原始命题的逻辑学研究——兼论多因—果的逻辑推理，本文主要内容关键词为：逻辑学论文,逻辑推理论文,命题论文,原始论文,兼论多论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
摘要：本文对公理系统中的原始命题进行了初步的探讨。原始命题之间的蕴涵是一种纯形式蕴涵，它与一般实质蕴涵的区别是，纯形式蕴涵具有非传递性，一般实质蕴涵则满足蕴涵传递律。公理系统中有限个原始命题推导出结论命题的过程，可以理解为多因一果的推理。这种推理需要对究竟依靠多少个原因命题作为前提，进行主观的选择。本文将多因-果同一因一果两种推理方法作了比较， 并简单解释了以往认为欧氏第五公设不能被证明的原因。
关键词：原始命题线形式蕴涵 非传递性 递归性 多因-果
一、问题的提出
在公理系统中，原始命题是一类特别重要的命题。原始命题的逻辑性质和它们在公理系统中的地位，与非原始命题有着根本的区别。对这两类命题需要作专门、系统的比较和研究。
欧几里德的几何学体系是大家所熟知的公理体系。欧几里德提出了五个公理和五个公设作为他逻辑推理的原始命题。其中第五公设为：
若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长之后必相交于该侧的一点。
人们很快发现，欧氏第五公设叙述得很噜嗦，看起来很像是一条定理，而不像是公设。当时对公设的理解是，简单明了，不证自明的命题，叫做公设。公设和公理实际上就是几何学体系的原始命题，是推导非原始命题（或称定理）的逻辑前提。数学家们开始怀疑第五公设的原始性，企图证明它并不独立于其它原始命题，而只是一条定理。用当时的话来说，就是“企图把《几何原本》中的‘污点’洗去，使之成为‘无污点’的几何学”。[1]
数学家们试图用其它公理和公设来推导第五公设。历经一千多年，这种努力没有成功。在所有的努力中，不是所期望的证明包含了一些明显的逻辑错误，就是在证明中不自觉地引入了一些与第五公设一样复杂的几何学命题，作为推理的前提。[2]18年世纪初， 意大利数学家萨克利用反证法，假设第五公设的否定命题成立，希望推出矛盾，结果推出了一系列的命题，却始终没有发现其中的任何一对命题在逻辑上是相互矛盾的。尝试证明第五公设的屡屡失败，使得数学家们动摇了证明它的决心。他们认为，第五公设可能永远无法证明。这意味着，第五公设可能确实是独立的公设，而非定理。如果承认第五公设的独立性，就等于承认了由第五公设的否定命题取代它后，推出的另一种几何学体系是逻辑上成立的。于是，数学家们发明了非欧几何，即所谓罗巴切夫斯基的锐角几何和黎曼的钝角几何。
如果我们从一种新的角度，来考察这一段数学史，可以看见，证明第五公设的失败，反映了以往对原始命题的认识和研究不够。用第五公设的否定命题取代第五公设后，仍然能得到不发生逻辑矛盾的体系，这足以说明，原始命题对整个公理系统的影响是举足轻重的。但是，数学家们也只是被迫承认了非欧几何，并没有因此提高他们对原始命题重要性的认识。而且，非欧几何是从“如果承认第五公设的独立性”、“断定第五公设的不可证明”[3]出发的， 关于“为什么人们认为欧氏第五公设不能被证明”的问题，以往没有引起充分的重视。这个问题还需要认真而明确地做出回答。
二、原始命题的逻辑特性
在若干个并列的原始命题作为对象，进行专门研讨时，要将它们当成同一层次上的一组平等的命题来对等。而且，公理系统只能以限个初始命题作为推导定理的逻辑前提；不是一个，也不可能是无限多个。无论原始命题的地位和内容多么特殊，它们毕竟是一些命题，是逻辑学需要研究的对象。
纯形式蕴涵的非传递性，是指对多个原始命题来说，“假言三段论规则”不成立。从A[,i]、A[,i+1]、A[,i+2] 都是同一层次上的原始命题来看，平等性要求它们最多只能纯形式的约定蕴涵，而不能象不同层次的命题那样满足因果蕴涵的传递律。所谓“递归性”，是指传递而回归。A[,i]与A[,i+2]之间不跳跃传递，就是A[,i+2]向A[,i]的递归，或者说回归。纯形式蕴涵性仅仅考察任意两个原始命题之间的形式关系，而非传递性则是考察多个原始命题之间的形式关系。
纯形式蕴涵的非传递性或递归性，是这一组原始命题最重要的逻辑特性。客观因果蕴涵的前、后件之间，具有客观发生的时序上的先后关系。客观的时序是发散型、开放型和不可逆的，因此，客观因果蕴涵可以沿着发散方向跳跃的传递。纯形式蕴涵没有客观事实与之相对应，其前、后件之间不具有客观时序意义上的先后关系。这说明，纯形式蕴涵的时序性质根本不同于发散型的客观时序，而是一种回归型的、闭合的主观时序。所以，纯形式蕴涵具有递归性，它排斥沿着发散方向的蕴涵跳跃的传递。
三、公理系统中多因-果的推理
早在古希腊时代，欧几里德就已经对公理系统中的命题进行了层次的划分。其中被选定为公设和公理的有限多个命题，划分为原始命题的层次；由这一层次推导出的定理命题，则属于非原始命题的层次。对命题进行层次划分有其必然性。从客观事实的意义上看，导致某一结论命题的前提原因，常常是多方面的。所以，有必要将反映多方面前提原因的命题，构造成一个前提命题的层次。在几何学公理系统中，用一组并列的原始命题，推理得出某一结论的过程，可以解释为“多因- 果”的推理。它将多个原始命题作为一个整体的层次，并依靠这一前提层次，共同推理出某一结论。
多因-果与一因一果推理的区别是，前者必须判定｛A[,i]｝中的每一个命题都是平等而独立的前提原因命题，而后者则只需要建立一一对应的简单因果关系。前者的关键是，需要首先确定多个命题都是前提层次之中的命题后，由整个前提层次共同推出某一结论命题，而不是前提层次中的一个或一部分命题，推出结论。在人的思维作多因- 果推理时，必须具体完成判定前提层次的过程，而不能是一片空白。不能超越或省略这一过程。否则，多因-果将同一因一果的简单推理混为一谈， 无法区别。
当我们人为地选定有限个命题作为前提层次，来推导某一结论时，这种推理的方法和结构，就已经带有某些主观性和约定性。虽然单纯地看待每一个前提命题的内容，都是毫无疑问的客观事实，但是，当我们将这些客观命题主观地拼凑成一个前提命题的层次，并以这种主观地拼凑为前提，来推导某一定理时，该推理方法既包含前提命题内容的客观成分，又不可避免地带有某种约定性和主观性。可见，多因- 果的推理方法，对多个前提命题的客观内容，进行了主观的选择，构造和加工。
多因-果推理的优势在于，尽管包含有限个命题的前提层次， 不可能完全包容结论命题的多方面的前提原因，不具有完全性，但是，它比一因一果推理的前提内容更全面、更丰富，推理的过程更充分、更可靠。探讨这种方法的目的，是依靠有限个命题，用简单可行的过程，减少并控制推理结构自身的主观干扰，有选择性地完成推理出结论命题。
四、将多个命题约定为前命题层次
相对于结论命题，约定多个命题为前提命题层次的过程，要符合简单性原则和具体性原则。即人的思维用最简单的方式，具体地完成这一过程。最简单、最直接地将N个命题联系在一起的方式， 是建立其纯形式蕴涵的关系。这能够人为地、具体地将N个命题约定在一起，并且， 其非传递性（递归性）保证了这样具体地约定在一起的N个命题， 每一个命题都是平等而独立的前提命题。只有纯形式蕴涵及其非传递性，才能完成确定多个命题为前提命题层次的任务。
五、多因-果推理的过程
考察多因-果推理的具体过程，应该从两个方面进行分析。 一方面是对多个前提命题的客观内容进行综合，另一方面是对独立的前提原因的数目进行主观选择。
某一具体的多因-果推理， 需要按具体的次序或方向来综合所有前提命题的客观内容。递归式都有一定的次序性，某一次序就是该递归式具体的方向。多因-果推理通常按递归式提供的次序或方向，对N个前提命题的客观内容进行综合。从不同次序和方向进行综合，得出的结论各不相同。多因-果推理的实质，就是选择出最可能的次序、 方向和结论。
前提命题的数量具有主观选择性。每一个多因- 果推理都需要具体地主观选择前提命题的数目。多因-果推理是一种不完全的推理， 有限个前提命题不可能完全包含结论的原因。因此，必须解决推理的不完全性和可靠性的矛盾，即构造出不完全而可靠的多因-果推理结构。 下面讨论N取不同值时，其前提命题数目的主观选择性，对多因-果推理的具体影响。
1.当N=2，令：A<=>（A[,1]=>A[,2]=>A[,1]）<=>1。即人为选定2个命题作为前提层次的递归式，具体只能约定一个方向。以2 个命题作为前提的推理记为：（A[,1]，A[,2]）→Q。 这种推理过程由主观约定的唯一方向，直接决定了推理的过程。它是一种决定型的推理结构。
“先有鸡还有先有蛋”的矛盾从何而来呢？当主观上只认定“鸡生蛋”、“蛋生鸡”两个命题为前提后，以这两个命题为前提的推理过程，完全受到主观约定的唯一方向的控制。即主观上只认定两个命题为前提，逼着思维自己只能主观的“鸡生蛋”=>“蛋生鸡”=>“鸡生蛋”的循环。只选定两个命题为前提，决定了“先有鸡还是先有蛋”的矛盾是主观约定的矛盾，而不存在客观上“先有鸡还是先有蛋”的矛盾。这是一种决定型的、无选择的主观约定的矛盾。当只主观地认定两个命题为前提后，推理的过程即没有选择性，这种矛盾就无法摆脱或避免。
2.当N=3时，纯形式蕴涵递归式，可能约定成2个方向。若具体约定：
例如，假定只由五个前提命题，选定以下次序或方向进行综合推理：“那是在星期日”，“那是康德”，“那是衣服”，“那是红颜色”，“那是在音乐厅里”，得出结论命题“星期日康德穿着红衣服在音乐厅里”；该结论的逆向否定命题和独立否定命题被同时判定为：“在红颜色的音乐厅里康德穿着衣服在星期日”，“红颜色的康德在星期日穿着衣服在音乐厅里”。
5.当N＝6时，在总共P[2][,6]＝30个纯形式蕴涵式中，只能构成一组互逆方和递归式，其它的式子不能组合成独立的方向。这种情况与N＝4时类似。
6.当N=7时，总共P[2][,7]＝42个纯形式蕴涵式， 可以具体约定出3组互逆方向的递归式。若某一具体推理过程选定为：｛A[,i]｝d[,1]→Q，并且，｛A[,i]｝d[,1]'→Q；
这种多因-果推理具有3个独立的约定方向，它是一种多向推理结构。选定结论命题的肯定式Qd[,1]的同时，也判定了Qd[,2]和Qd[,3]为结论的两个独立的否定形式。多向推理通过对约定的递归式的多向综合结果进行选择，使得不可能具有完全性的多因-果推理， 具有一定的准确性和可靠性。
从结论的角度，以结论命题“三角形三内角之和等于180 度”为例，其逆向否定形式为“三角形三内角之和不等于180度”； “三角形三内角之和小于180度”和“三角形三内角之和大于180度”分别是其独立方向的否定命题；“三角形三内角之和不小于180 度”则是某一独立否定命题的逆命题。通过探讨多结构的推理，能够更深入地分析和解释“逆命题”和命题的多个并列否定形式这些概念。
由以上讨论可得，选择N个前提命题的多因-果推理，其约定成递归式的独立方向数d为：
上式说明，随着多因-果推理选定的前提命题数目的增加， 根据前提命题内容进行综合推理的方向的灵活度随之增加，推理的结论更加具有选择性和多样性，更加复杂。这就提高了多因-果推理方法的意义。 当N＞7时的情况，等等问题，还需要进一步深入的研究。
六、欧氏第五公设不能被证明的原因
综合上述关于多因-果推理的讨论， 可以得出：（一）几何学中的原始命题，在内容上是以经验事实为依据的，在形式上则是一些表达经验事实的简单陈述语句，没有、也不可能出现否定形式。（二）由一组原始命题作多因-果的推理后，得出的结论命题，是非原始命题。 结论命题的内容是选定某一次序，对所有原始命题的内容进行综合后得出的。选定结论命题的肯定形式的同时，也判定了结论的否定形式。否定形式的命题是逻辑推理过程之中或之后的产物。它的内容，是按照与选定次序不同的方向综合所有原始命题的内容后得出的。（三）产生结论命题否定形式的实质，是多个原始命题可以从多种不同的（独立的）次序和方向进行内容的综合。选择不同的次序或方向综合所有前提命题的内容，就可以得出彼此不同的（否定的）结论。选定某一结论为肯定形式，其余结论就都是否定形式。（四）多因- 果推理出某一结论命题肯定形式的同时，也判定了结论命题的多个并列否定形式。一因一果推理得出结论的肯定形式时，只有结论的一个否定形式。随着主观选定的原始命题的数目的增多，其推理得出某一结论的肯定形式时，同时判定的结论的否定形式也随之增多。
以往人们认为欧氏第五公设不能被证明，其原因主要有以下几个方面：
第一，当我们以有限个命题为原始命题，来检验某一命题是否原始命题时，首先必须明确，这种检验过程中的逻辑推理，受制于多因- 果的推理。而且，需要一定数目的原始命题才能完成这种逻辑检验；并非任何数目的原始命题都能进行这种逻辑检验。主观地、随意地减少原始命题的数目，可能毁坏逻辑体系以及逻辑推理的根基。如果主观选定的原始命题的数目太少，推理的过程不具备可靠性和多向选择性，就不可能完成检验某一命题是否原始命题的逻辑任务，也就不可能证明出某一命题是或者不是公设。第二，在证明的过程中，常常会不自觉的引入一些命题来充实前提命题层次，是为了保证多因- 果推理的过程具备可靠性和多向选择性。当主观认定的原始命题的数目足够时，可以证明出第五公设。但这时的原始命题中，包含了同第五公设一样复杂的几何学命题。如“存在不同大小的相似三角形”、“三角形内角之和等于两直角”和“三点决定一圆”等等，这三个命题中的每一个，都可以同其它原始命题一起证明出第五公设。[5]。因此，确切地说， 以往认为第五公设不能被证明的原因，是人们主观选定的原始命题的数目不够。应该对企图删除、证明某一公设的思路进行反思，而重视公设的主体介入的问题。第三，原始命题的层次与主观的选择、证明某一结论的具体需要和选择的数量有关，而不是一成不变的。在逻辑推理之前，有很多候选的符合客观经验事实的命题，它们都有资格充当原始命题。我们只需在这些候选命题中，根据推理的需要选择一部分命题确定为前提命题层次，就能满足多因-果推理数量上的要求， 就能够有目的地进行具有可靠性和多向选择性的推理。当用第五公设作为原始命题之一时，可以推理出结论“三角形内角之和等于两直角”；当用“三角形内角之和等于两直角”作为原始命题之一时，可以推理出第五公设。第四，在主观认定的原始命题的数目足够的前提下，如果某一或某些原始命题是反事实命题，根据递归式的次序或方向，也能进行多因-果的综合推理， 并推出体系内部不矛盾的非欧几何体系。从包含反事实命题的一组原始命题出发，推出的非欧几何体系，与从符合事实的一组原始命题出发，选择推理出欧氏几何定理的同时，否定的一系列其它方向综合得出的命题，原则上是等价的。
由此可见，探讨多因-果的推理方法， 可以从一个新的思路来认识有关第五公设的问题。
当N＝1时，多因-果也就过渡到一因一果的简单推理。 后者的特点是，突出了导致某一结论的某一项前提原因，并对多项前提原因作了理想化的、近似的或武断的处理。一因一果强调一个前提与一个结论之间内容上的客观因果联系，表面上显得推理的过程很客观，但是，它忽视了其它多个并列的前提，忽视了多个原因数量上的主观选择性，实际上是把推理的过程构造得很主观、很片面。以往在处理多因- 果问题时，人们或许会将它一步步地约简为一因一果或三段论推理。毫无疑问，一因一果或三段论推理都不能代替多因-果推理。 忽视对多个并列前提命题数量上的主观选择，还会导致逻辑悖论。许多悖论都与命题的否定形式或并列否定形式有关。从多因-果的角度， 可以更深入地解释命题否定形式的实质。有关的逻辑悖论可能会迎刃而解。多因- 果推理适用于逻辑基础方面的问题，推理过程中有明显的主观介入的问题，模拟思维智能等问题。
关于多因-果推理的研究，现成的参考文献很少。 本文仅仅是一些粗浅的思考和认识，错误之处在所难免。希望能够提出问题，引起专家们的重视，并批评教正。
（收稿日期：1996年5月8日）
标签：命题的否定论文; 演绎推理论文; 命题逻辑论文; 逻辑学论文; 数学论文; 客观与主观论文; 推理论文; 关系逻辑论文;