巧用图形变化，妙解几何问题论文_梁静静

（安阳市第五中学）

本文系河南省教育科学“十三五”规划2018年度一般课题《在初中数学互助学习模式下开展图形的变化教学的方式方法研究》;编号：（2018）-JKGHYB-0962）研究成果

摘要：“图形变化”在平面几何解题中有着重要的应用，初中学生对于该方法的学习为以后的数学几何学习奠定了坚实的基础。本文针对初中数学的几何图形变化的解题技巧，如旋转法，对称变换法等结合具体案例进行分析与讨论，为教师教学和学生学习提供参考。

关键词：图形变化；旋转法；对称变换法

“图形变化”是2011年新课标(修订版)中的一个新名词, 就是把一个图形通过变换变成另一个图形的问题，该方法是解决几何试题的一个十分锐利的武器。 “课标”将其定位为由图形属性的体现和变化的观点来认识图形,该项教学内容对于学生系统、全面完成初中数学的学习处于十分重要的地位。图形变化通常运用对称、平移、旋转、等积等图形变换，将分散，远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，从而发现解题的思路，达到化繁为简，化难为易，巧妙解题的目的。本文将常用的一些方法做了归纳。

1 巧用旋转法

一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动叫旋转，我们在解题中运用图形旋转的主要目的是：把给定的图形（或其中的一部分）绕某一点旋转后，图形会发生新的组合，重组后的图形能把题目中的条件相对集中，从而使问题得到解决。下面举例说明运用图形旋转法解题的常用技巧。

由于所证问题是 的形式，故首先考虑构造直角三角形，再利用勾股定理去证明。如何将分散的线段BD、AB、BC构造在一个直角三角形中，是解决此题的关键。具体做法是旋转三角形，如图2，将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，

∴△DBE为等边三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，∴△ECB为直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2

另外，此题也可以如图3，以BD为边向另一侧做等边△BDE，连接CE，或者将△CDB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使C与A点重合，B与E点重合，连接BE，再进行证明。

此题还可以以BC为边向外做等边△BCE，连接AE、AC，或者将△CDB以C为旋转中心，顺时针旋转60°，使C与A点重合，B与E点重合，连接BE，再进行证明。

以上几种方法中均可利用旋转法在图形重组后使问题得到解决。

2 巧用对称变换法

将一个平面图形变到与它关于某直线成轴对称的另一个图形，这样的图形变换叫做对称变换，该法也是图形变换中常用的技巧，举例说明。

例2 如图4,在△ABC中, ∠BAC=60°AD垂直BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.

小红运用对称知识,将图形变换如图5 ,以AB，AC为对称轴画出△ABD,△ACD的轴对称图形, D点的对称点为EF，延长EBFC相交于G点，得正方形AEGF,设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

参考小红的思路，探究并解答新问题：

如图6, 在三角形ABC中, ∠BAC=30°AD垂直BC于D,AD=4,请按小红的画图得到四边形AEGF,求△ABD的周长。

图4 图5 图6

本题考查了三角形、勾股定理、正方形、轴对称变换等知识点和方程思想，数形结合等数学思想，是初中数学中最基础的知识和核心内容。由于综合知识较多，如果直接让学生求解，难度较大，主要的困难在于无法把BD，CD等已知条件与未知的AD 放入一个三角形中，采用阅读材料的方法，通过轴对称变换，构造出四边形AEGF，在降低试题难度的同时，也培养了学生利用对称变换法解题的思想。

3 多种方法综合使用，实现一题多解。

在实际几何解题过程中，多种方法的综合使用至关重要，这也要求学生对各种方法能够融汇贯通，最终实现一题多解。

例3 如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，猜想BE、DF与EF的大小关系并证明。

图7 图8

方法1（截长补短法）BE+DF =EF，理由如下：延长EB至H，使BH=DF，连接AH，

∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABH=90°，AD=AB，∴△ADF≌△ABH（SAS），

∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=EAH=45°，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF．

方法2（旋转作图法）BE+DF =EF，理由如下：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH，则∠BAH=∠DAF，AF=AH，之后证法同上。

本题也可以在AD上方作出△ABE的全等图形，进而集中BE、DF证明两者之和等于EF，但相比旋转作图法证明过程简单，难在需要将辅助线做法交代准确。

在本题基础上还可以变式，若旋转∠EAF，点E、点F分别在BC、CD的延长线或反向延长线上，结论还成立吗？如成立请证明，若不成立请写出BE、DF与EF的大小关系。

类似上面的方法，不难证出，当点E、点F分别在BC、CD的延长线上时，BE—DF =EF当点E、点F分别在BC、CD的反向延长线上时，DF—BE =EF。

图形变换问题是初中几何中一种常见的题型，也是近年来中考试题中的一个热点，现已形成一类形式多样、层次分明、立意新颖的新题型。学生在利用各种技巧，经历图形变换的过程中，将知识融会贯通，实现一题多解，使几何图形的试题更具有活力和新意，同时也培养了学生的思维能力和创造能力。

参考文献

[1]潘立新巧用图形变化,妙解几何试题[J].中学数学2013(11)：83-85.

[2]马贞，享受图形变化中的数学魅力[J].教育科学论坛，2013(2)：42-44.

[3]于红梅,关于图形变化的探究[J].科技信息2011(19)：667.

论文作者:梁静静

论文发表刊物:《知识-力量》2019年2月中

论文发表时间:2018/12/11

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