考虑可信度的犹豫模糊多属性决策方法研究
崔春生1， 朱向琳2， 任亚丹3， 祝晓梦1
(1.河南财经政法大学 计算机与信息工程学院，河南 郑州 460046； 2.西北工业大学 管理学院，陕西 西安 710129； 3.郑州工商学院 工学院，河南 郑州 451400)
摘 要: 为深入研究犹豫环境下多属性决策问题，提高决策的科学性和准确性，本文在已有研究成果的基础上，充分考虑犹豫模糊集中隶属度函数的差异性对决策结果的影响。论文引入了专家可信度的思想对犹豫模糊信息进行集成，将一组数值转化为一个数值，进而实现犹豫模糊信息的对比研究，以此构建了一种考虑可信度的犹豫模糊多属性决策方法。最后，论文以汽车零部件供应商选择问题为例，验证了该方法的有效性。
关键词： 犹豫模糊集；多属性决策；集成算子；可信度
0 引言
作为一项贯穿于日常生活的基本活动，决策在国家建设、政治、军事、贸易和农业等领域也发挥着不容忽视的作用和影响。在现实决策问题中，由于考虑因素较多，决策者容易出现犹豫不决、难以抉择的情形，因此无法直接用经典模糊理论描述和建立决策模型。针对决策过程中存在的问题，2010年，Torra和Narukawa提出犹豫模糊集的相关概念和思想，它容许一个元素的隶属度可以存在不止一个值[1,2]。在他们的文章中，一些犹豫模糊集的基本运算被提出，并将它与另外的几种拓展模糊集的区别与联系也进行了深入对比和讨论。犹豫模糊集的一个主要优点就是容许存在多个不同的隶属度，因此评价过程中各属性值可以用一个犹豫模糊数来表示，各决策方案则组成一个犹豫模糊集。为了能够处理不同犹豫模糊环境下的信息，人们提出了各种集成算子的实际需要。有序加权算术平均(OWA)算子是有关信息集成方式的最基础的研究，后来Chiclana F等学者在此基础上进行了拓展，提出了有序加权几何平均(OWG)算子，并基于此提出了一种应用于乘法偏好关系的决策方法[3]。OWG是一种基于几何平均的信息集成算子，后来学者Yager将其扩展为一种广义有序加权平均算子及诱导的有序加权平均算子[4]。在此研究基础上，Fodor J等学者在文献中基于指数和拟算术平均的概念，给出了广义对数有序加权平均(GOWA)算子和拟平均有序加权算术平均(QOWA)算子的概念和形式[5]。Merigo J M 等学者在文献中基于GOWA算子、IOWA算子以及QOWA算子的概念和特点，将三种集成算子结合起来，得到一种新的算子，即广义诱导有序加权平均(IGOWA)算子[6]。Yager详细介绍了连续有序加权算数平均(COWA)算子和连续有序加权几何平均(COWG)算子的定义和算法，通过决策问题的实际应用验证了其可行性和有效性[7]。
虽然集成算子的研究和应用一直受到学者们的广泛关注，但在复杂的现实决策问题中，往往存在决策专家犹豫不决的情形，且基于集成算子的决策问题具有一定的复杂性及深度，因此需要对其进行深入研究，探讨新的信息集成方法。
1 预备理论
1.1 犹豫模糊集的基本概念
在现实多属性决策问题中，往往存在不确定性信息。比如求职者在选择工作单位过程中，必须综合考虑每个工作单位的工资水平、晋升空间和企业文化等因素；又如供应商的选择问题。为生产单位选择合适的供应商时，不仅仅局限于对产品价格的评估，还应当同时考虑产品质量和供货能力等因素。但由于专家的背景知识领域或专业水平有所差异，导致一个属性存在多个评价值的情形，基于此Torra[1]给出的犹豫模糊集恰好准确的描述了这一问题。
定义1 [1] 设X 为一给定集合，我们称二元组E ={{x ,h E (x )}|x ∈X }为X 上的犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)，其中x ∈X 的所有可能隶属度构成的集合用h E ⊆[0,1]表示。另外，我们称h E (x )={γ |γ ∈h E (x )}为一个犹豫模糊数(Hesitant Fuzzy Element, HFE)，h E (x )的补集为
另外假设犹豫模糊数所含个数有限，可用h σ(j )(x )表示h E (x )所有元素中第j 小的元素。
(1)如果s (h 1)>s (h 2)，则h 1≻h 2；
例1 设X ={x 1,x 2,x 3}为一个给定的集合，其中h E (x 1)={0.2,0.4,0.5}，h E (x 2)={0.3,0.4},h E (x 3)={0.3,0.2,0.5,0.6}分别表示x i (i =1,2,3)关于E 的隶属度所组成的集合。那么，E 就被称为一个犹豫模糊集，可以表示为：
当然，认真对待每一个零件，并不仅仅依靠先进设备的引进，更重要的在于使用的人，针对此，国望集团借2011年新厂房落成为契机，完整、彻底地在企业内部导入了5S管理，使公司的管理走上新的台阶，其希望以严格的规定、认真的执行来保证产品尽可能完美的呈现。
E ={<x 1,{0.2,0.4,0.5}>,
x 2<0.3,0.4>,x 3<0.3,0.2,0.5,0.6>}
犹豫模糊数h E (x 1)、h E (x 2)和h E (x 3)的补集分别记为：
定义2 [1,8] 设E ={{x ,h E (x )}|x ∈X }是一个犹豫模糊集，可以给出以下定义：
(1)如果对任意的x ∈X ，有h E (x )=0，则称E 为空犹豫模糊集；
2.4 术前访视 手术室护士术前1 d到病房探视患者，对患者进行心理护理。了解患者的病情，患者心理，向患者介绍手术环境，术中放疗，麻醉方式及配合要求，耐心解释和回答患者所担心的问题，减轻患者紧张，焦虑情绪。尤其是向患者及患者家属解释术中放射治疗的无风险性。
(3)如果对任意的x ∈X ，有h E (x )=[0,1]，则称E 为完全犹豫模糊集。
定义3 [8,9]假设犹豫模糊集的犹豫模糊数为h E (x i )，n Si 为犹豫模糊数h E (x i )中所有元素的个数，那么记
为犹豫模糊数h E (x i )的得分函数。如果n xi =1，表示犹豫模糊数h E (x i )中只包含一个元素值，这时犹豫模糊集E 退化成为一个经典模糊集。
对于犹豫模糊数h 1和h 2，下面给出二者之间大小的对比法则：
目前除了金融类和综合类院校开设国际贸易专业，很多农林院校、理工类院校、师范院校以及外语院校等都开设了国际贸易专业，因此学生就业竞争激烈。除了银行、传统外贸企业等就业领域，跨境电商无疑是国际贸易专业学生就业的又一重要领域。因为虽然跨境电子商务兼具国际贸易和电子商务的特点，但其核心是国际贸易，实际上是国际贸易随着时代的发展和科技水平的提高，在与电子商务进行结合之后出现了新特征而已。招聘跨境电商人员时，企业更倾向于选择国际贸易专业的人才。
(2)如果s (h 1)=s (h 2)，则h 1=h 2。
定义4 [8,10]设λ >0，h ，h 1和h 2是三个犹豫模糊数，它们的一些基本运算定义如下：
(1)h 1∪h 2=H {max(γ 1,γ 2)|γ 1∈h 1,γ 2∈h 2}；
点评：根据银保监会此前公布的数据，去年全年四个季度，商业银行不良贷款率均保持在1.74%。从今年开始，商业银行不良贷款率开始上行，今年一季度、二季度、三季度商业银行业不良贷款率分别为1.75%、1.86%和1.87%，也就是说，我国商业银行不良率已经连续三个季度上升。
(2)h 1⊗
定义6 设h j (j =1,2,…,n )是一组犹豫模糊数，则有
h 1∪h 2={0.4,0.5,0.6,0.8,0.9}
h 1∩h 2={0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8}
定义5 [8,9]设α >0，h ，h 1和h 2是三个犹豫模糊数，则：
家长要仔细观察孩子的病情。如果是病理性发热，必定伴有其他相关症状，家长总能找出一些蛛丝马迹，以便就诊时告知医生，帮助医生找出引起发热的病因来，利于诊断治疗。
(1)h 1⊕
(2)h 1∩h 2=H {min(γ 1,γ 2)|γ 1∈h 1,γ 2∈h 2}。
1.2 犹豫模糊加权平均(HFWA )和几何(HFWG )算子
加权平均(WA)算子与加权几何(WG)算子是在经典决策科学理论中使用最多的集成算子。在多属性决策过程中，它们被国内外学者进行了深入研究，已被推广到不同类型决策信息的集成。
基于犹豫模糊集的特点，Xia与Xu[11]分别将加权平均(WA)算子与加权几何(WG)算子与犹豫模糊数相融合，得到了两种犹豫模糊集成算子：
(1)犹豫模糊加权几何(HFWG)算子
3.离子分布不均匀而产生的扩散移动。任何情况下,离子总是有扩散移动的趁势,一般来讲,离子从浓度大的区域向浓度小的区域扩散的趁势会比较明显。
举例来说明，设h 1和h 2是两个犹豫模糊数，其中h 1={0.2,0.3,0.6,0.8}，h 2={0.4,0.5,0.6,0.9}，那么h 1与h 2的并和交分别为：
HFWG (h 1,h 2,…,h n )
(1)
其中，w =(ω 1,ω 2,…,ω n )T 是h j (j =1,2,…,n )的权重，而w j ∈[0,1]且
(2)犹豫模糊加权平均(HFWA)算子
定义7 设h j (j =1,2,…,n )是一组犹豫模糊数，则有
HFWA (h 1,h 2,…,h n )
(2)
其中，w =(ω 1,ω 2,…,ω n )T 是h j (j =1,2,…,n )的权重，而w j ∈[0,1]且
1.3 犹豫模糊有序加权平均(HFOWA )和几何(HFOWG )算子
有序加权平均(OWA)算子和有序加权几何(OWG)[3]算子首先将集合内的元素进行排序，然后进行加权集成，值得注意的是，权重w j 只与相应的位置j 有关。
(1)犹豫模糊有序加权平均(HFOWA)算子
2018年12月4日，南水北调东线总公司在北京组织召开南水北调东线安全生产体系建设评估项目验收会，特邀专家、东线总公司相关部门及中国安科院项目组参加会议。与会人员听取了评估工作开展及成果汇报，并进行了充分讨论，认为项目组充分考虑东线工程安全生产管理实际，评估报告选取的方法科学合理，问题原因分析透彻，对策措施及结论具有积极的指导意义，一致同意通过《南水北调东线安全生产管理体系建设评估报告》。
定义8 设h 1,h 2,…,h n 为一组犹豫模糊集，设HFOWA：Ω n →Ω ，则
步骤2 本文通过RCIHFOWG算子对决策问题中各备选方案的每个属性信息进行集成，并获得G j 的综合决策值为：
HFOWA (h 1,h 2,…,h n )
(3)
称为犹豫模糊有序加权平均(HFOWA)算子。这里，与该算子相关联的权向量我们用w =(w 1,w 2,…,w n )T 来表示，其中w j ∈[0.1]，且
则是指犹豫模糊数h j (j =1,2,…,n )中第j 小的元素，(σ (1),σ (2),…,σ (n ))是关于(1,2,…,n )的一个置换，对于给定的任意j ，有h σ(j -1)≤h σ(j )。
1.3 随访方法 所有患者以自制表调查问卷，同时以电话、短信、电子邮件并且通过门诊和住院资料等方式定期随访，术后第1年前半年每个月复查1次，后半年每3个月复查1次，第2年每半年复查1次，第3年以后每年复查1次，随访日期截止到2016年10月，除随访过程中患者死亡之外，所有病例随访至少70个月。
(2)犹豫模糊有序加权几何(HFOWG)算子
(2)如果对任意的x ∈X ，有h E (x )=1，则称E 为绝对犹豫模糊集；
定义9 设h 1,h 2,…,h n 为一组犹豫模糊集，设HFOWG：Ω n →Ω ，则
(4)
称为犹豫模糊有序加权几何(HFOWG)算子。这里，与该算子相关联的权向量我们用w =(w 1,w 2,…,w n )T 来表示，
且h σ(j )是犹豫模糊数h j (j =1,2,…,n )中第j 小的元素，(σ (1),σ (2),…,σ (n ))是(1,2,…,n )的一个置换，对于给定的任意的j ，有h σ(j -1)≤h σ(j )。
这样看来，有序加权算子中的权重向量其实就是位置权重，并且其权重向量的确定方法类似于属性权重。这种方法有很多，比如说一种基于正态分布的方法，该方法根据正态分布的特点，主张为两端的数据应赋较小的权重。但是此类算子仅仅与位置相关联，与专家给出的决策数据大小无关。再比如说直接将两端评价值舍去的决策方法，把最高与最低分去掉之后再进行计算。这种方法虽然便于理解、计算方便，但是存在一定的缺陷。并且，大多数方法没有考虑专家对被评判领域的熟悉程度(即可信度)对决策结果的影响，可能导致决策结果存在偏差。
2 可信度条件下的犹豫模糊多属性决策模型
随着社会分工逐渐细化，为保证多属性决策过程中专家评价数据的合理性和准确度，需要考虑决策专家对被决策领域的知识水平和熟知程度。基于此目的，本文引入可信度的概念，表示决策专家对待决策领域的熟悉程度。
定义10 现有n 个犹豫模糊数，记作h 1,h 2, …,h n ，设RCIHFOWA:Ω n →Ω ，若
表示与RCIHFOWA算子相关联的一个权向量，其中:
日后所打造的产品要更加具有中国风、亲和力，不仅好用还要好看，就像此次研发的WITR高速旋转推拉式密集型堆垛机系统，其载货台融入了苏州园林的花窗和冰裂纹灵感，简约之余更彰显大气，为冰冷的机器赋予艺术的温度。
y j 为可信度系数，
表示可信度且0≤l j ≤1，h σ(j )是h j (j =1,2,…,n )第j 小的元素，w j 是犹豫模糊数h σ(j )的位置权重，其中(σ (1),σ (2),…,σ (n ))是(1,2,…,n )的一个置换，任意给定一个j ，有h σ(j -1)≤h σ(j )，这时我们称RCIHFOWA为相对可信度诱导犹豫模糊有序加权平均算子。
用于治疗痛风类中药方剂对比别嘌呤醇治疗痛风疗效和安全性的系统评价 ……………………………… 张红阳等（3）：401
定义11 设犹豫模糊数h 1,h 2,…,h n ，且设RCIHFOWA:Ω n →Ω ，若
为与RCIHFOWG算子相关联的权向量，其中:
y j 为可信度系数，
为可信度且0≤l j ≤1，h σ(j )是犹豫模糊数h j (j =1,2,…,n )第j 小的元素，w j 是犹豫模糊数h σ(j )对应的位置权重，其中(σ (1),σ (2),…,σ (n ))是(1,2,…,n )的一个置换，对任意的j ，满足h σ(j -1)≤h σ(j )，这时我们称RCIHFOWG为相对可信度诱导犹豫模糊有序加权几何算子。
设U ={u 1,u 2,…,u m }为决策问题的方案集，C ={c 1,c 2,…,c m }为属性集，专家组在提供各备选方案的每一属性下决策数据的同时，需要给出每个决策数据相应的可信度，将相同的决策数据舍弃，犹豫模糊决策矩阵D i =(h ijk )m ×n ×p 由剩下的所有决策值构成。其中，p 表示的是属性中模糊数的个数，h ijk 代表决策问题中第i 个方案第j 个属性的第k 个犹豫模糊数。在属性集里，由可信度和犹豫模糊数位置权重乘法集成后的混合权重向量记为Z =(Z 1,Z 2,…,Z p )r ，其中Z i ∈[0,1]，且
最终得到基于相对可信度诱导犹豫模糊有序加权算子的犹豫模糊多属性决策方法，具体步骤如下：
步骤1 由决策专家同时给出各备选方案u i ∈U 下的所有属性c j ∈C 的犹豫模糊决策值及相应可信度，一起构成犹豫模糊决策矩阵D i =(h ijk )m ×m ×p 。
(2)课前教学资源的推送：教师在每次课前，通过网络教学平台的“播客单元”发布视频教学资源，通过“教学资源”发布课前自主学习任务单、课件、案例、文献等资源。还可以通过“答疑讨论”对学生自学中的疑问及时解答，运用“在线测试”让学生自主检测。如果是下次是实验课，通过“课程作业”下发实验任务并让学生提交实验成果。
G j =RCIHFOWG (h 1,h 2,…,h n )
(5)
步骤3 本文通过犹豫模糊加权几何(HFWG)算子集结决策专家组成员提供的各备选方案属性信息，求出各备选方案的相应群体综合表现值；
步骤4 通过比较上一步骤中计算出的结果，得到该决策问题中每个备选方案u i (i =1,2,…,m )的优劣次序，进一步从备选方案中选出最满意方案。
3 案例应用
M 公司作为一家知名的汽车厂家，近几年来业务不断发展壮大，已经陆续在中国多个地市建立基地。截止2017年12月底，M 公司全年的累计产销已达206万辆。然而，汽车行业正面临着越来越严峻的挑战，中国汽车市场逐渐进入“微增长”的新常态。为保证公司能够继续稳健发展，如何打破固有的思维套路，提升供应商管理质量，提高客户的综合满意度，是M 公司必须尽快找到解决办法的重要发展课题。现M 公司需要采购一种汽车离合器，通过市场调查和研究，从众多供应商中选择四家作为备选方案，分别为供应商A 1、供应商A 2、供应商A 3和供应商A 4。
表6是区分国有企业和非国有企业样本组的回归结果。在投资过度样本组中，无论是M1增长率的回归系数还是M2增长率的回归系数，国有企业样本组的绝对值都明显大于非国有企业样本组。在投资不足的样本组中，国有企业样本组M1增长率回归系数的绝对值也大于非国有企业样本组。前述三组回归结果的P值也证实了国有企业的投资效率(投资过度)对货币政策的敏感性更强。尽管在投资不足的样本组中，国有企业样本组M2增长率回归系数的绝对值小于非国有企业样本组，但在表6关于国有企业样本组、非国有企业样本组的四组回归结果中，有三组结果证明了国有企业的投资效率(投资过度)对货币政策的敏感性更强。这支持了假说2c。
现将四个汽车离合器供应商记为U ={u 1,u 2,u 3,u 4}，(i =1,2,3,4,其中，m =4)，属性集一共包含3个属性，分别为供货能力、价格和产品质量，我们记做C ={c 1,c 2,c 3}(j =1,2,3, 其中,n =3)。属性集中各个属性的权重向量分别为w ={w 1,w 2,w 3}={0.25,0.3,0.4}。
邀请每位专家对各个供应商的每一属性进行匿名评估，对于每一方案，专家对各个属性给出的评估值构成的犹豫模糊数，为便于下文分析，我们将其记做a ij 。在决策者对所有方案按各属性评估测度时，由于决策小组中的成员专业知识水平和实践经验有所差距，因此需同时给出相应可信度，如表3～1所示。如a 11={(0.8,0.5),(0.6,0.7),(0.6,0.8)}表示对于产品质量属性，专家小组一共给出3种不同的观点，也就是说供应商A 1满足属性产品质量的程度分别有0.5，0.7，0.8三种。隶属度的可信度用a 11中的二元组第一个分量表示，意味着决策者给出的对该领域的熟悉程度(专业程度)，分别是0.8，0.6，0.6。
步骤1 我们采用犹豫模糊决策矩阵的方式表达专家提供的所有评估数据，给出具有可信度的犹豫模糊决策矩阵如表1所示。
表1 犹豫模糊决策矩阵
步骤2 利用RCIHFOWG算子得到各个供应商的各属性信息的个体综合表现值，具体情况如表2。
步骤3 根据给出的属性权重信息利用犹豫模糊加权几何(HFWG)算子对供应商u i 的每个属性信息c j (j =1,2,…,n )进行计算，求得供应商U i 的群体综合表现值：
HFWG (u 1)=0.656,HFWG (u 2)=0.654,
HFWG (u 3)=0.712,HFWG (u 4)=0.708
表2 各个供应商的各个属性信息的个体综合表现值
步骤4 通过运用犹豫模糊数的比较规则，将各方案u i (i =1,2,…,m )按照大小关系进行排序:HFWG (u 3)>HFWG (u 4)>HFWG (u 1)>HFWG (u 2),即方案排序为u 3≻u 4≻u 1≻u 2。
脑动静脉畸形多见于皮质和白质交界处，呈锥形，基底部面向脑皮质，尖端指向白质深部或直达侧脑室壁；有1支或多支增粗的供血动脉，引流静脉多扩张、扭曲、含鲜红的动脉血；畸形血管团之间杂有变性的脑组织，邻近脑实质常有脑萎缩，甚至缺血性坏死[10-12]。既往研究报道，在脑动静脉畸形的治疗中，可用可脱性球囊或α-氰基丙烯酸异丁醋栓塞血管，但存在操作难度大、不利于控制出血、对人体有一定的毒性等缺点[13-15]。
从结果可以看出，M 公司应选择方案，即M 公司应该选择供应商A 3作为最佳合作伙伴。
4 结论
在现实世界中，随机性与模糊性信息往往与客观现象如影随形，导致人们对事物的认识总是不完整、不精确的。如何有效处理包含犹豫模糊信息的多属性决策问题已成为国内外学者们的研究热点。本文主要针对犹豫模糊多属性决策问题进行理论及其应用研究，在现有理论研究的基础上，引入专家可信度的思想，构建一种考虑可信度的犹豫模糊集成算子。该算子考虑到专家对决策问题的熟悉程度或专业水平，能够帮助决策者做出更加科学的选择。最后，本文将该决策方法应用在供应商选择的实际问题，验证该方法的有效性。该研究不仅充实了犹豫模糊信息集成理论，而且可以为实际多属性决策问题提供理论依据和方法指导。
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Study on the Method of Hesitant Fuzzy Multi -attribute Decision Making Considering the Reliability
CUI Chun-sheng, ZHU Xiang-lin, REN Ya-dan, ZHU Xiao-meng
(1.College of Computer and Information Engineering ,Henan University of Economics and Law ,Zhengzhou 450046,China ; 2.School of Management ,Northwestern Polytechnical University ,Xi ’an 710129,China ; 3.Engineering School ,Zhengzhou Technology and Business University ,Zhengzhou 451400,China )
Abstract :In order to further study the multi-attribute decision making problem in the hesitant fuzzy environment and improve the scientificity and accuracy of decision-making, this paper fully considers the influence of the difference of membership function on the decision results based on the existing research results. Using the idea of expert credibility, the comparative study of the hesitating fuzzy information is realized by converting a set of values into a single value, and a hesitant fuzzy multi-attribute decision making method considering reliability is proposed. Finally, this paper takes the selection of auto parts suppliers as an example to demonstrate the availability of this method.
Key words : hesitation fuzzy set; multi-attribute decision making; credibility; integration operator
中图分类号： C934
文章标识码： A
文章编号： 1007-3221(2019)06- 0019- 06
doi: 10.12005/orms.2019.0123
收稿日期： 2018- 06-12
基金项目： 2017年度教育部人文社会科学研究规划基金项目(17YJA630010)；2018河南省科技厅科技攻关项目(182102310967)；河南省高等学校重点科研项目(18A120007)
作者简介： 崔春生(1974-)，男，河南南阳，教授，博士，研究方向：决策理论与方法、电子商务推荐系统；朱向琳(通讯作者)(1993-)，女，河南开封，博士研究生，研究方向：决策理论与方法；任亚丹(1992-)，女，河南洛阳，讲师，硕士，研究方向：金融工程与风险管理；祝晓梦(1992-)，女，河南濮阳，硕士，研究方向：金融工程与风险管理。
标签：犹豫模糊集论文; 多属性决策论文; 集成算子论文; 可信度论文; 河南财经政法大学计算机与信息工程学院论文; 西北工业大学管理学院论文; 郑州工商学院工学院论文;