群体对一个命题可能的知道状态分析，本文主要内容关键词为：命题论文,群体论文,状态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B812
文献标识码：A
1 导言
认知逻辑或者认识论逻辑(epistemic logic)，如知识逻辑、信念逻辑与断定逻辑，不仅是人工智能科学家关心的领域，同时也是社会科学家（博弈论专家）关心的领域。博弈论大有统一社会科学之势，而根据著名的博弈论专家宾谟(K.Binmore)的看法，认知逻辑是博弈论的基础。因此，对多主体(multi -agents)的认知状态的分析有助于博弈论的发展，也有助于社会科学的发展。
我们假定我们所研究的主体(agent)是理性的。我们下面要分析的是，一个由n个理性人组成的群体，对一个命题p，有多少种可能的“知道”状态？
每个人对一个命题p，无非是两种可能的“知道”状态中的一种：“知道p”，或“不知道p”。（这里，我们所讨论的命题p，我们假定，它是关于外部世界的）当一个群体由n个人组成时，该群体对该命题的可能的知道状态为
种。比如，一个由A、B两人组成的群体有如下
种“知道”状态：
表一 A、B两人对命题p的4种知道状态
状态 A B
1
知道p
知道p
2
知道p
不知道p
3 不知道p
知道p
4 不知道p
不知道p
但是，一个群体中的成员之间不是孤立的，而是存在着相互联系。这种联系体现在，群体中的成员对其他成员对某个命题p的认知状态存在了解。因此，要分析一个群体中对p的可能的知道状态，必须要讨论群体成员在命题p上的“相互知道”以及“相互不知道”的情况。为此，我们先分析“知道”和“我们知道”的意涵。
2 “知道”的基本性质
模态逻辑是在经典逻辑基础上发展起来的哲学逻辑。人们引入了模态词“必然”和“可能”，在经典命题逻辑系统中添加新的公设而形成模态命题逻辑系统，并且在不同的公设下形成了不同的模态命题逻辑系统：K,T,S4,S5等。
我们这里涉及到认知逻辑中的“知道逻辑”或知识逻辑。对于在S5模态系统下的知道逻辑系统
——下标n表示该群体由n个理性人组成——有下列公理：
PL：命题逻辑公理；
K:K(a,p→q)∧K(a,p)→K(a,q);
T:K(a,p)→p;
4:K(a,p)→K(a,K(a,p));
E:～K(a,p)→K(a,～K(a,p))。
在模态逻辑S5基础上建立的知识逻辑系统的公理为：
PL为命题逻辑的公理，K、T、E分别为上面的K、T、E公理。在中4公理不是独立的，它是中的定理，即能够从中推出4公理。但我们为了方便，也将之看成公理。
这些知识公理是什么意思？
公理K表示的是，如果a知道p，并且知道p→q，那么他知道q。
公理T表示的是，如果主体a知道p，那么p是真的。为了将知道的东西与纯粹信念区分开来，我们假定了人们知道的东西为真，而人们的信念不必为真。
公理4表示的是，如果a知道p，那么他知道他知道p。该公理又称为“正的反省公理”。（由该公理，我们发现，只要主体知道一个为真的事实，那么他就知道无数个为真的事实）
公理E意即：如果a不知道p，那么他知道他不知道p。该公理又称“负的反省公理”、“智慧公理”。人们对这个公理往往持有异议：不是每个人都能够像苏格拉底那样“知道自己无知”；通常是，人们既然对某个事实无知，他并不一定知道自己对该事实无知，但由于有这样的公理下的系统有很多很好的性质，人们喜欢用这个公理。
当然，也有人将D公理当作知识逻辑的公理。D公理为：
D=～K(a,p∧～P)。
D公理表示的是，人们不知道相互矛盾的事情。该公理与4公理一样，在中不是独立的，而是其中的一个定理。
不同的人选择不同的公理组成不同的知道的公理系统。我们以模态逻辑系统S5来刻画知识逻辑，构成知识逻辑系统。
3 公共知识概念与基本性质
公共知识(common knowledge)概念最早由美国逻辑学家刘易斯(C.I.Lewis)提出，经逻辑学家辛迪卡(J.Hintika)以及博弈论专家奥曼(R.Aumann)等人的发展，今天已经成为逻辑学、博弈论、人工智能等学科里频繁使用的一个概念。
公共知识是一个很有用的概念。它在我们日常对话、交流中起着非常重要的作用，人们的误解也往往由于对某些公共知识的误解而造成的；公共知识概念也可以用来解释某些社会现象，比如，在拙著《博弈生存——社会现象的博弈论解读》中，本人用公共知识概念解释“皇帝新装”中人们的知识的变化，解释学校中教师与学生“教—学”结构的公共知识的分布，等等。
那么什么是公共知识？
假定一个人群只有两个人A、B构成，A、B均知道一件命题p，p是A、B的知识，但此时p还不是他们的公共知识。当A、B双方均知道对方知道p，并且他们各自都知道对方知道自己知道p……。这是一个无穷的过程。此时我们说，p成了A、B之间的公共知识。
一般地，如果p是n人组成的群体G的公共知识，意即：群体中的每个人知道p，并且群体中的每一个人知道每个人知道p，……
然而，这只是公共知识的描述，而非严格的定义。我们给出一个公共知识的定义。
定义1。如果p是群体G的公共知识，意即：群体中的每个人知道p，并且群体中的每一个人知道p，也是公共知识。
定义1是一个递归定义，我们用“CK”表示“公共知识”，CK(G,p)表示命题p是群体G的公共知识，或者用
来表示。定义1意即：
我们有如下公共知识公理或性质：
Cl:CK(G,p)→p
C2:CK(G,p)∧CK(G,q)→CK(G,p∧q)
C3:CK(G,p→q)∧CK(G,p)→CK(G,q)
C4:～CK(G,～p∧p)
C5:CK(G,p)→CK(G,CK(G,p))
C1：如果p为群体G的公共知识，p是真的。
C2：如果p为群体的公共知识，并且q是群体G的公共知识，那么p且q是群体的公共知识。
C3：为分离规则。如果p→q为公共知识，且p为公共知识，那么q为公共知识。
C4：矛盾的命题不是一个群体的公共知识。
C5：如果p为群体G的公共知识，那么“p为群体G的公共知识”也是群体的公共知识。
知识是相对于理性的主体而言的，传统上的知识的逻辑分析，是分析个体的认知结构。公共知识是相对于某一个群体而言的，我们要分析的是每个理性的人组成的群体的知识分布情况。
4 群体的公共知识状态分析
根据公共知识定义，我们有：如果在一个群体中p为公共知识，那么该群体有无穷个公共知识。即
，……均是公共知识。根据公理C5，我们同样有：如果一个群体中有一个公共知识，那么该群体将有无穷个公共知识。即，
，……均是公共知识。
一个群体可以无公共知识，即任何人只知道自己对p的知道状态。而不知道任何其他人的知道状态。
关于p，是不是一个群体中只有这两种可能的公共知识分布情况？不是的。一个例子是，其中的任何一个人“不知道p”也可以成为公共知识。
定义2。第0级公共知识。如果p是关于外部事实的命题，（即主体对p的认识为对外部世界的知识），并且如果一个群体在p上满足公共知识定义，那么为0级公共知识。
这样，一个群体要么有0级公共知识，要么无0级公共知识，两者必居其一。
定义3。第k级公共知识。若群体中的某个人a知道p，
为第2级公共知识。依次类推。
有上述定义，我们看到一个群体在p上的公共知识的可能个数为：
(1)一个群体有第0级公共知识的可能个数为1。一个群体要么有第0级公共知识，要么无第0级公共知识，两者必居其一。但一个群体没有第0级公共知识并不表明，它没有大于第0级的公共知识。
(2)一般地，一个n人的群体，第1级公共知识的可能个数为2n个。第2级公共知识的可能个数为2n·2(n-1)……第k级公共知识的可能个数为
。
不同级的公共知识之间的关系如何？让我们给出不同级别公共知识之间的关系的一个定理。
定理1。如果一个群体有k级公共知识，那么它必有k+1,k+2,k+3，……级公共知识。
根据定义1和定义3，即可得到证明。
定理1的逆定理是不成立的。即：如果一个群体有k+1级公共知识，该群体不一定有k级各个知识。
定理1的一个推论：如果一个群体有1个公共知识（无论这个公共知识是哪一级的），那么它有无穷多个公共知识。
我们在第一部分中说，一个群体对一个命题存在个可能的分布状态，如果考虑相互知道的关系，包括公共知识，那么一个群体关于p可能的知道状态为无穷多个！一个具体的群体，该群体对某一个命题的知道状态只是无穷多个可能的状态中的一个。
5 2人组成的群体的知道状态的分析
现在让我们以最简单的A、B 2人组成的群体来分析知识的分布情况。
如果p是公共知识，意味着A、B均“知道p”，这种情况为表一中情况1。但是，A、B均“知道p”，并不意味着p是公共知识。这就涉及到某一个人对命题p的知道状态是否是公共知识的问题。
比如：表一中状态1，A、B均知道p。但有可能的是“A知道p”是公共知识，而“B知道p”不是公共知识。因此，状态1中我们会又有4种情况：
(1)“A知道p”是公共知识，“B知道p”是公共知识；
(2)“A知道p”是公共知识，“B知道p”不是公共知识；
(3)“A知道p”不是公共知识，“B知道p”是公共知识；
(4)“A知道p”不是公共知识，“B知道p”不是公共知识。
在(1)-(3)中的公共知识为第1级公共知识。
表1有4种情况，而每一种情况又有如上述的4种组合，这样，对“是否知道p”，2人组成的群体共有16种“知道”状态。由此可见，“p是公共知识”只是16种情况中的一种。
我们用示意图来表示群体对p的知道的状态。“→”表示“知道”关系，虚线的“→”为“不知道”的关系。
图1表示“p是A、B的公共知识”，图2表示“‘A知道p’为公共知识”。
图1 “p是公共知识”的关系图（第0级公共知识）
图2 “A知道p”是公共知识关系图
（第1级公共知识）
由图1及图2，“p是公共知识”意味着“A知道p”和“B知道p”是公共知识。“A知道p”是公共知识，意味着“A知道A知道p”及“B知道A知道p”是公共知识，但此时有可能的是“B知道p”不是公共知识。只有当“A知道p”和“B知道p”均是公共知识时，p才是公共知识。
有可能的情形是，群体中各成员均知道p，但p不是公共知识，图3就是一个这样的情况。
图3 A、B均知道p，但p不是公共知识的一种可能的关系图。（无任何级的公共知识）
图3是一非对称的“知道”情况。虽然A、B均知道p，但A知道得比B知道得“多”些。图3“A知道p”“B知道p”均不是公共知识。A知道B知道p，B不知道A知道p，B也不知道A知道B知道p；A知道B不知道A知道；……。
图4 “A不知道B知道A知道p”是公共知识（第3级公共知识）
“某人‘不知道’p”也可以成为公共知识。图4和图5是“某人‘不知道p’是公共知识”的两种情形：
图5 “A不知道p”是公共知识关系图
（第1级公共知识）
图3表示的是“A不知道B知道A知道p”是公共知识，图4表示的，“A不知道p”是公共知识。
我们需要对图1－图5中的箭头的意义做些说明：第一，对单个的理性人，比如A，我们假设了，A知道某个知识，蕴涵着他知道他知道该知识。这是“正的反省公理”，即：K(A,p)→K(A,K(A,p))。上图中竖向的箭头反映的就是这个公设。第二，在图5中，左边竖向箭头表示的是“负的反省公理”，即～K(A,p)→K(A,～K(A,p))。第三，对于一个群体，存在相互知道或相互不知道的关系，比如图1所表示的是p是公共知识(CKp→CK(K(A,p))∧CK(B,p))，图1中的斜的或者横的“实箭头”表示这种“相互知道”的关系；而图3中的斜的“虚箭头”表示的是B对A的知道状态“不知道”的关系。
在上述图中，我们可以看到，某一个图中的斜的或横的箭头发生变化，即，某一个“知道”的箭头变成“不知道”的（由实的箭头变成虚的前头），或者，一个“不知道”的箭头变成“知道”的箭头（由虚线的箭头变成实的箭头），那么该图所反映的群体的知识分布便变成为了另外一种分布状态。比如，图1所反映的“p是公共知识”这样的一个状态，任何一个横的或斜的实箭头换成虚线箭头，原来的状态变成为了另外一个状态，此时产生了一个新的公共知识，p不再是公共知识。
由此我们有这样的结论：一个群体的可能的知道状态是无限的。这个结论对任何大于等于两个人组成的群体均是有效的。
6 结语
一个n人的群体，哪怕是两个人的群体，尽管人数是有限的，对一个命题p的可能的知识分布状态是无穷的。任何一个群体只能是这些无限多的知识分布状态中的一种。公共知识状态也是无限多的，并且是不同级别的；“p是公共知识”是第0级的公共知识，它只是群体所具有的一个可能的知道状态。
收稿日期：2003-03-03