“用频率估计概率”教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,概率论文,频率论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本节课是在学习了三种事件（必然事件、不可能事件、随机事件）、概率的意义（随机事件发生可能性的大小）基础上，学习求随机事件概率的一种方法（用频率估计概率）。在人教版九年级的教材中，给出了两种求概率的方法：统计概率（一般随机事件）和古典概率（有限等可能随机事件），教材中先介绍古典概率，后介绍统计概率。出于各种考虑（见课后反思），我将统计概率放在了古典概率之前进行教学，即本节课为概率初步这一章的第二课时。（第一课时为随机事件与概率的意义）
1.教学目标
(1)理解概率的统计定义；
(2)通过全班合作完成的“摸球”试验，学习处理数据的方法，体验频率的稳定性规律，体会频率与概率的区别与联系，感受用频率估计概率的可靠性，掌握用频率估计概率的一般步骤；
(3)通过点滴了解一些数学史知识，亲身参与数学实践活动，逐步培养探索和实践的精神，体验偶然性与必然性的关系，逐步建立唯物辩证的观点。
2.教学重点
用频率估计概率。
3.教学难点
理解频率与概率的区别与联系。
4.教学过程
4.1 复习铺垫
(1)复习提问：什么是随机事件？什么是随机事件的概率？
学生回答：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件，叫随机事件。随机事件发生可能性的大小，即随机事件的概率。
(2)举例说明一些简单随机事件的概率。
例1 投掷一枚硬币，“正面向上”是随机事件吗？它发生的可能性有多大？它的概率是多少？
学生回答：是随机事件，它发生的可能性为
，即“投掷一枚硬币，正面向上的概率为”。
例2 六个相同的球，在六个球上分别标出1、2、3、4、5、6，把它们放进一个不透明的箱子，“摸出1号球”，是随机事件吗？它发生的可能性有多大？它的概率是多少？
学生回答：是随机事件，它发生的可能性为
，即它的概率为。
例3 不透明的箱子里有6个除颜色外完全相同的球，1黄5白，“摸出黄球”的概率是多少？为什么？
学生回答：，只要把例2中的1号球涂成黄色，其余球涂成白色即可。
4.2 引入和发现规律
(1)结合投硬币的经验，引起对频率与概率关系的思考
教师：投掷一枚硬币，“正面向上”的概率为，表示投掷一枚硬币“正面向上”的可能性为，是否可以理解为“投掷两次，有1次正面向上”？“投掷100次，有50次正面向上”？“投掷n次，有
次正面向上”？……
随机请几个学生投掷硬币若干次，教师用划记法记录正面向上的频数和反面向上的频数，求正面向上的频率，说明频率与概率不同，并引导学生思考“频率和概率有什么关系”。学生思考、讨论。
(2)结合历史数据，发现频率的稳定性规律
教师：阅读历史上数学家们投掷硬币获得的数据，你发现了什么规律？
投掷一枚硬币，“正面向上”的概率为。
投掷一枚硬币，“正面向上”的频率。
师生讨论，发现：随着试验次数的不断增加，频率越来越稳定于。
(3)给出频率的稳定性规律，给出概率的统计定义。
介绍数学家雅各布·伯努利提出并证明了频率稳定性规律，分析概率与频率的关系，点出课题，给出概率的统计定义。
a.频率的稳定性规律：
一般地，在大量重复试验时，一个事件出现的频率，总会在一个常数的附近摆动，显示出一定的稳定性。
b.频率与概率的关系：
频率：刻画事件发生的频繁程度（已发生、可测）；
概率：刻画事件发生的可能性大小（未发生、未知）；
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。
点出课题：用频率估计概率
c.概率的统计定义：
一般地，在大量重复试验中，如果某事件发生的频率(m/n)会稳定在某个常数p附近，那么，该事件发生的概率为p。
频率的稳定性是伯努利证明的，频率与概率的关系是同学们阅读一个随机事件的历史数据后在老师的引导下总结的，概率的统计定义是书上写的，事情真的会是如此吗？会不会出现“投掷了100次（甚至更多次）硬币都出现正面向上”的极端情况，从而使频率不能稳定呢？
4.3 验证并运用规律
(1)试验布置
试验用具：不透明的箱子里放着黄色、白色乒乓球若干个；
试验目的：验证用频率估计概率的可靠性。
任务：①各小组重复、随机摸球，统计得出“摸出黄球的频率”；
②检验频率能否达到稳定；
③用频率估计概率；
④检验估计是否正确。
(2)试验过程
第一步 各小组动手试验
在不透明的箱子里摸出一个球，放回，重复50次，求出50次重复试验“摸出黄球”的频率。
试验要求：将全班同学拆分为小组，每组3人（最后一组可为2或4人）。
第1名同学负责：摇匀箱子、监督试验的随机性和可重复性（每次只摸一个球，记录颜色后放回）。
第2名同学负责：摸球、汇报颜色。
第3名同学负责：用划记法记录“摸出黄球”的频数、“摸出白球”的频数。
小组成员协作，完成50次试验，计算本小组“摸出黄球”的频率。
将各小组试验的数据记录在黑板上，观察“摸出黄球”的频率的记录。
提出一系列问题，由学生回答：
频率在什么范围内波动？是否稳定？
频率没有达到稳定能否估计出概率？
怎样才能使频率逐渐稳定？
为考察频率是否随着试验次数的逐渐增加而渐渐稳定，我们需要将试验次数逐渐增加为100次、150次,200次……但没有时间做更多的试验怎么办？
累加两个小组的数据是否就相当于一个小组做了100次试验？
为获得100次试验的数据，选择哪两个小组的数据进行累加？
如果选择频率最大和频率最小的两组数据进行累加，你能否保证自己在做前50次试验时就获得了最大的频率，而在做后50次试验时就获得最小的频率？（选择频率最平均的两组进行累加）
如何累加才更合理？
学生讨论，得出结论。
第二步 全班协作处理数据
将小组间的数据随机组合，得出100次、150次……重复试验“摸到黄球”的频率。
操作用具：盒子里放着写有全班小组号码的木条。
操作要求：随机选取学生，从盒子里随机的抽出2个、3个……木条，报告木条上写有的小组号码后放回，全班同学计算100次、150次……重复试验“摸出黄球”的频率。
数据描述：将同学们计算出的结果填写在黑板上的表格中，并由计算机课代表将结果输入excel表中，形成折线图。
第三步 检验频率是否稳定于概率
借助用excel绘制的折线图，观察随着试验次数的增多，频率是否逐渐表现出稳定？稳定于哪一个常数？
向学生提供其他班同学的试验结果，进行对比，观察频率是否表现出稳定，稳定于哪一个常数？
估计在箱子中“摸出黄球”的概率。
打开箱子，清点箱子中黄球数目（6个）和白球数目（4个），确定“摸出黄球”的概率。
验证用频率估计概率是可靠的。
提问：频率与概率，谁是偶然的？谁是必然的？谁决定了谁？要想改变上述“摸球试验”中频率的稳定值（即概率），应该怎么做？随机事件的概率由什么决定？
学生讨论，回答，再次明确频率与概率的辩证关系。
第四步 概括用频率估计概率的一般步骤：
a.大量重复试验，记录随机事件发生的频率；
b.检验随着试验次数的增加频率是否表现出稳定性；
c.频率的稳定值即为概率。
4.4 小结反思，布置作业
作业1：（布丰投针试验）
一根针长度为l，在平面内画一些等距的平行线，使平行线间的距离d=2l，将针随机的投在平面内，记录针与平行线相交的频数和针与平行线不相交的频数。
每人试验不少于60次。
第二天汇报试验的数据，看看这样一个看似毫无规律的随机事件，是否也隐藏着什么有趣的规律？
作业2：估计池塘中鱼的数目
为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机捕捞，每次捕捞后做好记录，然后将鱼放回，如此进行了20次，记录数据如下：
估计池塘中鱼的总数。
尾声
全班同学齐声朗读恩格斯关于偶然性与必然性关系的一段论述：
“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”
——恩格斯
5.课后反思
本节课是在学习了三种事件（必然事件、不可能事件、随机事件）、概率的意义（随机事件发生可能性的大小）基础上，学习求随机事件概率的一种方法（用频率估计概率）。在九年级的教材中，给出了两种求概率的方法：统计概率（一般随机事件）和古典概率（有限等可能随机事件）。教材中先介绍古典概率，后介绍统计概率。我认为：一、两种概率没有逻辑上的严格递进关系，所以先讲谁关系不是很大。二、讲概率前必须先明确什么是随机事件，而随机事件发生的可能性是有大小的，这是一般随机事件的特征，也是能够求随机事件概率的前提。书中在介绍随机事件的这个特征时，给出了一个问题（127页问题3不透明袋子中装有除颜色外完全相同的6个球，4黑2白，随机从中摸出一个球，问这个球是黑球还是白球；如果两个球都有可能被摸出，摸出黑球、白球的可能性一样大吗？），并在问题之后写下了“为了验证你的想法，动手摸一下吧！”，还给出了表格让学生填写摸出黑球、白球的次数等等。这一过程，其实包含了频率与概率的关系，本质上就是在用频率估计概率。三、若先学古典概率，学生的认知基础是什么呢？只有生活常识（投掷一枚硬币正面向上的概率为，投掷一枚骰子出现1点的概率为等）但是缺乏这方面常识的学生就很难理解，为什么骰子的6个面出现的可能性相等？事实上，数学家们也是通过大量的投掷硬币，才接受了投掷一枚硬币正面向上的概率为这一生活常识的。所以，将统计概率放在了古典概率之前更为符合学生的认识规律。本节课是在这样的顺序安排基础上进行的，是概率初步这一章的第二课时。（第一课时为随机事件与概率的意义）
本节课是一节探索规律的课，虽然雅各布·伯努利给出了频率稳定性定理的证明，但对于学生而言，由于无法证明，只能将它当作定律来学习。定律不同于定理，无法通过严格的逻辑证明来获得学生的信服。怎么让学生信呢？本节课运用了两种手段：一是列举名人史实。数学史的简单了解在这节课中不是锦上添花，而是让学生初步接受、并最终信服规律的一种手段。但这还远远不够，学生在生活经历中对巧合的事情往往印象深刻，频率会不会碰巧就是不能稳定呢？只有通过第二种手段，让学生亲自动手做，用自己的经历来说服自己，这也是本节课的核心设计理念。其实，不但是学生，就是我自己，在准备这节课的过程中也做了大量的重复试验。虽然我对频率的稳定性相对于学生有更深入地了解，但在试验的过程中，我也经常怀疑频率是否一定会表现出稳定性，甚至在上课前，我会担心课上的试验数据不能验证频率的稳定性，担心每每是多余的。这就是随机事件，随机试验的结果是客观的，不以人的期待为转移，表现出随机性；随机事件是有规律的，在大量重复的试验中，表现为规律性，这是偶然性和必然性的辩证统一。我认为，亲手参与试验，不但对学生，就是对我自己，意义都是重大的。我和学生在试验的经历中，一次次的受到教育。让学生动手实践，其教学成本要远远大于教师讲授方式。试验的设计和改进、用具（完全自制）的筹备和维护，让我疲惫不堪，但就本节课而言，学生通过动手实践活动获得的切身感受，是通过教师讲授无法达到的，因此，成本相对收益是值得的。
为了让学生通过丰富的学习资源理解频率与概率的关系，突破本节课的教学难点，本节课设计了三种不同的随机试验（投掷硬币试验、摸球试验、布丰投针试验），考虑到试验本身的特征、教学的层次和教学的效率，对三种随机试验采用了不同的处理办法，使整节课有比较清晰的条理性。
课堂活动一——投掷硬币试验（最简单的随机事件，概率已知（生活常识），频率已知（历史数据）），通过阅读数据引入和发现规律；课堂活动二——摸球试验（简单的随机事件，概率起初未知（不透明箱子），频率可测（动手实践），概率最终可知（打开箱子）），通过课堂动手实践活动验证并运用规律。
课后作业——布丰投针试验（经典、复杂的随机事件，概率起初未知（从未接触过），频率可测（动手实践），概率最终可查（有明确、美妙的结论）），通过课后动手实践活动进一步验证规律，提高兴趣。
此外，重点突出，各教学环境紧紧围绕重点，自然过渡和衔接，是我设计这节课时追求的一个目标。这个目标并不是一蹴而就实现的，而是经过了反复的推敲、实验、改进，最终比较好的完成。在明确了教学重点、教学难点之后，忍痛割舍原本珍爱的设计方案，一切围绕中心，各环节之间互相铺垫，用问题串将学生的思路逐渐引向问题的实质，使课堂流畅，较好地突破了教学难点，达到了教学目标。
最后，需要说明的是，本节课是2009年童嘉森特级教师工作室学员风采展示课，授课时间为2009年11月18日。整个课的筹备、设计、试讲、修改、完成，都是在工作室主持人童嘉森老师的悉心指导和耐心敦促下进行的。其间，工作室的孙世林、骈红、杨茂、李峰、曹永芹、张淑燕、王晓霞、焦玉文、卜丽娜、李茂蓓、阮祥兵等老师都参与了集体备课、听课、评课的过程，和我一起探讨研究，北京八十中学的陈国栋、孟慧敏、李欧老师也参与了试讲，提供了可贵的修改建议。我认为，这是一节真正意义上的研究课，体现了集体的研究过程、研究水平和研究成果，大家以我的这节课为研究内容，各抒己见，碰撞出智慧的火花，每个参与研究的人都感到受益匪浅，收获最大的是我。因此，对上述各位老师，我深表谢意，感谢他们为此抽出的宝贵时间和提出的真知灼见！特别要感谢主持人童嘉森老师，他执著的敬业精神、高超的业务水平和卓越的组织能力，加速了我们工作室每位年轻教师的成长，让我们感受到团队研究的其乐无穷！