高中立体几何课程设计的国际比较--基于13个国家高中数学课程标准的研究_课程标准论文

高中立体几何课程设置的国际比较——基于13个国家高中数学课程标准的研究，本文主要内容关键词为：立体几何论文,课程标准论文,课程设置论文,高中数学论文,高中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      从我国近三十年来数学课程的发展来看，几何内容及其结构体系一直是争论的热点.在20世纪80年代，受前苏联教育思想的影响，我国高中立体几何课程重在强调公理化思想，具有很强的系统性.[1]20世纪末，特别是受“为了大众的数学”理论的影响，认为中学数学偏深、偏难，不易于学生接受，并对高中立体几何教学内容进行较大的调整.1996年《全日制普通高级中学数学教学大纲》对立体几何实行了A、B两个方案，其中方案B比方案A增加了一些有关空间向量的内容，使得立体几何在几何代数化的道路上做出了切实的改变.[2]2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中，立体几何内容分别被安排在必修2和选修系列2中.必修2中的“立体几何初步”删减了空间角度和距离的计算、三垂线定理以及逆定理，而这些都安排在选修系列2中用向量方法解决，这给高中数学课程内容带来了很大的变动[3]，也引发了针对空间向量在立体几何中的运用的激烈讨论.[4]

      纵观国际上的数学课程改革，几何课程也都是首当其冲的，特别是各国在设置立体几何课程时的理念也存在很大差异.数学课程标准（以下简称课标）是规定课程性质、目标和内容的指导性文件.通过对世界范围内的有代表性的课程标准进行比较，可以进一步拓展视野，为深入探讨、研究、解决我国立体几何课程中存在的争议提供一定参考和借鉴，这也是更好地研制本国的数学课标、进行数学课程改革的基本方法之一.

      二、研究设计

      （一）研究问题

      本文将以多个发达国家或数学教育比较优秀的国家（地区）的高中数学课标为依据，主要分析和研究以下几个问题：各国课标中立体几何的广度如何？核心知识主题有哪些？在各主题上的知识分布和比重如何？在处理空间位置关系时所采用的方式是什么，以及存在哪些异同？

      （二）国家的选取

      为了更好地展示数学课程标准的共性与特点，参考已有的相关研究设计[5，6]，本文选择了来自不同的洲、拥有不同的文化背景、经济发达程度也不尽相同的13个国家的高中数学课程标准进行比较，具体是：中国、日本、韩国、新加坡、印度（亚洲）；英国、法国、德国、俄罗斯、芬兰（欧洲）；美国（美洲）；南非（非洲）；澳大利亚（大洋洲）（以下分析中除开排名问题，其余都按此顺序进行说明）.选择时也考虑到了在国际学生评估项目（Programme for International Student Assessment，简称PISA）、国际数学和科学评测趋势（The Trends in International Mathematics and Science Study，简称TIMSS）等国际比较项目中成绩较好的国家.研究中各个国家的课程标准文本主要来源于曹一鸣、代钦、王光明主编的《十三国数学课程标准评介（高中卷）》等文献资料[7，8，9].文献中课标的具体内容标准为本文在统计知识点时提供了主要依据.

      对于选修课程选取的原则是：着重分析各国课标中高中生升入大学时必须要求的内容，并偏向理科.例如，我国课标中的选修部分选取了涉及几何内容的选修2-1和选修4-1，原因是首先这两个专题涉及高校选拔考试的内容，其次选修2-1是针对理工等方面发展的学生.

      （三）课标版本的选取（见表1）

      

      （四）研究方法

      课程的广度反映了课程内容涉及的范围和领域的广泛程度，一方面，本文选取知识点数量来刻画广度.既然是根据知识点数量进行统计，知识点就有大有小.如果以最大的知识点统计是没有意义的，中间层次的知识点又没有统一的描述，因此在统计时要保证知识点尽量小.另外，在课程标准中重复出现的知识点就不再纳入计算.另一方面，为了保证比较研究的统一性，本文采用构造“立体几何”知识点框架的方式来统计各国课标中的立体几何知识点.框架的设计遵循以下几个步骤：

      （1）划分知识主题.在我国高中课标中，立体几何知识主要集中两个方面，一是对空间几何体的研究，例如一些空间几何体的结构特征，计算其表面积和体积等，二是空间中线线、线面和面面之间的平行或垂直关系.纵观其他国家课标中的立体几何，还涉及平面、球面和球的方程等知识.因此，根据各国课标中立体几何知识的主要构成，本文将高中阶段的立体几何分为“空间几何体”“空间位置关系”及“空间图形的方程”三大知识主题.

      （2）形成知识点框架.利用我国课标在详尽程度和清晰程度上的优势，依据我国课标对几何内容的要求，罗列出各部分的知识点，形成一个初步的框架.依次对其他十二个国家课标中的几何内容进行知识点细分，每一次细分后都与初步框架进行对比，若出现同样的知识点则直接引用，若出现我国课标中没有的知识点，则重新对两个课标内容进行比对，进一步对知识点进行调整、归纳和添加，逐步形成完善的知识点框架.

      三、研究内容

      （一）立体几何总广度的比较

      从下页图1可以看出，13国课标按立体几何的广度排名，从大到小依次是俄罗斯、中国、韩国、德国、芬兰、法国、英国、印度、新加坡、美国、澳大利亚、南非和日本.从整体上来看，大部分国家在立体几何上的知识点都较少，尤其像美国、澳大利亚、南非和日本四个国家的课标，在立体几何上都是点到为止.相反，俄罗斯、中国和韩国分别位居前三，同时俄罗斯的广度远超过我国的广度.

      

      下面分别从三个知识主题对各国课标的知识点分布进行比较.

      （二）“空间几何体”主题的知识点分布

      从具体知识点上来看，各国课标在“空间几何体”主题的知识点呈现大同小异的状况.表2统计了13个国家的课标在该部分的知识点分布.

      从表2中可以看出：（1）韩国、新加坡和印度三个国家不涉及该部分的知识点，在该部分广度最大的国家是英国和俄罗斯，美国、澳大利亚、南非和日本的广度较小，且该部分知识点构成了其课标中立体几何的主要知识点，中国、法国、德国和芬兰处于平均水平.（2）5个以上的课标都涉及的核心知识点主要有：空间几何体的结构特征、绘制空间几何体、空间几何体的表面积和体积的计算，并且这些知识点也出现在我国课标中.（3）存在一些只出现在某一个国家课标中的特殊知识点，例如法国课标中的空间几何软件的使用，美国课标中的祖暅原理和几何建模，俄罗斯课标中的欧拉公式.（4）但从我国课标来看，涉及所有的核心知识点，同时出现了“三视图与直观图”、“平行投影与中心投影”两个大部分国家没有的知识点，但也缺少一些知识点，如空间几何体的对称、相似等.

      （三）“空间位置关系”主题的知识点分布

      

      空间位置关系是立体几何部分的核心主题，纵观各课标中“空间位置关系”的知识点，可归纳为三个核心内容：空间位置关系的证明、空间角度的计算和空间距离的计算.在这13个国家的课标中，英国、美国、南非和澳大利亚没有“空间位置关系”的任何知识点，日本则只要求知道空间位置关系的定义即可，因此在本节的比较分析中不考虑这5个国家.其余8个国家的课标在该部分的知识分布和处理方式呈现很大的差异.表3统计了这8个课标在三个核心内容的涉及情况.

      从表3中可以看出：（1）新加坡、印度和俄罗斯三个国家的课标在三个核心内容上都有涉及.（2）我国涉及空间位置关系的证明和角度的计算，但未要求计算空间距离.（3）德国和芬兰都涉及计算角度和距离，但没有位置关系的证明.（4）韩国和法国则只要求证明位置关系，没有任何计算.

      事实上，各国课标在证明空间位置关系、计算空间角度和距离时所采用的方法也是有很大差异的.因此，空间位置关系的处理方式也是值得一探究竟的.

      （四）“空间位置关系”的处理方式

      我们知道，向量因其兼具“数”与“形”的特征而在高中数学中是起着衔接代数和几何的重要作用，成为解决许多问题的工具，最明显的体现就是运用在解决立体几何中的证明与计算上，也就是“空间位置关系”主题中的三个核心内容.事实上，“空间位置关系”主题中的证明和计算问题主要有两种处理方式：一是用传统的逻辑推理方式进行证明并进而计算，下面简称“综合法”；二是借助空间向量进行证明和计算，简称“向量法”.在上述8个国家的课标中，有的并存着两种处理方式，有的则只有其一，呈现出很大的差异.

      

      

      表4呈现了8个国家的课标中综合法和向量法的存在情况，从中可以得到：（1）既存在综合法也存在向量法的国家有中国和俄罗斯，但我国课标中综合法只运用在证明位置关系上，角度的计算完全用向量法解决，而俄罗斯除开不用向量法证明位置关系以外，其余两个核心内容都既存在综合法又存在向量法，是对综合法要求最高的国家.（2）韩国只存在用综合法证明位置关系，其余都不涉及.（3）新加坡、印度、法国、德国和芬兰五个国家都只存在向量法，既完全用向量的方法解决立体几何中的证明或计算问题，但也有区别，其中新加坡和印度在三个核心内容上都有要求，德国和芬兰只要求角度和距离的计算，法国则只要求位置关系的证明.

      加上5个不涉及该部分知识点的国家，依据该部分的处理方式，我们可以将13个国家分为四类.第一类是既存在综合法也存在向量法：中国、俄罗斯；第二类是只存在综合法：韩国；第三类是只存在向量法：新加坡、印度、法国、德国、芬兰；第四类是不存在该部分知识：澳大利亚、南非、美国、日本、英国.

      （五）“空间图形的方程”主题的知识点分布

      在“空间图形与方程”主题中，只有6个国家具有相关的知识，分别是韩国、新加坡、印度、法国、德国和俄罗斯，其余7个国家都没有该部分的相关知识.表5统计了这6个课标在该部分的知识点分布情况.

      从表5可以看出，13个国家中只有6个国家涉及该部分的知识，且这6个国家在该部分的知识点也是很少的，各国都涉及的知识点是用空间向量表示平面的方程，其余三个知识点都只有一到两个国家涉及.从这几点也说明，“空间图形的方程”主题并没有作为高中立体几何课程的核心内容.

      （六）各课标在三个知识主题的分布和比重比较

      从上面的分析可以看出，各国在三个主题上的知识分布呈现很大的差异，表6统计了13个课程标准中三个知识主题的广度以及占立体几何总广度的百分比.

      从表6可以得到以下结论：

      1.各国课标中比重最大的主题都集中在“空间几何体”或“空间位置关系”两个主题上，这也说明高中立体几何课程内容的重点是“空间几何体”或“空间位置关系”，“空间图形的方程”只是作为辅助.

      

      

      2.在三个主题上都有涉及的国家有三个：德国、法国和俄罗斯，其余只涉及一个或两个主题，我国高中立体几何课程不涉及“空间图形的方程”的知识点.

      3.立体几何总广度较小的英国、美国、南非和澳大利亚四个国家，其知识点都只集中在“空间几何体”上.这也表明，部分内容是高中立体几何课程的最基本的内容.

      四、主要结论与启示

      各国课标中立体几何的内容重点集中在“空间几何体”或“空间位置关系”上，“空间图形的方程”作为辅助.从立体几何的总广度上来看，俄罗斯、中国、韩国、德国广度较大，芬兰、法国、英国、印度和新加坡居中，美国、澳大利亚、南非和日本则只有很少关于空间几何体的知识.

      在空间位置关系的证明和空间角度、距离的计算上，大部分国家都淡化了大量的推理论证而更偏向几何的应用性，尤其像德国、法国、芬兰、新加坡和印度五个国家，其空间位置关系中的问题完全放在空间向量中来处理，且非常重视应用空间向量来解决相关问题.俄罗斯的课程对推理论证要求很高的国家，仍然保留三垂线定理、用综合法计算空间中的角度和距离这些偏重逻辑思维训练的知识点，对几何公理体系也有一定的要求.

      相比之下，我国课标在立体几何的设置上呈现两大特点.一是，知识点重点集中在“空间位置关系”上，不涉及“空间图形的方程”相关知识点.二是，空间位置关系的处理方式偏向几何的应用性，但在空间向量的应用上远不及韩国、德国和俄罗斯等国家的要求.我国的课程中除用向量解决空间位置关系的证明和角度计算以外，并没有其他体现空间向量应用性的知识，而韩国、德国和俄罗斯等国家则要求利用空间向量表示空间图形的方程.因此，我国课标中适当增加该部分的知识点，也许可以缓和这尴尬的现状.

      由于各国文化背景、教育理念等都有很大的差异，本文在研究的角度上也不尽完美，因此对13个国家的课标不能做到穷尽数学教育中的所涉及问题，只是从文本分析的角度，力求客观反映了各国课标中的一些具体情况，希望得到的这些数据和结论对我国课程标准的修订和完善能有所帮助.

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