刘庆荣[1]2003年在《Ⅰ.Banach空间中二阶周期边值问题解的存在性 Ⅱ.广义非线性系统周期边值问题》文中研究表明在本文中，我们考虑了实Banach空间E中如下周期边值问题(PBVP)这里f∈C[I×E×E，E]，I=[0，2π]，J=I×I，Ku(t)=integral from n=o to 2πK(t，s)u(s)ds，k_0=max{k(t，s)：t∈I，s∈I}，K(t，s)∈C[J，R~+]，R~+=[0，+∞)。本文中用θ表示E中的零元。 对于PBVP(1.1)，运用单调迭代技巧，文中给出了下解和上解之间存在最大解和最小解的充分条件。下解和上解的定义是以下面形式给出的。 定义：若ν_0(t)∈C~2[I，E]={u(t)：I→E|u〃(t)在I上连续}，常数M＞0且满足则称ν_0(t)为PBVP(1.1)的下解。 定义：若ω_0(t)∈C~2[I，E]，常数M＞0且满足则称ω_0(t)为PBVP(1.1)的上解。 为叙述方便，首先列出一些假设条件： (A1) 设ν_0(t)，ω_0(t)∈C~2[I，E]分别为PBVP(1.1)的下解和上解，满足ν_0(t)≤ω_0(t)，t∈I。 (A2) 存在常数M＞O，N＞0，满足 这里 （A3）对和等度连续的有界单调序列都有 其中 本文的主要定理： 定理设为实空间，P是中正规锥，条件满足，设 设满足则存在单调序列 在上一致成立，且分别为上的最小解和最大解．
苏文龙[2]2006年在《非线性二阶方程周期边值问题解的存在性》文中研究指明本文旨在通过查阅近十多年来已发表的文献资料,把在Banach空间中利用上下解概念和算子不动点理论应用于非线性二阶常微分方程周期边值问题解的存在性的研究方法及现状做出综述.全文主要内容如下:绪论.叙述非线性常微分方程周期边值问题研究的背景、意义以及用非线性泛函方法对此问题研究的概况.第一章.介绍在Banach空间中研究非线性常微分方程周期边值问题解的存在性需要的基本概念与结论.第二章～第六章.分别介绍右端项不含导数、右端项含有导数的半线性二阶常微分方程、半线性二阶微分-积分方程、半线性二阶脉冲型微分-积分方程以及具p-Laplacian算子型拟线性二阶微分方程等几类非线性二阶方程周期边值问题解的存在性研究方法和获得的结论.第七章.概述非线性二阶常微分方程周期边值问题解的多重性研究方法.结束语.小结及阐述进一步需要解决的问题.
孙彦[3]2010年在《非线性奇异问题和脉冲方程解的相关研究》文中研究指明非线性泛函分析是现代分析数学中一个重要的分支学科.它具有丰富的理论和先进的方法,为处理实际问题所对应的各种数学模型,如非线性微分方程,偏微分方程和非线性积分方程等提供了有效的理论工具.国内的张恭庆教授,陈文山原教授,郭大钧教授,孙经先教授等在非线性泛函分析的各个领域都取得了辉煌成就(见文献[28]-[41]).非线性奇异问题是近几十年来非线性泛函分析关注的一个重要方面.半序Banach空间中非线性奇异微分方程和脉冲微分方程是微分方程研究中一个可望获取丰硕成果的重要研究课题.由于它不断出现在各种应用学科中,例如:大气对流、生物、医学、化学、经济学、流体力学、核物理、边界层理论、非线性光学等近年来倍受国内外数学家及自然科学家的高度重视.本文利用非线性泛函分析中发展起来的多种先进方法,如拓扑度方法,锥与半序方法,不动点指数理论,不动点定理结合微分方程中的上下解方法,最大值原理,比较原理等,来研究几类非线性奇异微分方程边值问题,脉冲微分积分方程边值问题和测度链上动力方程边值问题正解的存在性,唯一性,解的迭代序列,误差估计及构造收敛于解的迭代算法等,都得到了一些有意义的新成果,其中不少已在国内外重要学术期刊上发表.如《J. Math.Anal. Appl.》,《J. Comput. Appl. Math.》,《Appl. Math. Comput.》,《Appl. Math. Lett.》,《Nonlinear Funct. Anal. Appl.》,《Acta Math. Hungar.》,《应用数学学报》等.本文共分七章.主要内容如下:在第一章,介绍本文的背景知识及主要工作,并给出了后面几章要用到的非线性泛函分析中的有关预备知识和引理.在第二章,主要讨论下列非线性奇异二阶和四阶常微分方程组其中f∈C((0,1)×R+×R+, R+), g∈C((0,1)×R+, R+), R+ = [0, +∞), f, g在t = 0或t = 1处奇异,而且允许f在x = 0处奇异.已知文献多数得到的是边值问题正解存在的充分条件,寻求正解存在的充分必要条件是重要而有趣的,但很困难,而我们获得了新结果.在适当的条件下,利用不动点定理和单调迭代技巧,得到了弹性梁方程组正解存在唯一性的新成果,也得到了解序列的收敛速率及误差估计,这是对解序列的一个新刻划.我们还注意到解的迭代序列是明确的,这有助于数值实现.在第叁章,研究了非线性奇异边值问题.在第一节,我们考察下列奇异二阶Neumann边值问题(NBVP)其中0 < k <π2是一个常数,允许非线性项f(t), g(t,x)在t = 0,t = 1和x = 0处奇异.f∈C((0,1), (0,+∞)), g∈C((0,1)×(0,+∞),(0,+∞)).最近,许多作者对奇异边值问题正解存在性的研究感兴趣,大量的工作集中讨论在应用数学和物理中有广泛应用的二阶边值问题.然而,在生物,医学等领域具有重要应用背景的奇异Neumann边值问题的结果相对较少.我们运用不动点定理和Green函数的性质,在非线性项g(t,x)仅需要满足局部单调性的条件下,得到了奇异Neumann边值问题(NBVP)正解存在性的新结果.在第二节,考虑下列奇异叁阶边值问题(BVP)正解的存在性,其中允许非线性项a(t),F(t,x)在t = 0,t = 1及x = 0处奇异. a∈C((0,1), (0,+∞)), F∈C((0,1)×(0,+∞),(0,+∞)).通过构造特殊的锥,使用有关序的某种不等式及不动点定理,得到了叁阶奇异边值问题正解存在的新结果.在第叁节,我们得到了半直线上Sturm-Liouville边值问题新的正解存在性结果,有趣的是我们不仅允许非线性项在端点处奇异,而且得到了关于参数μ明确的解区间.在第四节,我们通过具体的例子说明我们第3.1节与第3.2节的新结果所涉及的函数类是十分广泛的.在第四章,我们考虑更一般的二阶非线性叁点边值问题正解的存在性,其中μ> 0是参数,β> 0, 0 <η< 1, 0 <αη< 1, ? := (1?αη)+β(1?α) >0, a∈C((0,1), (0,+∞)), a(t)可以在t = 0或t = 1处奇异. f∈C([0,1]×(0,+∞),(0,+∞)),且允许f(t,x)在x = 0处奇异.近几年,在非线性项施以较强的限制条件下,许多科研工作者对叁点边值问题已进行了广泛的研究,并取得了一些较好的结果.对非线性项f(t,y)没有任何单调性或增性条件的假设,并且允许非线性项奇异,在与线性算子有关的第一特征值的条件下,通过构造有效的积分算子,并结合不动点指数理论和Green函数的性质,我们不仅得到了叁点边值问题正解的存在性,也得到了关于正参数μ的明确的区间.结果的新颖之处在于不仅允许a(t)在t = 0或t = 1处奇异,而且也允许非线性项f(t,y)在y = 0处奇异.在第五章,研究了测度链上非线性奇异微分方程的正解.在第一节,我们对测度链上动力方程的发展史作简要介绍,并给出了测度链分析中的一些基本概念和预备知识,以备后面几章使用.在第二节,我们讨论下列测度链上微分方程在边界条件下?正解的存在性,其中λ> 0是一个参数,在(0,σ(1))上u(t) > 0,使得u(t)的??导数与积分0σ(1)u?(ττ)存在, u,h∈C((0,σ(1)),(0,+∞)), f∈C([0,σ(1)]×[0,+∞),[0,+∞)), a,b,c,d≥0,且r := ub(c1) + u(σa(d1)) + ac 0σ(1)u?(ss) > 0.利用锥上的不动点指数理论,得到了测度链上Sturm-Liouville边值问题正解存在的新的判别准侧,我们的结果推广并改进了许多已知结果.在第叁节,我们考虑下列测度链上二阶非线性微分方程m?点奇异边值问题其中, 0 <αi < T, i = 1,2,3,···,m ? 2, 0 <η1 <η2 <···<ηm?2 < T为常数,αi < T, m≥3, f : (0,T)×(0,+∞) ?→[0,+∞)和g : (0,T) ?→[0,+∞)连续,并且允许非线性项f(t,x)在t = 0或t = T, x = 0处奇异.在允许非线性项奇异的情况下,通过构造精确的上下解以及运用最大值原理,得到了测度链上非线性奇异m?点边值问题存在唯一Crd[0,T]正解和Cr1d[0,T]正解的充分条件.在第六章,我们研究了下列二阶微分方程正周期解的存在性,其中b(t)与g(t)为连续的w?正周期函数,并且f∈C(R×[0,+∞), [0,+∞)).我们建立了一个新的比较原理.在与线性算子有关的第一特征值的条件下,通过构造一个特殊的锥,利用不动点指数理论, Krein Rutmann定理和转化技巧,得到了二阶微分方程至少存在一个正周期解的新的充分条件.在第七章,我们考虑了下列二阶混合型奇异非线性脉冲积分微分方程边值问题正解的存在性,其中α,β,γ,δ≥0,ρ=βγ+αγ+αδ> 0, J = (0,1), 0 < t1 < t2 <···<tm < 1,J = J {t1,t2,···,tm}, J = [0,1], J0 = (0,t1], J1 = (t1,t2], Jm = (tm,1], f∈C[J×P×P×P×P,P]. P是E中的正锥, Ik∈C[P, P], Ik∈C[P,P],θ是E中的零元,并且这里K∈C[D,J], D = {(t,s)∈J×J : t≥s},H∈C[J×J,J], K0 = max{K(t,s) : (t,s)∈D}, H0 = max{H(t,s) : (t,s)∈D}. ?y|t=tk及?y |t=tk表示y(t)和y (t)在t = tk处的跳跃算子,即?y|t=tk = y(t+k ) ? y(tk? ), ?y |t=tk = y (t+k ) ? y (tk? )其中y(tk+ ), y (tk+ )和y(tk? ), y (tk? )分别表示y(t)和y (t)在t = tk处的右极限和左极限.允许h(t)∈C(J,R+)在t = 0或t = 1处奇异.我们利用锥理论,不动点定理及严格集压缩算子,在较弱的条件下,得到了二阶奇异非线性脉冲积分微分方程边值问题新的正解存在性定理.所得结果推广并改进了最近的相关结果.
刘立山[4]2006年在《Banach空间微分方程解的研究》文中提出非线性泛函分析是既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，建立处理非线性问题的若干一股性理论和方法。因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象，它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具。在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程，微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用。 本文研究的主要问题是非线性算子方程解的存在性、解的唯一性、多重解、构造收敛于解的迭代算法，和运用非线性分析中的不动点方法、半序方法、上下解方法、拓扑度等方法来研究Banach空间微分-积分方程初值问题或奇异非线性边值问题，得到了许多新成果，攻读博士学位期间发表(含待发表)学术论文42余篇，论文发表的主要刊物为：《Nonlinear Analysis》、《J．Math．Anal．Appl．》、《Comput．Math．Appl．》、《Applied Math．Let-ters》、《Applied Math．Comput．》、《Dynamic Sys．Appl．》、《Dynamic of Continuous，Discrete and Impulsive Systems》等．由于篇幅有限，本文只选取12篇论文来重点介绍。 全文共分六章。第一章绪论部分，我们主要介绍非线性泛函分析和抽象空间微分-积分方程的发展历史、背景和本文的主要结果。 第二章，首先推广了着名的严格集压缩不动点定理，利用这个不动点定理和Monch不动点定理，在较弱的条件下，分别研究了Banach空间Volterra型非线性积分方程和一阶混合型非线性微分-积分方程初值问题整体解的存在性，得到了一系列的新结果，本质上改进了已有的一些结果。作为应用，在适当的条件下我们得到了两类叁阶混合边值问题整体解的存在性。 第叁章，首先在范数型条件下，利用广义的Banach不动点定理，我们得到了Banach空间中Volterra型二阶脉冲微分-积分方程解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性和解的误差估计。其次对Banach空间中Volterra型一阶脉冲微分-积分方程讨论了类似的问题。最后，在半序型条件下，利用上下解方法研究了一股的一阶非线性混合型脉冲微分-积分方程的初值问题，得到了初值问题解的存在和唯一性，并给出了收敛于解的迭代序列和解的误差估计。 第四章，首先利用我们得到的不动点定理，在较弱的条件下研究了Banach空间中二阶混合型脉冲微分-积分方程初值问题的整体解，本质改进和推广了
王秀荣[5]2007年在《抽象方程解的存在理论及应用》文中认为本文的研究主要分为叁个方面:抽象空间中微分方程周期边值问题、两点边值问题以及微分方程反向上下解问题.首先,详细的讨论了一般Banach空间中,积-微分方程周期边值问题最大解最小解的存在性.本文分别在正则锥与正规锥中,只存在上解或下解的条件下研究积-微分方程周期边值问题,得出一系列定理得到近似解的单调迭代逼近序列.减弱了定理满足的条件,扩大了定理的适用范围.其次,分两种不同情况研究抽象空间中不连续二阶非线性微分方程边值问题解的存在性:不含有微分项u′的二阶微分方程与含有微分项u′项的二阶微分方程.当二阶微分方程不含有微分项u′时,利用混合型单调算子的理论与性质,得到了相应解的单调迭代序列及近似解的相应误差估计式;而当二阶微分方程含有微分项u′项时利用积分变换将含有微分项u′的二阶微分方程转化为一阶积-微分方程,利用单调迭代方法给出了广义解的单调迭代序列与近似解的误差估计式.最后,分别讨论一阶与二阶微分方程反向上下解的问题.对反向上下解问题的研究主要是构建不同的比较定理(极大值原理),解决证明过程中出现的一些问题.然后利用反序上下解方法与单调迭代方法得到解的存在性定理.
钱守国[6]2003年在《Banach空间中积分微分方程的边值问题》文中指出本文在第一章考虑如下形式的Banach空间中二阶混合型积分微分方程的周期边值问题： -u″(t)=f(t，u(t)，(Tu)(t)，(Su)(t))， (1．3．1) u(0)=u(2π)，u′(0)=u′(2π) (1．3．2)其中 t∈J=[0，2π]，f∈C[J×E×E×E，E]， (Tu)(t)=integral from n=0 to t k(t，s)u(s)ds，(Su)(t)=integral from n=0 to 2π h(t，s)u(s)ds， K∈C[D，R_+]，h∈C[J×J，R_+]，D={(t，s)，0≤s≤t≤2π}，下面我们列出主要假设：(A_1)v_0，w_0∈C~2[J，E]分别是(1.3.1)-(1.3.2)的下、上解，且w_0(t)≤v_0(t)，t∈J。其中，(A_3)α(f(J,V_1,V_2,V_3))≤c_1α(V_1)+c_2α(V_2)+c_3α(V_3)，其中V_i E是有界集，i=1，2，…，α为E中有界集的Kuratowski非紧性测度。我们考虑一种新的情形，即上解小于等于下解，首先证明了一个新的比较定理，然 后利用增算子不动点定理和单调迭代技巧得到了O．3．l）一＊．3．幻的最小解、最大解 的存在性，其主要结果如下： 定理1．3．二 设B是实Bamch空间，P是正则锥，条件…），MJ满足，且 4。’（M＋ ZNk。。＋ ZNh。。）＜ 1，2。（Nk。＋ Nh。）＜ M，则周期边值问题（1．3．1）11．3．2）在【00，吻］中具有最小解可O和最大解丫（O，且按下列确定的迭代序列…小厂和扣人t厂在J上分别一致收敛于可t）和＊（t）： 尸2霄 地n【川”J 0【匹，川V〔8，仙n．11S】，巴上W。＿111引、！oM。］】且S1】一Mw。＿回IS且 一川下w。－川s卜沁（5wn－以s）冲 儿3．肥） fz可 一川＊vn－以s）一仙（砌。以s）冲 队3．2幻其中H（t，8）由（1．3．7）一（1．3二1）诸式给出．定理1．3．2 设E是实B3。3Ch空间，P是E中的正规锥，条件（A儿（AZ），（A3）成立，且： 4。’（M－ZNko。＋ZNho。）＜1，2。（Nko＋灿ho）＜M，设，二一，P＝’7T（＊‘。干 N‘。）＊－‘并且。 2。（ZCI＋2C2k0＋2C3h0－M－Nko＋Nho） HH＜1（．261 （1＊B）VM（l、cosZVMsl则定理1．3．1仍成立．作为这方面的一个理论上的应用，我们可以考虑Banach空间中如下形式的叁阶混合型积分微分方程的边值问题： Pt P21 一V‘’闭＝尸O．VM．川儿Jk巾，打以8MS，J h山。SN【8M8）．WEJ 门＊石〕 ＊（ 二0，＊’仰二＊’k），U”仰二U“执） （1，4．6）其中J二K2LPEqJxBxBxBxB，用，力E山D，凡＊D＝《L，s），0叁sSLS2。｝，hi E CIJ X J R＋＊ 亿l．0l1118H 亿IK sJ，n1．O＝max nIK，8）． 厂，8）ED【【．8］EJXJ 3 本文在第二章，考虑右端是ca＊M6cd。y函数的二阶混合型积分微分方程的周期边值问题： 一u’w二人t，…），口州t），p州t）），a．e．t e J（2．2．1） 帅）二毗n），＊’仰二＊’伽） （2．2．2）其中J叫0，＊］，j：JX护＋R是ca，a亡6o伽。函数，其中（T…。）二术…，s）…冲，（Su）（t）二斥可h（t，s）…）ds．利用上下解方法和拓扑度的理论，得到了解的存在性．
王红卫[7]2013年在《关于抽象方程的若干问题》文中进行了进一步梳理非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它能够清楚地解释自然界中很多自然现象，因而受到了越来越多数学家与数学工作者的关注.其中，非线性问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一.本论文主要讨论了Banach空间中积-微分方程终值问题，二阶积-微分方程组初值问题，以及二阶积-微分方程两点边值问题，全文共分四章.第一章，前言部分，主要介绍了选题来源、研究意义、国内外研究现状，以及论文的主要研究内容和目标.第二章，利用单调迭代方法和上下解方法，讨论了Banach空间中积-微分方程终值问题，并改进了某些已有的结果.第叁章，利用锥理论和单调迭代方法，研究了Banach空间中二阶积-微分方程组初值问题唯一解的存在性.第四章，利用上下解方法和单调迭代方法，研究了Banach空间中二阶积-微分方程两点边值问题，对某些已有结果作了推广和改进.
江卫华[8]2009年在《常微分方程多点边值问题的正解》文中研究指明常微分方程多点边值问题起源于许多不同的应用数学和物理领域,例如:由N部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化为多点边值问题;弹性稳定性理论的许多问题也可转化为多点边值问题处理.对多点边值问题的研究,始于二十世纪八十年代,由Il'in和Moiseev首次对二阶线性常微分方程进行研究.到二十世纪九十年代,Gupta开始讨论二阶非线性常微分方程叁点边值问题,此后,许多作者研究了更一般的非线性多点边值问题,并取得了丰富的成果.对常微分方程来说,正解往往是人们注重研究的符合现实意义的一类解,人们常将研究微分方程正解的存在性问题转化为研究积分算子在锥上的不动点的存在性问题.研究积分算子不动点的存在性常用的理论是非线性泛函分析的度理论和不动点指数理论,其中最常用的定理是:Schauder不动点定理,Krasnosel'skii不动点定理,Leggett-Williams不动点定理和它的一般化—五个泛函不动点定理.尽管很多学者应用上述定理对多点边值问题正解的存在性进行研究,并取得了丰富的成果.但由于使用这些常见的不动点定理需要假设非线性项是连续的,且Green函数需满足特定的条件要求,使得这些常用的定理适用范围具有一定的局限性.因此,仍然存在许多未解决的具有挑战性的问题.抽象空间中的积微分方程理论是近叁十年发展起来的一个重要的分支,现在已有专着多部.对于抽象空间中边值问题的研究始于二十世纪七十年代,但由于在抽象空间中研究积分算子不动点的存在性具有很大困难,使得这一领域的研究进程非常缓慢.目前未涉及到的需要研究的问题有很多.针对以上这些问题,本文分以下五个方面进行研究:1.对二阶和叁阶微分方程边值问题,我们打破常规限制,采用新的方法和技巧,分别证明非线性项中含有一阶导数且非线性项可在[0,1]中任一点具有奇性以及在定义域内可以具有不连续性的二阶和叁阶多点边值问题正解的存在性.我们使用的工具是Krein-Rutman定理和不动点指数理论.该结果扩展了现有的一些结论.2.我们利用H.Amnn不动点定理,研究非线性项中含有一阶导数,且可在[0,1]中任意一点具有奇性以及在定义域内具有不连续性的带有p-Laplacian算子的多点边值问题多个正解的存在性.这个新的方法和技巧,消除了目前多数结论必须以非线性项在定义域内连续作为条件的限制.3.对具体空间中(k,n-k)共轭边值问题的研究已经取得了很多的成果.然而,就我们所知,对抽象空间中的这一问题还未有研究.本文通过构造适当的锥,利用锥上严格集压缩算子不动点定理,研究抽象空间中积分算子A(u(t)):=integral from n=0 to 1 G(t,s)f(s,u(s))ds的一个、两个和多个不动点存在性.然后,利用这一结论研究抽象空间中(k,n-k)共轭边值问题的一个、两个和多个正解的存在性,并且这一结论可用于一类抽象空间中的边值问题研究.4.对于高阶多点边值问题,我们做了如下研究:(1)利用五个泛函不动点定理研究非线性项中含有各阶导数的2n阶多点边值问题至少叁个正解的存在性;(2)利用五个泛函不动点定理研究非线性项中含有各阶导数的n阶多点边值问题多个正解的存在性.5.在抽象空间中,我们还研究了以下叁种类型的二阶边值问题:(1)利用Darbo不动点定理,通过构造适当的锥,首先给出一个积分算子的不动点的存在和不存在条件,然后利用该结论研究抽象空间中具有非齐次边界条件的二阶两点和多点边值问题正解的存在性和不存在性条件;(2)利用锥上严格集压缩算子不动点定理,我们研究抽象空间中具有共振的二阶多点边值问题多个正解的存在性.该问题的特点是相应的齐次边值问题具有非零解,即共振性,从而不能用通常的方法来研究.难点在于找出与其等价的一个非共振边值问题的Green函数所满足的不等式;(3)对于抽象空间中二阶两点边值问题正解的存在性,在锥是正规的条件下已有研究.我们采用新的方法和技巧,去掉这一条件限制,证明了该边值问题正解的存在性,使得我们所得结论的使用范围更广.
杨柳[9]2011年在《几类非线性微分方程边值问题解的存在性与多重性研究》文中研究指明由于和物理、化学、生物、经济等领域的许多实际问题有着密切的联系,微分方程边值问题解的存在性与多重性成为重要的研究课题之一.本文运用非线性泛函分析的方法研究了几类非线性微分方程边值问题,获得了一些新的解的存在性和多重性的结果,改进或推广了一些已有文献的结果.全文共分五章,其主要内容如下：第一章介绍了所研究问题的背景和研究意义、发展现状以及最新进展,并对本文的工作进行了简要的陈述,同时在本章的最后给出了一些所需的预备知识.第二章首先利用临界点理论和投影算子的性质讨论了一类带拟正定核的非线性Hammerstein积分方程,在一定的条件下得到了它存在一个解、两个非零解、有限多对非零解的结果.然后把所得的结果用来研究一类2n阶常微分方程的两点边值问题,得到了它的解的存在性与多重性.第叁章讨论两类脉冲微分方程系统的边值问题.在第一节研究了一类带脉冲的二阶Hamilton系统周期边值问题,利用变分法得到了该问题的由脉冲产生的解的存在性与多重性.在第二节利用山路引理和叁临界点定理研究了一类带脉冲条件的p-Laplacian系统周期边值问题,得到了该问题由脉冲产生的解的存在性和多重性.本章得到的结果显示脉冲能影响边值问题解的存在性与多重性.第四章研究了几类分数阶微分方程的边值问题.在第一节我们利用u0凹算子理论、不动点定理结合迭代方法研究了一类阶数在(3,4]之间的微分方程边值问题,得到了该问题解的唯一性、多重性,并得到了迭代序列,其初始值是一些便于计算的函数,甚至是常数函数.在第二节运用u0凹算子理论,我们研究了一类阶数在(n-1,n]之间的微分方程边值问题解的唯一性,得到了迭代序列.在第叁和第四节,我们利用不动点指数理论、不动点定理分别研究了一类带时滞的分数阶微分方程边值问题和一类分数阶微分方程的积分边值问题,得到了它们解的存在性.第五章研究带脉冲的分数阶微分方程边值问题.在第一节我们利用不动点定理研究了一类阶数在(1,2]之间的脉冲微分方程非局部边值问题,其非线性项含有未知函数的一阶导数,得到了此问题解的存在性和唯一性的结果.在第二节我们讨论了一类阶数在(0,1]之间的脉冲微分方程反周期边值问题,利用不动点定理得到了该问题解的唯一性和存在性的结果.
郑波[10]2007年在《离散Hamilton系统的周期解与边值问题》文中进行了进一步梳理本文应用Morse理论、度理论、极小极大方法、Z_p几何指标理论等,研究离散Hamilton系统周期解以及边值问题解的存在性与多重性,所得结论对离散系统定性理论的发展具有重要的促进作用。全文共分六章,主要内容如下。第一章简述了问题产生的历史背景、问题的研究状态、最新进展、预备知识以及本文的主要工作.第二章考虑一阶渐近线性离散Hamilton系统p周期解的存在性与多重性,其中p＞2是给定的素数.利用Z_p几何指标理论与一阶线性离散Hamilton系统的Morse指标理论,得到了非平凡周期解的Z_p轨道的存在性与多重性的充分条件。这是首次应用这两种指标理论讨论离散系统解的存在性问题,并且改进了文献中已知的结果,得到了周期解个数下界的一个更好的估计。第叁章研究具有“小”强迫项的二阶离散Hamilton系统周期解的存在性与多重性。首先,给出了保证上述问题对应的变分泛函是强制的若干充分条件,以得到极小临界点。然后,证明了如果0是强迫项为零的系统的非退化周期解,则上述极小临界点非退化,从而利用Morse理论中的叁临界点定理,证明了原系统至少存在叁个周期解。特别地,在非线性项是自治与非自治的情况下,分别给出了一些条件以保证0是强迫项为零的系统的非退化周期解。这些条件简单明了,易于验证。最后,举例说明了当强迫项不是充分小时,结论不成立。这对扰动离散系统的研究具有重要意义。第四章研究纯量形式下边值问题解的存在性与多重性,这是首次应用Morse理论讨论离散系统边值问题解的存在性,并获得了一系列有意义的结果。对于系统在无穷远处非共振的情形,我们主要应用Morse理论、度理论与矩阵分析等,讨论了齐次问题和非齐次问题解的存在性与多重性,而且得到了非齐次问题恰好有叁个解的充分条件。一般来说,临界点理论或者不动点方法只能得到算子方程解的个数的下界,而这里精确地给出了解的个数,因此,为研究此类问题提供了一种新的思路。对于系统在无穷远处共振的情形,通过计算无穷远处的临界群,利用截断技巧和山路引理得到了一个正的临界点和一个负的临界点并且计算了相应的临界群,由此得出叁个非平凡解的存在性结论,其中包括了一个正解,一个负解。这一章所使用的方法也可用于其它类型的边值问题,只要相应的线性系统的特征值问题没有零特征值。第五章研究高维情形下边值问题解的存在性与多重性。已有的文献中,一般假设非线性项是超线性、次线性或者有界的,据作者所知,目前应用临界点理论讨论非线性项是渐近线性情形的文献很少。鉴于此,该章对非线性项提出了广义渐近线性条件,包含了渐近线性作为特殊情形,通过对二阶线性离散Hamilton系统分类,定义了指标函数,得到了指标函数的性质与计算公式,再结合Leray-Schauder原理与Morse理论等,得到了边值问题解的存在性与多重性的一些新的充分条件。从而,完善了对离散系统边值问题的讨论,所用的方法也可用于其它类型离散系统的边值问题,如一阶离散Hamiton系统边值问题等。这些结果即使是对渐近线性的情形也是最新的。
参考文献：
[1]. Ⅰ.Banach空间中二阶周期边值问题解的存在性 Ⅱ.广义非线性系统周期边值问题[D]. 刘庆荣. 山东师范大学. 2003
[2]. 非线性二阶方程周期边值问题解的存在性[D]. 苏文龙. 吉林大学. 2006
[3]. 非线性奇异问题和脉冲方程解的相关研究[D]. 孙彦. 上海师范大学. 2010
[4]. Banach空间微分方程解的研究[D]. 刘立山. 哈尔滨工业大学. 2006
[5]. 抽象方程解的存在理论及应用[D]. 王秀荣. 中国石油大学. 2007
[6]. Banach空间中积分微分方程的边值问题[D]. 钱守国. 山东师范大学. 2003
[7]. 关于抽象方程的若干问题[D]. 王红卫. 中国石油大学（华东）. 2013
[8]. 常微分方程多点边值问题的正解[D]. 江卫华. 河北师范大学. 2009
[9]. 几类非线性微分方程边值问题解的存在性与多重性研究[D]. 杨柳. 中南大学. 2011
[10]. 离散Hamilton系统的周期解与边值问题[D]. 郑波. 湖南大学. 2007
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