤i ≤k，需要考虑该新点属于哪个i 邻域：如果i ∈G，
将会被增添至
的i 分量中；如果
选择
将
增添至Xi 中。因此µ 的某些i 邻域Ui将会增加
个新点，用
表示。
定义
如下：
其中，
容易验证µ′ 是µ 的可数融贯扩充并定义出相应的辅助函数族
特别地，
并非µ′中缺陷。
命题8 (完全性).一致公式集都是可满足的。
证明.给定一致公式集Σ，将其扩充为极大一致集Σ*，可以得到一个相对于Σ*个体拟完美网络µ，再借助引理4 得到可数融贯网络µ*以及相应辅助函数族
利用引理5 并参照命题3 的证明，我们最终得到一个完美网络且Σ 在生成模型中可满足。
推论3 (紧致性).对于任意公式集
是可满足的当且仅当每个有穷子集都是可满足的。
注意到完全性的证明过程中事实上为每个公式构造了一个证据独立的模型，因此一致公式均能在证据独立的模型上满足，从而可以在有穷模型上满足。
推论4 (有穷模型性).群体STIT 理论的能力片段具备有穷模型性质。
4 结语
本文分别讨论了个体STIT 理论与群体STIT 理论的能力片段，给出了与经典STIT 模型等价的邻域STIT 模型。我们为这两个片段分别提供了希尔伯特式公理系统，并利用邻域STIT 模型与逐步构造法得到了公理系统的完全性。利用群体STIT 理论能力片段的完全性结果，我们证明了该片段具备有穷模型性质。
本文利用个体STIT 理论的既有结果得到了个体STIT 理论能力片段的可判定性与复杂度上限，但个体STIT 理论能力片段的算法复杂度却依然未明。另一方面，利用群体STIT 理论能力片段的有穷模型性质将有望得到群体STIT理论能力片段的可判定性，这有待我们后面的研究。
本文在讨论STIT 理论能力片段的时态扩充时只简单提到了与明日算子X和昨日算子Y 的结合，对能力片段进行时态扩充将是我们的另一目标。通过在语言中增添表示将来的将来算子F 与过去的过去算子P，我们甚至能讨论个体与群体在过去、当前与将来的能力。具体的讨论也是我们今后的工作方向。
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A Simple Analysis of The Ability Fragment of STIT Formalisms
Jianfeng He
Abstract As a class of philosophical logics of agency,STIT formalisms have recently attracted the attention of researchers who aim at using this machineries to model and reason about multi-agent systems.Since the STIT logic for groups proved to be undecidable and not finitely axiomatizable,researchers turned to look for fragments in which decidability and finite axiomatics remain.By means of restricting the construction of formulas,this article highlights the so-called can-formulas which are of the form◇[a:cstit]φ and ◇[G:cstit]φ in STIT formalisms.These formulas are therefore refered as the ability fragment of individual STIT and group STIT respectively.If only the ability fragments of STIT formalisms are considered,there exists an equivalent neighborhood model for each STIT model in the sense that they satisfy the same formulas.In addition,the ability fragments of both individual and group STIT are finitely axiomatizable.
中图分类号： B81
文献标识码： A
收稿日期： 2018-10-15；修订日期： 2019-02-26
作者信息： 何键枫 浙江大学哲学系hejianfengle@163.com
致 谢： 感谢匿名审稿人对本文的意见与建议。
（责任编辑：刘子华）
Jianfeng He Department of Philosophy,Zhejiang University hejianfengle@163.com