试论数学对理性的反判，本文主要内容关键词为：试论论文,理性论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
无疑，数学在人们心中一直是人类理性的最高代表，逻辑性、形式化、确定性、可靠性是数学最鲜明的特征，似乎一切非理性的东西都与数学毫不相干。然而事实并非如此，数学、尤其是现代数学，它不仅是逻辑的也是直觉的，不仅是必然的也是自由的，不仅是共性的也是个性的，即不仅是理性的也是非理性的。这一点我们可以从现代数学对理性的不断深化的反判过程中得到验证。
反判1:人类悟性的自由创造物
按经典的说法，数学起源于对现实世界的抽象，如认为数的概念起源于计数以及对物体的测量。然而这种说法只能在某种意义上适应近代以前的数学，事实上，数学发展到一定程度便脱离了现实世界，成为纯逻辑、纯思维的产物。尤其是19世纪之后的数学，更是从对人类直接经验的抽象转变为人类悟性的自由创造。非欧几何的产生就是一个最好的例证。不过，在数学中，作为人类悟性的第一自由创造物还是早在16世纪中叶就产生了，它就是人们现在所熟知的复数或虚数。虚数的产生就不是由于计数或测量的原因，而是因为数学自身发展的需要而产生的。具体说就是为了能使公式求三次和四次方程的根，在这个过程中必须引进一种新的数使负数的开平方运算能够进行，就这样人们引入了虚数
。当时的数学家被迫地使用着这个数，因为它不是从现实世界中得来的，故被称为“虚数”，意即“虚幻的数”、“想象中的数”，而非“现实的数”。许多数学家对它都抱着否定的态度。只是到了18世纪下半叶，由于数学家高斯找到了复数的几何表示，即用复数表示平面上的点，虚数得到了具体的几何解释，并随后在物理、电学、工程等多方面得到广泛的应用，复数才最后被人们承认并巩固下来。如果说复数在当时还只是一个偶然的人类悟性的自由创造物，还不足引起人们对整个数学的怀疑和重新认识，那么19世纪之后，更深刻更频繁地出现的这类人类悟性的自由创造物则不可避免地改变着人们对数学的经典认识。
非欧几何是人类悟性的自由创造物的典型代表。大家知道，几何过去一直被人们看作是对现实空间的一种抽象，欧氏几何被看作是关于现实空间绝对的、唯一的几何，并被康德抽象为一种哲学的空间观。然而由于对平行公理的反思却产生了与欧氏几何相背的非欧几何。需要强调的是，非欧几何既不是直接通过对现实世界的抽象而产生的，也不是纯粹逻辑推演的结果，它是经过解放思想、跨过欧氏几何思想的障碍和克服康德哲学空间观的产物，是人类悟性的自由创造物。人们终于发现，任意给出一组相对完备的公理，就可以创造一种几何，而完全不必考虑这种几何是否是对现实空间的抽象，是不是能够解释现实空间。人类悟性的自由创造在这方面有着一个广阔的天地，可以任凭人们去想象、去创造。而且非常庆幸的也是不可思议的是人类悟性的这种自由创造物最终又能在物理等自然科学中得到成功的应用。非欧几何与爱因斯坦相对论的结合就是一个最漂亮的印证。
哈密尔顿的四元数也是人类悟性自由创造物的典型代表。自从高斯等提供了复数的几何表示之后，人们便认识到复数能用来表示平面上的向量和研究向量。哈密尔顿首先作为一名物理学家还知道力不一定是平面向量，更可能是三维向量，他猜测是不是有一种三维（乃至几维）的超复数呢？对此他至少苦思了15年之久，最后他发现必须放弃三元的超复数设想，而考虑一个包含四个分量的四元数，并且同时还必须牺牲乘法的交换律。要知道，乘法的交换律在当时是天经地义不可怀疑的。因此，四元数对交换律的放弃无疑是代数学中的一场巨大革命。不过这场革命的重大意义不仅在于打破了乘法必须适合交换律这个经典认识，更重要地在于它促进了量子物理的产生。乘法之不可交换性是量子物理的一块基古，如在数学上刻划著名的“测不准关系”时用的正是表征某些物理量的算子的“乘法”之“不可交换性”。同样，四元数的产生既不是对现实世界的抽象，也不是纯粹逻辑的结果，它也是人类悟性的自由创造物。正如哈密尔顿后来所陈述的：“1843年10月6日，当我和夫人步行去都柏林途中来到勃洛翰桥的时候，它就来到了人世间，或者说出生了，发育成熟了。这就是说，此时此地我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i、j、k之间的基本方程，恰恰就是我此后使用它们的那个样子”。①
由上可见，数学的创造与发展摆脱了现实经验和逻辑推演的束缚，人类的创造力得到了充分的解放，人的主体性或主观能动性在数学创造中得到了前所未有的发挥，人类自由的悟性起到了比理性思维更有效的作用。理性遭到了最富理性色彩的数学的反判。
反判Ⅱ：有效算法与数学确定性的丧失
一切数学问题原则上都是可计算的（不论是有解还是无解）、可判定的（不论是肯定还是否定），即可解的，这是人们曾经普遍具有的信念。然而哥德尔1931年不完备性定理的证明，却使这一美好的信念成为一种乌托邦。哥德尔证明了一个无矛盾的形式系统必是不完备的，并且此系统的无矛盾性本身就是不可判定的。这一定理的证明揭示了人类理性思维最深层次的局限性，毁灭了希尔伯特形式主义方案，宣告了不可能存在一种能决定数学中某个任意命题的真假的算法。要知道，如果对希尔伯特的判定问题作出的是肯定的回答，那么全部数学问题都可归结为机械计算。不过哥德尔的工作对于另一个问题尚未解决，即是否存在一种算法，数学中所有可证明的命题可借此算法由一套逻辑公理加以证明。对此，美国数学家丘奇证明了，如果存在某个函数可用λ演算表示，但不能计算其函数值，那么就不存在一种算法来决定某个数学命题是否可加以证明，更不用说决定其是否为真了。
与此同时，另一位美国数学家图灵也抓住了希尔伯特判定问题与可计算函数的联系。他构造了一个计算过程的简单而又精确的模型──图灵机，该机是数学推理、计算方法的具体实现，是一种理论上的计算机，只要有足够的时间，图灵机便能完成任何现代数字计算机所能完成的任何计算。由于每个计算机程序和图灵机的每个可能的指令表可以编码成一个有限的符号串，所以，所有图灵机和利用图灵机可计算的函数均可按数字次序列出，并与整数一一对应。这就是说，所有可能的可计算函数共有可数无穷多个。但是，全体函数的集合却不是可数无穷的，而是不可数无穷的。这就意味着并非所有的函数都是可计算的，而且不可计算的函数比可计算的函数要多得多，等等。这些使人们第一次认识到，数学中存在一些问题是找不到有效算法的。过去人们总是一厢情愿地认为，任何一个确定的数学问题，总是可以通过有限步骤来判定它是对还是错，是有解还是无解。然而现在这一梦想彻底破灭了。这便等于宣告了对于一个形式的数学系统，企求它提供一个能判定数学中命题的真假的算法是无望的，或者说，企求它提供一种求解数学中问题的算法是不可能的。也就是说，当我们费尽心思地去判定一个数学命题时，我们不知道是不是在判定一个不可判定的命题，当我们绞尽脑汁地去求解一个数学问题时，我们不知道是不是在求解一个不可解的问题。我们想要知道的东西已经包包含了某些超越我们的智力所能把握的困难。数学在此表现出对算法的超越与反判，对于一类具体的数学命题或问题，我们失去了有效的方法来判写它是对还是错，是有解还是无解，我们束手无策。理性的、逻辑的思维方式不再是解决问题最有效的方法──这是数学对理性认识方式的强有力反判。
数学一向是以其高度的确定性而自居的，然而其中却还存在着不可消除的随机性。美国数学家柴丁曾考虑过这样一个问题：任意一台计算机在其程序为完全随机地选定时是否将停止运行。他用Ω表示一个完全随机的程序的停机概率，显然Ω为0与1之间的任意实数。由于Ω是实数，因此它只能以一个无穷数学序列的形式──一串二进制的无穷尽的0与1──完全表示出来。Ω最大的性质就在于它是算法随机的，因为它不能被压缩为一个比它自身更短的程序（绝大多数实数事实上都是随机的）。另外，一个真正的程序设计语言都是自定界的──即输入程序的总长（以位为单位）必须在程序自身内给出──因为它包含有使程序开始和终止的结构。由于自定界程序是通过自定界的子程序并置与嵌套构成的，因此只有当最后一个开型子程序被闭合时，一个程序才是结构完整的。如果程序不是自定界的，则它们就不能由子程序构成，所有程序的停机概念之和就将为一个无穷大数。如果我们只考虑自定界程序，则不但可将Ω限制在0与1这个范围内，而且可以明确地计算出Ω的值（具体计算Ω值的方法与本文主题无关，故不介绍），这样，柴丁便解决了停机问题。需要强调的是，通过计算Ω我们得到的只是一个完全随机的程序的停机概率，我们并不能确切知道任一程序是否会停机，这完全是随机的，不确定的。
进一步，停机问题又被转化为有关特殊的丢番图方程是否有解的问题。这一簇特殊的丢番图方程是根据一个基本方程──kx[2]=2k[2]y──构造出来的，变量k为方程的参数，其取值为1,2,3……即方程簇：x[2]=2y、2x[2]=8y、3x[2]=18y、4x[2]=32y……每个方程对应于一个k值。现已证明，参数k的丢番图方程无解等价于第k个计算机程序永远不停机。相反，如果第k个程序停机，则相应的丢番图方程就恰有一解。但是，从前面我们已经知道，这一类陈述──第k个程序停机──的真伪在数学上是不确定的，它随k的取值不同而变化，且其变化的情况是不可预测的。进而参数为k的丢番图方程有无整数解在数学上也是确定的，其解也是随k的取值不同而变，并且其变化的情况也是不可预测的。另外，柴丁还证明了数学家在确定一个特定丢番图方程是有有限多解还是无限多解时，只能象赌徒抛硬币那样完全靠碰运气，即证明了人们不可能证明丢番图方程中的每一个方程的解的个数为有穷还是无穷，这个问题的答案是随机地变化的，因此不能用数学推理来证明。
由上可知，数学的确定性丧失了，这是数学对理性主义之基础的反判，这种反判无疑是最根本的。它改变了充满决定论色彩的数学整体图景，为数学增添了随机性、非逻辑性、不可判定、不可计算等新的画笔。同时还对传统的解决问题和判定命题的方法提出了严峻的挑战，传统有效算法的丧失，迫使人们不得不重新寻找新的数学法则，如直觉的、几何的法则。等等这些无不反映出数学对传统公理演绎系统及方法的背离。
反判Ⅲ：数学基础上的裂缝
对数学基础的寻求，实际是上在非欧几何出现之后的事了，以前人们从未怀疑过数学的可靠性或真理性，只是因为非欧几何如此地为常识所不容，才真正激起了人们对于数学可靠性的重视。庞加莱最先在欧氏半平面上构造了非欧几何的模型，从而把非欧几何的可靠性建立在欧氏几何之上了。后来，人们又通过解析几何把欧氏几何的可靠性建立到实数系统上了，而戴德金又把实数定义为有理数的分划，从而整个数学的可靠性又被建立在自然数系统上了。由于弗雷格、戴德金的自然数概念是通过集合这一更基本的概念定义的，因此整个数学的可靠性最终还是被归结到集合论上了。集合论的可靠性曾得到绝大多数数学家的信任，无怪数学家庞加莱在1900年的国际数学会议上宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了”。然而事隔不久，1902年罗素悖论的发现，犹如一颗重磅炸弹，使数学家们目瞪口呆。人们是几乎没有任何辩驳余地的接受了这一事实：集合论是自相矛盾的，是不可靠的。号称天衣无缝、绝对正确的数学居然会出现自相矛盾，整个数学大厦的基础倾刻间出现了裂缝。于是一场消除逻辑悖论重建数学基础的大战开始了。
罗素悖论的发现者罗素提出了他的逻辑主义主张，宗旨是把数学基础建立在逻辑之上，因为逻辑的可靠性被认为是勿庸置疑的。具体说就是用逻辑的概念来定义数学的概念，用逻辑的命题推出数学的定理，即全部数学均从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来。然而这一宏伟计划却从来没有实现过，因为要推出全部数学，逻辑主义者不得不再追加无穷公理和选择公理这两条非逻辑公理──这与他们的宗旨是相违背的。另外，罗素还不能排除集合论中的悖论，这也是他无法实现逻辑主义宗旨的重要原因。但是直到晚年他才承认：“我总是希望在数学中寻找非常令人满意的可靠性，然而，这种可靠性却消失在迷宫中。”②
形式主义学派的代表希尔伯特则是希望把全部数学表述为一种形式公理系统，并证明这一系统的无矛盾性。然而哥德尔不完备性定理的证明，却宣告希尔伯特形式主义计划的失败。因为哥德尔不完备性定理的实质是：如果一个公理系统复杂到一定程度，那么这个公理系统的无矛盾性在本系统内是无法证明的。形式公理系统的可靠性同样无法得到保障。
以布劳维尔为代表的直觉主义学派则另起炉灶，他们干脆否定整个传统数学，重新构造一门“构造性数学”。他们认为，数学与逻辑悖论的出现是根源于实无穷伦，因此必须抛弃它，而应当采取潜无穷论，他们是以从潜无穷论中引伸出来的自然数论作为整个数学理论的基础。另外，他们还否定了排中律在数学中的普遍有效性，认为排中律是从有穷数学中抽象出来的，而人们却毫无根据地把它们应用到无穷集的数学上去了。基于上述原因，直觉主义学派认为，数学必须是可构造的。数学构造的内核是程序化和能行性。他们只承认能具体给出的数学对象，和能给出数学对象的算法。如此严格的限制，使得传统数学中很大一部分合理的内容被抛弃了。因此，人们普遍认为，直觉主义学派也没能解决数学的基础问题。靠抛弃大部分数学来为少数数学建立基础，很难说是一条可取之道。不过直觉主义数学毕竟是与传统数学不同的一门崭新的构造性数学，它深刻地反映了数学对象的构造性一面，其重要性在计算机学科中得到了充分的表现。可以说，它是对传统的非构造性数学重要的、不可缺少的补充。事实上，直觉主义学派已经成功地把微积分、极限理论拯救出来了，还重新构造了代数和几何的初等部分，对高等代数与几何也有了许多重要的阶段性成果。
集合论公理化学派策梅罗认为，产生悖论的原因是因为对康托集合论没有作必要的限制，存在“一切集合构成的集合”这种巨大的集合，另外，康托的集合概念也过于模糊。所以策梅罗提出要对集合论进行公理化。事实证明，经过他公理化的集合论对于传统数学是足够的，并且避免了已知的悖论。后来又经弗伦克尔的改进，便形成了目前世所公认的集合论公理系统，简称ZF系统。至今ZF系统中还未出现悖论。但是，ZF系统的无矛盾性如今还没有得到证明，谁也不能保证悖论不在哪一天突然冒出来。另外ZF系统还采用了颇有争议的选择公理，构成了今天大家熟知的ZFC系统，这是建立标准分析、拓朴和抽象代数等所必需的。现已知道，选择公理与ZF系统是独立的，即在ZF系统中既不能证明它为假，也不能证明它为真。由于选择公理的重要性，现今世界上大多数数学家还是承认了它，但却因此导致了分球坚论──一个球可以变成两个与原来等体积的球，分裂几次就能变成2[a]个与原来一样大小的球，这显然违反常识。虽然人们选择了ZFC系统，但矛盾并不因此而消失。也有人建立了一套不承认选择公理的集合论，但同样也从中导出了一些怪定理，如一个空间会有两个维数等。可见，无论是承认还是不承认选择公理，矛盾都是存在的。ZF系统是不完备的。
综合上述，数学大厦基础上的裂缝依然是存在的，而这种裂缝的存在无不是对绝对可靠的数学的嘲笑，和对人类理性的伟大的讽刺。首先，逻辑主义因不得不追加两个非逻辑公理而导致的失败，足以表明了数学与逻辑在质上的差异，表明了数学对逻辑的超越与反判。说明了数学不是一门纯形式的逻辑演绎科学，在数学的发展中，必须有想象的直觉来提供新的概念和假设，这不是逻辑与理性所能胜任的。
其次，形式主义的失败则进一步说明，数学不是没内容只有形式的，数学的抽象形式的表现力是有限度的，数学的发展绝不能自封于抽象的形式框架里，数学的可靠性也不存在于形式系统的严格证明里。数学体系超越于一切纯形式的框架，数学的可靠性超越于纯理性的证明。再次，直觉主义的失败则从构造性这一角度表明了数学并非总是可程序化的，不是机械能行的。最后ZFC系统的不完备，则现实地表明，如今被大部分数学家接受的数学基础并非是可靠的。尽管现实的人们一如既往地信任数学、运用数学，数学家们依然在为数学大厦添砖加瓦，但谁也无法保证，数学这纯理性的大厦不会在哪一天会突然倾倒。
结束语：对反判的评判
数学以其不断增长的复杂性、非逻辑性、非构造性、和不确定性、不可靠性，使得越来越多的人放弃了数学是人类理性主义的代表这一信念，认识到建立一个确实可靠、唯一正确的数学体系是不现实的。数学表现出对理性最深刻的反判：不是一门数学，而是许多数学；不是必然逻辑的、可构造的，而是自由悟性的、非构造的；不是公理只能被肯定，与常识相符合，而是公理也能被否定、与常识相违背；不是方法总是存在的并且是有效的，而是方法可能无效甚至根本不存在。无怪数学家外尔说：数学“完全是具有基本创造力的人类的一种创造活动，人类历史的判决蔑视完全客观的理性化”。③可以说，数学对理性的反判，首先从人的思维角度反映了人类思维的复杂性，暴露了以逻辑性与可靠性为基本特征的理性思维方式的局限性，表明了直觉与悟性在科学发明、发现中的具大作用。其次从知识体系的角度也反映了作为人类精神产品的数学理论（乃至其它理论）的复杂性，暴露了以逻辑化和形式化，精确性与可靠性为特征的数学理论的局限性，表明了数学理论高度的自主性。最后，从数学创造的角度表明了数学创造是一个首先为发明，其次为发现的过程，即数学的基本概念，基本公设和基本公理是发明的，亦即数学基本对象的道理具有相当的任意性和属人性（不受经验和逻辑的制约），但当数学基本概念等一旦创造出来以后，它们就是自主的了，它们的属性及相互关系就逻辑地确定起来了，不再以人的意志为转移。对此，人们只能去发现它，而不是发明它。
最后需要明确一点的是，所谓数学对理性的反判，并不是指数学要抛弃理性的一面，它只是对片面地认为数学是人类理性最高代表的一种反判。活生生的主体不是理性与非理性的有机统一体，数学作为人类精神本质力量的创造物，无疑具有主体的特征，具有理性与非理性的双重性质。纯粹理性的即纯粹逻辑的形式化的数学是片面的、僵死的，是无法再发展的，只有对这种纯理性的数学有所超越和反判时，数学才能获得新生、才能蓬勃发展。这是数学发展史一再证明了的事实。因此，我们最后的结论是：数学对理性的反判是一种进步，是一种走向自由、多元和更富有生机的进步。
注释：
①M·克莱因《古今数学思想》（第三册）上海科学技术出版社1981年版P177.
②引自《自然科学哲学问题丛刊》1980年第2期《经验主义在最近数学哲学中的复兴》。
③引自《自然科学哲学问题丛刊》1987年第3期《数学确定性的丧失（导言）》。
④齐民友，《数学与文化》，湖南教育出版社1991年5月版。
⑤G·J·Chcutin《算术中的随机性》《科学》（中文版）1988年第11期。
⑥徐利治《数学方法论选讲》华中工学院出版社1983年4月版。