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一、“至少有一……”的概率问题与对立事件的关系
例1 有10个用均匀材料做成的各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，将它们每次同时抛出，共抛5次。则朝上的面至少有一次全部都是同一数字的概率是( )。
附图
例2 某仪表内装有m个相同的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作。如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是p，计算在这段时间内仪表不能工作的概率。
分析 本题的关键是“任一个电子元件损坏，仪表就不能工作”，即“所有电子元件正常工作，才能保证仪表正常工作”，这样就可以转化为对立事件来考虑。
解 由题意可知，一个电子元件在某段时间内能工作的概率为1-p，
那么m个电子元件在某段时间内都能工作的概率为
，
于是在这段时间内仪表不能工作的概率为1 
。
二、n次独立重复试验中事件A发生k次与事件A第k次才发生及事件A第k次发生的关系
例3 某射手射击一次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响。有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是
；
③他至少击中目标1次的概率是
。
其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）。
解 这是独立重复试验的概率问题。
第3次击中目标与第1、2次是否击中目标没有关系，∴①正确；
恰好击中3次的概率应是
，∴②错误；
“至少击中目标1次”可由其对立事件求得其概率为，∴③正确。
注 解答此题时还须注意不要与“第3次才击中目标”相混淆，“第3次才击中目标”表明第1次和第2次都未击中目标，其概率为
。这种情况与第3次击中目标及恰好击中目标3次都是有区别的。
三、两个相互独立事件同时发生的概率问题与对立事件的关系
例4 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
。
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。
解 （Ⅰ）设A、B、C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件。
附图
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为
。
注 我们知道，如果A与B是独立事件，那么A与
都是独立事件，本题正是利用这些关系进行适当转化，使问题得到圆满解决。
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