在高考试题中的推广类问题浅述，本文主要内容关键词为：高考试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究，称为推广，类比是数学命题推广的一个工具.从逻辑上说，推广就是将数学命题的外延扩大，来研究它的内涵变化特点.在历年高考试题中，推广类试题曾多次出现.
一、在不等式中的推广
【例1】已知x∈（0，+∞），由不等式x+(1/x)≥2，
等式对一切实数x都成立，由此他作出如下猜测：
①当c为所有自然数时，不等式对一切实数x都成立；
②只存在有限个自然数c，不等式对一切实数x都成立；
③当c≥1时，不等式对一切实数x都成立；
④当c＞0时，不等式对一切实数x都成立，则正确的是_______.
（A）①③ （B）② （C）①③④ （D）④
二、在三角函数中的推广
【例3】为化简
可以考虑把分子与分母化成积的形式，通过约分进行化简.
积的表达式（不要求证明），并化简本题开始给出的式子.
注：直接猜想b[，n]化积的表达式是有难度的，这里通过先猜想商式：（a[，n]/b[，n]）=tannx、再结合分子式的结论来间接猜想分母式b[，n]化积的表达式.
三、在函数中的推广
【例4】已知函数
的图像关于原点对称，
四、在数列中的推广
【例5】在等差数列｛a[，n]｝中，若a[，10]=0，则有等式a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=a[，1]+a[，2]+…+a[，19]-n（n＜19，n∈N）成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b[，n]｝中，若b[，9]=1，则有等式______成立.
分析；如果m+n=p+q，其中m，n，p，q是自然数.
对于等差数列｛a[，n]｝，则有a[，m]+a[，n]=a[，p]+a[，q]，a[，m]+a[，m]=a[，n+1]+a[，2m-1-n]（2m-1-n＞0），
若a[，m]=0，则有等式a[，1]+a[，2]…+a[，n]=a[，1]+a[，2]+…+a[，2m-1-n]，
本题中m=10.而对于等比数列｛b[，n]｝，
则有b[，m]b[，n]=b[，p]b[，q]，b[，m]b[，n]=b[，n+2]b[，2m-1-n]，
若b[，m]=1，则有等式b[，1]b[，2]…b[，n]=b[，1]b[，2]…b[，2m-1-n]（2m-1-n＞0），本题中m=9.
注：本题立意新颖，并不要求证明，考查学生是否具有创造能力.
五、在解析几何中的推广
【例6】已知两个圆：x[2]+y[2]=1①与x[2]+（y-3）[2]=1②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍是圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：________.
分析：已知两个圆：（x-a[，1]）[2]+（y-b[，1]）[2]=r[2]①与（x-a[，2]）[2]+（y-b[，2]）[2]=r[2]，其中a[，1]与a[，2]、b[，1]，与b[，2]至多有一组值相等，
则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程
注：本题为类比推理，考查学生的探索能力.
六、在立体几何中的推广
【例7】在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB[2]+AC[2]=BC[2].”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则___________.”
分析：在△ABC中，从直角顶点A出发共有两条边AB、AC，且长度AB、AC、BC为一级单位。在三棱锥A-BCD中，从直角顶点A出发共有三个直角三角形ABC、ACD、ADB，且面积S[，△ABC]，S[，△ACD]，S[，△ADB]，S[，△BCD]为二级单位（体积为三级单位），推广为
S[2][，△ABC]+S[2][，△ACD]+S[2][，△ADB]=S[2][，△BCD].
练习1：直角△ABC中两直角边分别为6、8，在内切圆上找一点P，求点P到三个顶点A、B、C距离的平方和的最大值和最小值.（答：最大值为88，最小值为72）.
练习2：在练习1中，如果将直角三角形推广到等边三角形，边长为a，则等边三角形内切圆上任意一点到三顶点距离的平方和为常数（5/4）a[2]，因而无最大值、最小值.请证明.
练习3：求边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和.（答：2a）
练习4：在练习3中，如果将等边三角形推广到正四面体呢？求各边长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为多少？
（答：定值
a）
练习5：在等差数列｛a[，n]｝中，若a[，20]=0，则有等式a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=a[，1]+a[，2]+…+a[，39]-n（n≤38，n∈N[*]）成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b[，n]｝中，若b[，10]=1，则有等式_________成立.
练习6：设函数
（1）证明f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）及g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
（答：（1）由导函数
得f（x）在x∈（-∞，+∞）上递增；
（2）f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值都等于零，概括出f（x[2]）=5f（x）g（x），证略.
若原题中的“5”改成“a”，则有
f（x[2]）=af（x）g（x）.
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