从“数学教学内容知识”看数学教师的专业发展_数学论文

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一、数学教学内容知识(MPCK)概述

在教师的专业发展中，知识无疑处于核心地位。对于数学教师来说，并非只要具备充足的数学知识就能成为一位好的数学教师，还需要具有针对特定数学内容的教学知识，即数学教学内容知识（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）。MPCK是关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识。作为数学教师知识结构的核心，它是区别数学教师与数学家、数学教师与其他学科教师的重要特征，是数学教师特有的、影响其专业成长的关键因素。

香港中文大学黄毅英教授在《数学教学内容知识——结构特征与研发举例》一文中把数学教师开展常规教学应具备的知识分为3类：(1)数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK）；(2)一般教学法知识（Pedagogicai Knowledge，简称PK）；(3)有关数学学习内容的知识（Content Knowledge，简称CK，包括教学对象——学生，学习背景、学习环境、教育宗旨等方面的知识）。实际开展教学时，教师往往需要综合运用这3类知识，才能把科学形态的数学有效地转化为教育形态的数学知识。由这3类知识构建的MPCK结构图如下：

上图表明，MPCK是3个基本集合：MK、PK、CK的交集，随着教学经验的积累，MK、PK、CK往往会增大，而且它们的交集部分会越来越大，形成的MPCK就会越来越丰富。这便是在职优秀教师的MPCK结构特征，他们拥有灵活的数学教学法知识、丰富的数学内容知识、多样的教学内容知识。

二、数学教学内容知识案例剖析

案例汉诺塔游戏中的数学问题

(1)起源。在学习《归纳推理》一节时，课本（选修1-2）编排了一道与著名的汉诺塔游戏有关的数学问题：

如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

①每次只能移动一个金属片；

②较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？

(2)分析。汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一，后来演变成一款经典的智力游戏。新课标教材引入这个问题是想在一个高层次上培养学生的归纳推理能力。能否开发好这道经典素材，寓教于乐，让学生在富有挑战的智力游戏中学好数学，增长能力，这就需要教师具备专业的MPCK，把数学的科学形态转化为教育形态。具体到本问题，可从3个方面来剖析。

①从数学知识(MK)的角度。当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：

(a)将上面(n-1)个金属片从1号针移到2号针；

(b)将第n个金属片从1号针移到3号针；

(c)将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针。

这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次(n-1)个金属片和移动一次第n个金属片的任务……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形。根据这个过程，可得如下递推公式：

从这个递推公式出发，可证明通项公式(n∈N*)。

②从教学法知识(PK)的角度。从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数。依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列：1，3，7，15。观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：。由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次。

③从内容知识(CK)的角度。本题是学生进行研究性学习的好素材，如果条件允许，可以带学生到多媒体室上课。从学生喜欢的汉诺塔游戏引入，并开展小组合作学习与竞争，让学生在集体智慧中进行游戏比赛，在游戏中探索数学知识，启迪数学思维，培养学生的数学建模能力和归纳推理能力。解答本题所需要的数学知识，如归纳推理的方法、递推数列、数列通项公式的求法，学生已经具备。利用计算机给他们提供一个生动的模拟平台，让他们开展数学探究实验，从实验中提炼出恰当的数学模型，并能运用所学数学知识顺利解决问题，这是对学生创新精神和科研能力的初步培养。

(3)优秀高中教师的MPCK。优秀高中教师能够恰如其分地综合运用这3类知识，帮助学生正确理解和掌握相关知识。以富有挑战性的汉诺塔游戏引入，增强数学的趣味性，激发学生的求知热情。然后以小组合作学习展开讨论和竞争，教师以恰当的问题设计引导学生由特例出发，探索解决问题的思路，然后再从一般性的角度加以分析与证明。问题的解决由易到难，由不完全归纳到严谨证明。在学生动手游戏的过程中，一方面，从依次移动1，2，3，4个金属片所需次数归纳猜想出把n个金属片从1号针移到3号针所需的最少移动次数为次。另一方面，通过探究n=1，2，3，4时的移动方法，归纳出对n个金属片都适用的移动方法，进而转化成一个递推数列模型，从递推公式出发，求证该数列的通项公式(n∈N*)。

三、数学教学内容知识发展策略

1.在真实的课堂情境中自主建构

从建构主义观点来看，教师的数学知识向数学教学内容知识转化，最终生成MPCK的过程是一个动态的建构过程，它需要教师在真实的教学情境中自主建构，这就是教师的教学认知过程。教师必须根据教学对象、教学内容和教学环境的具体情况创造性地进行工作，而不只是简单地“备课”——只要完成相应的数学内容的建构。比如，在讲解“命题的否定”时，如果只是灌输式的告诉学生，“都”的否定词是“不都”，学生还是会错解成“都不”。但如果通过情境创设，自主建构，或许学生就容易理解了。

情境1 每周一测结束后，老师找到小明，说：“你的答题卡和答题卷都没有交？”如果小明认为老师弄错了，那么可能发生的情况是什么？小明交了答题卡；小明交了答题卷；答题卡和答题卷都交了。用一句话概括就是：答题卡和答题卷中至少有一个交了。

情境2 “徐静蕾被公认是才女，既能演戏，又能导戏。”这句话的否定语句是什么？

情境3 用文氏图画出两集合A，B的交集用文字语言表达其含义；再画出A∩B的补集包括几种情况？

建构主义认为，已有的知识和经验为新的认识活动提供了必要的基础，在前面的案例“汉诺塔游戏”中，学生已学习了归纳推理的方法，并熟悉这种思想。学生还掌握了数列的相关知识，递推公式、通项公式的求法。部分学生玩过汉诺塔游戏。在从事新的学习活动前，教师应注意帮助学生获得必要的经验和预备知识。例如，设计一些具体的模型与实物材料，让学生先有一些直观形象的经验，以帮助他们形成与发展数学的抽象思维。或者借助计算机模拟提供直观经验，以帮助复杂、抽象的数学内容的学习。

数学教学内容知识(MPCK)的发展来源于课堂教学，它带有明显的个体性、情境性和建构性的特征，必须在课堂教学中以自身已有的数学知识和经验为背景去进行主动建构。我国学者顾泠沅也曾指出：“教师的实践性知识是靠实践性质保障的，教师成长和发展的关键在于实践性知识的不断丰富，实践智慧的不断提升。实践智慧是缄默的，隐含于教学实践过程中，更多地与个体的思想和行动过程保持一种‘共生’关系；它又是情境性和个体性的，难以形式化或通过他人的直接讲授而获得，只能在具体的教育实践中发展和完善。”

2.促成新手教师向专家型教师的转变

作为一名数学教师不仅需要数学知识和一般的教学法知识，还需要知道关于某一数学内容该如何组织和呈现、学生学习时会遇到哪些疑难等知识，这也是新手教师与专家型教师的知识区别所在。例如，在讲授《斜率和倾斜角》时，有一个易错点：任何直线都有倾斜角，而斜率不一定存在；和一个难点：由斜率范围求倾斜角范围。

例1 直线xcosθ+y=0的倾斜角的范围是()

A.[0，π）

B.[π/4，3π/4]

C.[-π/4，π/4]D.[0，π/4]∪[3π/4，π）

请对比两位教师的教学方法（教师甲：教龄3年以下，教师乙：教龄7年以上。）

教师甲：对易错点的处理是直接给出结论，要求学生记住。

教师乙：先给出直线倾斜角的概念，以及它与斜率的关系式k=tanα。然后，请学生回忆正切函数y=tanx的图象和定义域，并设计如下问题组：

①对于，k=tanα是否都成立？