山东省滨州市滨城区第二中学 256600
考点一：利用导数研究函数性质
例1：已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2） x，其中a<0。
（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间。
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值。
解：（1）由题意可知，f`（x）= ，
当a=-4时，由f`（x）=＝0，解得x= 或2，
由f`（x）＞0，得x∈（0, ）或x∈（2, ＋∞），
故f（x）的单调递增区间为（0, ）和x∈（2, +∞）。
（2）f`（x）= ，a<0，
由f`（x）=0，解得x=- 或- ，
令f`（x）＞0，得0<x<- 或x>- ；
令f`（x）<0，得- <x<- ，
由题可知f（x）=（2x+a）2 x≥0，且f（- ）=0。
①当- ≤1，即-2≤a<0时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1），由f（1）=4+4a+a2=8，得a=±2 2-2，均不符合题意。
②当1<- ≤4，即-8≤a<-2时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（- ）=0，不合题意。
③当- ＞4，即a<-8时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1）或f（4），而f（1）≠8，由f（4）=2（64+16a+a2）=8，得a=-10或a=-6（舍去），当a=-10时，f（x）在[1，4]上单调递减，其最小值为f（4）=8，符合题意。
综上所述，a=-10。
【规律总结】利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值。
含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合函数图像的性质进行分析。
考点二：利用导数研究函数零点问题
例2：已知函数f（x）= -alnx（a∈R）。
（1）若h（x）=f（x）-2x，当a=-3时，求h（x）的单调递减区间。
（2）若函数f（x）有唯一零点，求实数a的取值范围。
解：（1）h（x）的定义域为（0, +∞），
当a=-3时，h（x）= +3lnx-2x，h`（x）=- + -2=- ，
令h`（x）<0，得0<x< 或x＞1，
所以h（x）的单调递减区间为（0, ）和（1,+∞）。
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（2）问题等价于方程alnx= 有唯一的实根，
显然a≠0，则关于x的方程xlnx= 有唯一的实根，
构造函数ψ（x）=xlnx，则ψ`（x）=1+lnx，
令ψ`（x）=0，得x= ，
当0<x< 时，ψ`（x）<0，
当x＞ 时，ψ`（x）＞0，
所以ψ（x）的极小值为ψ（ ）=- ，
则要使方程xlnx= 有唯一的实根，只需直线y= 与曲线y=ψ（x）有唯一的交点，则 =- 或 ＞0，解得a=-e或a＞0。
故实数a的取值范围是{-e}∪（0,+∞）。
【规律总结】函数零点问题一般利用函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一。
考点三：利用导数研究不等式问题
例3：已知函数f（x）=-ax（a＞0）。
（1）若函数f（x）在（1,+∞）上是减函数，求实数a的最小值。
（2）若x1,x2∈[e,e2]，使f（x1）≤f`（x2）+a成立，求当a≥ 时，实数a的取值范围。
解：（1）因为f（x）在（1,+∞）上为减函数，所以f`（x2）= -a≤0在（1, +∞）上恒成立。
所以当x∈（1,+∞）时，f`（x）max≤0，
又f`（x）= -a=-（- ）2+ -a，
故当= ，即x=e2时，f`（x）max= -a，
所以 -a≤0，故a≥ ，所以实数a的最小值是 。
（2）“若x1,x2∈[e,e2]，使f（x1）≤f`（x2）+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时，使f（x）min≤f`（x）max+a”，
由（1）知，当x∈[e,e2]时，f`（x）min= -a，
故问题转化为“当x∈[e,e2]时，使f（x）min≤ ”，
当a≥ 时，f`（x）max≤0，
所以f（x）在[e,e2]上为减函数，
则f（x）min=f（e2）= -ae2≤ ，解得a≥ - ，
又因为 - ＞ ，
故实数a的取值范围是a≥ - 。
【规律总结】求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解。
论文作者:焦成刚
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年10月总第314期
论文发表时间:2019/8/20
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