“集合间的基本关系”观课思考与教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2014年9月4日～5日，六安市裕安区高中数学“教坛新星”评比活动中，参赛教师借班上课，课题之一是“集合间的基本关系”.笔者有幸作为评委观摩了7位青年教师关于本课题的课堂教学，并在课后与这7位教师以及参加上课的部分学生进行了交流访谈，现将自己对本节课的观课思考与教学设计概述如下，与同行交流. 一、“集合间的基本关系”观课思考 “集合间的基本关系”是在学习了“集合的含义与表示”之后，从相互联系的角度进一步研究集合，主要包括子集、真子集、相等集合等概念.从概念之间的关系来说，若将子集视为属概念，则真子集、相等集合都是它的种概念. 对于上述概念，参赛教师在教学中呈现的顺序是：子集（包含关系）一集合相等（互相包含关系）一真子集（真包含关系），这与现行教材中的呈现顺序是完全一致的.其中，为了引导学生顺利地抽象、概括出“子集”的本质属性，进而获得“子集”的定义，教师往往先给出几组具体的集合，每组两个集合之间都具有包含关系，例如： （1）A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3，4，5｝； （2）A=N，B=R； （3）A=｛x｜x是两条边相等的三角形｝，B=｛x｜x是等腰三角形｝； （4）A=｛-2，-3｝，B=｛x|
+5x+6=0｝； （5）A=｛x｜-1＜x＜1｝，B=｛x｜-2＜x＜3｝. 然后让学生思考：观察以上各组的两个集合，你能发现它们的元素之间具有什么关系吗？ 对于概念形成教学，让学生充分感知典型而丰富的具体事例是一个非常重要的环节，因此，这样的处理方式是无可厚非的.然而，课堂观察发现，不少学生很自然地将上述材料分成两类：材料（3）与（4）中，两个集合是相等的，因为它们的构成元素完全相同；材料（1）、（2）、（5）中，集合A中的每一个元素集合B都有，但集合B中有的元素集合A没有.应该说，学生的认识是合理、全面、正确的，却不是教师此刻想要的（课后对上课教师的访谈也验证了这一点）.于是，教师只好“生拉硬拽”地进行归纳提炼：“也就是说，它们的共同特征是：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，这时我们称这两个集合具有包含关系，把集合A叫做集合B的子集……”. 为什么学生的思维“偏离”了教师预设的轨道？笔者认为，主要原因在于概念的呈现顺序违背了学生的认知规律.教材的呈现顺序是“先一般后特殊”，而人们认识客观事物的普遍规律是“先特殊后一般”，在具体感知两个集合A、B之间的关系时，往往表现出一种思维的“双向性”，既关注集合A的元素与集合B的关系，也关注集合B的元素与集合A的关系，因此，更容易最先发现的是相对特殊的“集合相等”或“真子集”，而不是一般意义上的子集，这也得到了上课学生的普遍认可. 对于“集合相等”，学生之前已经有了认识（只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的）.本节课则是从“互相包含”的角度对其做了进一步的数学描述，体现出认识上的螺旋上升，因此，将“集合相等”的初始定义作为本节课的认知起点，更加符合学生的最近发展区.但是，调查得知，很多学生对用子集概念描述“集合相等”存有疑虑，即可以理解、接受，但不知道这样做的意义与价值；对于“空集是任何集合的子集”，学生在理解上也存在困难，觉得利用子集的定义难以将它解释清楚. 以上问题，都需要通过针对性的教学设计加以解决. 二、“集合间的基本关系”教学设计 那么，如何设计“集合间的基本关系”的教学呢？笔者认为，第一，应立足于学生已有的知识，在此基础上设置问题，激发认知冲突，使学生认识到学习新知的必要性；第二，调整概念呈现的原有顺序，以集合相等（元素完全相同）—真子集、集合相等（元素交叉属于）—子集—集合相等（集合互相包含）—不包含关系的次序展开教学；第三，将空集的概念渗透在具体的问题中进行教学，并利用子集定义的等价转化引导学生领会“空集是任何集合的子集”这一规定的合理性.现将教学设计的主要环节呈现如下. 环节1：设置问题情境，唤起认知需求. 课堂引言：我们知道，任何事物都是普遍联系的，对于一类数学对象，除了要把握其自身的特点，还要关注对象与对象之间的相互联系.因此，在学习了集合的含义与表示之后，这节课，我们就来共同研究集合间的基本关系.（板书课题） 引例1：已知A=｛1，2｝，B=｛x｜
-3x+2=0｝，你能发现这两个集合有什么关系吗？ 学生回答，教师追问其判断依据.不难得出：集合A、B是相等的，因为它们都是由1和2这两个元素构成的. 引例2：已知A=｛x｜x=4m+1，m∈Z｝，B=｛x｜x=4n-3，n∈Z｝，你能发现这两个集合有什么关系吗？请证明你的结论. 学生思考回答，教师适时评价.若有学生通过取m、n的具体值写出集合A、B的部分元素，进而猜想它们也是相等的，教师则指出：对于无限集，元素是列举不完的，仅从列举出来的这部分元素相同就断定所有的元素都相同，这是“以偏概全”，显然不可靠，也不严谨，因此，我们需要寻找新的方法去刻画两个集合的关系；若有学生想到用“交叉属于”的方法判定集合A与B相等，教师则予以充分肯定：这个想法非常有价值，它告诉我们，可以通过研究其中一个集合的元素是否属于另一个集合，来判断两个集合之间的关系. 环节2：感知抽象概括，揭示概念本质. 问题1：观察下面几个例子，你能发现每组两个集合之间的关系有什么共同特征吗？ （1）A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3，4｝； （2）A=N，B=R； （3）A=｛x｜x是矩形｝，B=｛x｜x是平行四边形｝； （4）A=｛x｜-1＜x＜1｝，B=｛x｜-2＜x＜3｝. 学生思考、交流、讨论、回答，必要时教师可进行引导：由于集合是由元素构成的，因此，考查集合之间的关系，关键是看一个集合的元素与另一个集合的关系，在这里也就是集合A的元素与集合B的关系、集合B的元素与集合A的关系.最终得出两个共同特征： ①集合A的任何一个元素都属于集合B（教师追问：有没有例外？突出一致性）； ②集合B中有的元素并不属于集合A（教师追问：“有的”，具体多少个？突出存在性，至少一个）.（板书） 此时，教师指出：若集合A、B同时满足①②两个条件，则称这两个集合具有真包含关系，集合A是集合B的真子集.通俗的说，A是B的真子集，含义是：A的元素都跑不出B的“手掌心”，但B中有元素跑出了A的“手掌心”.（限于篇幅，符号语言、文字语言表示从略，下同） 最后，让学生举出一些集合A为集合B真子集的例子，并紧扣真子集的定义说明理由. 问题2：观察老师给出的例子，每组两个集合之间具有真子集的关系吗？为什么？ （1）A=｛-2，-3｝，B=｛x｜
+5x+6=0｝； （2）A=｛x｜x是两条边相等的三角形｝，B=｛x｜x是等腰三角形｝； （3）A=｛x｜-1＜x＜1｝，B=｛x｜｜x｜＜1｝. 学生思考、回答，必要时教师可提示学生仍然要从真子集的定义出发进行分析判断，不难得出：它们都满足条件①，但不满足条件②，所以不具有真子集关系.这时教师追问：为什么不满足条件②？能否说得具体一点？从而有：因为集合B中没有（不存在）不属于集合A的元素，或者说，集合B中的任意元素都属于集合A.接着，教师让学生思考：（1）这里的集合A与集合B应该是什么关系？（2）你能不能像真子集的定义那样描述这种关系具有哪些特征？至此，学生自然领悟到可以从“交叉属于”的角度重新认识与刻画“集合相等”.接着，师生共同解决引例2，问题串如下： （1）根据集合相等的上述定义，欲证集合A=集合B，必须证明哪两个方面？（集合A的任意一个元素都属于集合B；集合B的任意一个元素都属于集合A） （2）一个元素是否属于集合A，判断标准是什么？你能分别用符号、文字描述这个判断标准吗？（看这个元素是否能写成4m+1，m∈Z的形式，也就是4乘以1个整数再加上1的形式） （3）一个元素是否属于集合B，判断标准是什么？你能分别用符号、文字描述这个判断标准吗？（同上类似） （4）为证①，可任取x∈A，则x具备什么特征？（x=4m+1，m∈Z） （5）欲证x∈B，则必须证明x满足什么特征？（x=4n-3，n∈Z，即4乘以1个整数再减去3的形式） （6）为此，需要对x=4m+1，m∈Z做怎样的等价变形？（x=4m+1=4m+1+3-3=4m+4-3=4（m+1）-3）.（以下略） 最后，教师适时指出：数学中，由于用“任意”可以承载“无限”，因此，“集合相等”的这种定义方式更能体现数学味，也更具有应用价值. 问题3：对于“A是B的真子集”与“A=B”这两类不同的集合间的关系，可以把他们合并成一大类，统称为“A是B的子集”.你能像定义真子集那样，给子集下个定义吗？ 这里，学生可能有一定的困难，教师应适时予以思维上的指导：由于子集是“真子集”与“集合相等”的统称，因此，给子集下定义，只要忽略二者的不同之处，保留它们的共同特征就可以了.接下来，教师强调指出：子集的定义是单向的（要想判断A是不是B的子集，只要判断A中的元素是否都属于B就可以了，至于B中的元素是否都属于A则无关紧要），而真子集、集合相等的定义都是双向的. 同样，让学生举出一些集合A为集合B子集的例子，并紧扣子集的定义说明理由. 问题4：请说说“A是B的子集”与“A=B”之间有何联系，你能用子集的概念来简化集合相等的定义吗？请说说子集、真子集、集合相等之间有何联系，类似地，你能简化真子集的定义吗？ 这里，再次给学生提供“说数学”的机会.一方面，可以继续巩固子集、真子集、集合相等的定义；另一方面，可以更加清晰地揭示它们之间的内在联系和相互转化，有利于认知结构的优化.学生思考、讨论后不难得出：
问题5：是否任意两个集合之间一定具有包含关系？为什么？你能画出两个集合关系的分类图吗？ 学生通过自己举例（如A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝）、自己分类等具体的思维行动，意识到：两个集合之间，既可能具有包含关系，也可能不具有包含关系，从而对集合间的基本关系有一个正确、全面的认识和理解.
问题6：有一种特殊的集合，它不含任何元素，如｛x｜
=-1，x∈R｝，我们称之为空集，记作
. （1）你能再举出几个空集的具体例子吗？ （2）空集
与任意集合A是否具有包含关系？为什么？ 对于问题（1），若学生存在困难，教师可提示学生回忆初中学过的知识，如无解的方程（组）或不等式、条件自相矛盾的几何图形等. 对于问题（2），可能有学生认为
不是A的子集，理由是：既然空集中不含任何元素，那么根本谈不上“
中的任意元素都属于集合A”，不符合子集的定义.对此，教师可做如下引导： 引导1：我们经常会遇到下列一些不同的说法，它们是同一个意思吗？ ①张老师说：我们班的学生都在教室. 王老师说：我们班的学生没有不在教室的. ②小明说：线段中垂线上的任意一点到该线段两端距离都相等. 小亮说：线段中垂线上没有到该线段两端距离不相等的点. （学生容易得出，每组两种说法是等价的） 引导2：集合A是集合B的子集，是指集合A中的任意元素都属于集合B，你能模仿王老师、小亮那样，给子集定义换一种等价的说法吗？ （集合A是集合B的子集，是指集合A中没有（不存在）不属于集合B的元素） 引导3：对于空集
与任意集合A，
中有没有不属于A的元素？ （
不含任何元素，当然也就没有不属于A的元素） 至此，学生自然就能理解并真正接受教材中的“空集是任何集合的子集”这一规定了. 三、反思与体会 1.数学教学应科学地把握学生的思维特点，遵循学生的认知规律，做到顺势而为 数学学习，归根结底是学生自己的事情.数学教学中，对于教师提供的学习素材，如果学生的思维走向与教师的教学导向高度一致的时候，学生就容易被激起共鸣，产生积极的心理倾向和强烈的求知欲望；反之，如果学生的思维走向与教师的教学导向偏差较大，学生就容易因“念念不忘”自己最初的想法而产生消极的学习情绪，可能会降低学生学习数学的自信心、学习专注度和思维活跃度. 章建跃博士指出：明“思维之道”才能落实“教好数学”.这里的“思维之道”，指的是学生的“思维之道”.有的数学教师，备课时完全以自己的思维为中心，根本不注重对学生思维的分析与预设，甚至说“课前不预设，是为了更好的课堂生成”，这些观点和做法都是不切实际的，应当坚决予以纠正. 教师首先要在课前预设上舍得花工夫，要换位思考：假如我是学生，我会想到什么？我会怎么想？我有什么困难或障碍？等等.也可以通过实际调查去了解学生的真实想法，只有这样，才能科学地把握学生的思维特点，进而针对性地设计教学，将知识的发生发展过程与学生的认知规律有机地融合在一起.教师要在课堂上充分关注并适时暴露学生的“相异构想”，合理调整自己的教学进程，以顺应大多数学生的认知规律和思维走向. 在本节课的教学中，子集是上位概念，相等集合与真子集则是它的下位概念.因此，从逻辑上讲，首先利用典型而丰富的例子形成子集这个上位概念是无可厚非的.然而，当学生的思维表现与教师的预设发生矛盾时，及时改变概念呈现的先后顺序就成为一种必然的选择. 另外，本节课中，为什么要从“互相包含”的角度再次定义集合相等？为什么规定“空集是任何集合的子集”？这些同样是学生思维的重要关注点，需要教师“自圆其说”.通过精心设计的问题，引导学生自然地领悟其中的必要性与合理性，体验到数学是讲道理的，而不能简单地“告诉教学”. 2.数学教学应合理安排学生的数学活动，保证学生思维有足够的参与度，做到既懂又会 在学生的数学学习中，“懂而不会”是一种较为普遍的现象，也是每位数学教师都需要经常面对且亟待解决的问题.如何在数学教学中帮助学生做到“既懂又会”？关键是要合理安排学生的数学活动，保证学生的思维有足够的参与度，主要有以下策略： 一是引导学生“说数学”.语言是思维的载体，在“说数学”的过程中，要求学生用自己的语言阐述个人对数学知识、思想、方法的理解与体会，表达自己的数学观点，评价他人的数学观点，从中可以折射出学生对学习内容领悟的准确度、广度、深度究竟如何，到底“懂”了没有，“会”到什么程度，等等，有利于教师针对性地进行反馈调节，促进学生“既懂又会”. 二是组织学生“多元联系”.数学是一个统一的系统，数学知识不是独立的，它们之间往往有着紧密的内在联系.多元联系，可以帮助学生形成优良的数学认知结构，避免孤立地、单一地、片面地看待某个数学对象，是克服“懂而不会”的有效途径.例如：对数学概念尽可能地举出各种各样的具体例证（包括正例、反例），进行多元表征；用不同的方式表述同一个数学对象；自主建构概念图，进行单元小结；尝试由某一数学对象引发联想、扩展思维，寻找知识网络中与之相关的结点，等等. 三是组织高质量的变式教学.高质量的变式教学，可以为学生提供丰富的、层层递进的、既有联系又有变化的、具有一定挑战性的问题情境.学生在解决问题及其变式的过程中，需要不断地改造、重组、整理已有的知识经验，建立新的认知平衡，最终能够举一反三、触类旁通、灵活应用，实现真正的“既懂又会”. 在本节课中，对于真子集、集合相等、子集、空集等概念，设计了让学生自己举出更多的例子，让学生自己画出集合关系的分类结构图，让学生用不同的方式描述同一个集合、表述同一个概念等数学活动，目的就是使学生的思维能够始终保持在一个较高的水平，促使学生对上述概念由单纯的语义性理解逐步上升到关系性理解，最终走向“既懂又会”.
标签：数学论文; 真子集论文; 集合符号论文; 数学集合论文; 思维障碍论文;
