对初中学生数学表述的备课组级讨论，本文主要内容关键词为：初中论文,数学论文,备课组论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
每次阅读各地中考数学卷的质量分析，我们会发现，质量分析的作者都会痛心疾首地指出一个共同现象——许多学生因书写问题而丢分严重。我校内部组织的各种考试也是如此，因为数学表述不当的丢分比比皆是，大考之后的估分就是例证，常常有学生估140分得130分，除了个别估错另论，多数是在数学表述上被扣了分。为此，我校初一备课组的4位教师对这一问题展开了讨论。
一、对数学表述的认识和界定
邱淑嫒：严谨缜密的思维需配以规范的书写，才易于沟通和传播。数学表述主要通过数学语言进行。
数学语言简洁、抽象、概括、直观，它们一般具有3个特点：(1)文字、符号、图形三位一体；(2)精炼、准确、简洁、可变；(3)直观语言与抽象语言相互转化。符号语言是数学语言的主体，只有通过符号沟通的数学才是全世界的共同语言。它是一种无声的交谈，避免了不同文化背景的种族沟通上的障碍；它是一种简洁的表达，避免了作图时的烦琐和材质的限制；结合数字，它几乎可以表达用文字和图像所要表达的所有信息。从应试角度说，一份工整有序、简洁大方的试卷，它的视觉效果远远超过那些草稿式或涂鸦式的试卷，能赢得批改者的良好印象。
俞君婵：数学解题过程事实上是一种探究的过程，解题者从问题中提取信息，并将问题置于固有的知识背景之中，撇开无用的、非本质的因素，用相关的定义、定理和知识对问题作出梳理和判断，寻求从已知到目标的合理途径，这个过程中有猜测、联想，失误、曲折，最后终于有所发现。这是一个解题研究的过程。至此，解题还不能算最后完成，解题者还要将自己得到的结果表述清楚，给出解答过程或说理，这得借助逻辑的力量。数学表述就是这个解答过程或说理的呈现方式，所以从从属关系看，解题过程包含表述过程，表述过程是解题的最后也是最重要的组成部分。正因如此，在考试或练习中，如何将解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述。面对卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，我们更需要培养的是“学生表述自己思想的能力”。
李建华：数学表述中，一是要依据数学的概念、知识书写，二是在书写中要前后合乎逻辑，三是在书写过程中要使用数学符号或数学化的语言来“编织”。
滕义和：数学表述是我们自己给出的名称，我想，它至少可以在5个场合使用：数学学者对数学的论述(口头的和书面的)、数学教材对知识的阐述、教师课内课外对数学的讲解、学生课堂的数学问答、学生对数学问题的书面回答。我们今天要讨论的显然是最后一个。表述前面冠以“数学”，是想说明问题限于数学范畴，表述是用数学的方式进行。
邱老师说的“数学语言3个特点”中第(2)点“精炼、准确、简洁、可变”，我认为其中的“可变”不妥，正像你自己说的，数学用的是“全世界的共同语言”，应该改为“统一”才对。第(3)点中“直观语言与抽象语言相互转化”我也不赞同，应该是“随着学习的深入，数学语言抽象程度越来越高”。
正如俞老师所说的，解题分为“获得数学思路的探究”和“数学表述”两个步骤，二者虽不同，但在数学活动中这两种活动相互制约，并交织在一起，很难彻底区分开。一方面，“获得数学思路的探究”是不断发现和创造的动态过程，其成果需要通过“数学表述”把它及时凝结或记录下来，记录的原料最经常使用的是概念及符号，使之静态化，得到的数学表述又可以作为进一步思考的台阶；另一方面，在表述时，也必然融入探求及创造，使之更抽象化、形式化，创造事物的某种形式。数学表述与获得思路的认识过程有所不同，甚至相反，前者是经过改进和修饰后的文字，它常以最彻底、最根本的方式出现，隐匿了思维过程和创造过程，已将不确定性扫除干净。
二、学生在数学表述中常见的问题
滕义和：套用托尔斯泰的名言：“规范的数学表述都是相似的，而不规范的数学表述则各有各的毛病。”要归纳全学生在数学表述中存在的问题是不容易的，不同时间、不同地方会有不同的问题，但总结出最常出现的问题，对教学有“预警”作用。
邱淑嫒：学生最大、最常见的问题是潦草、涂鸦。我在读大二时，有幸帮集美大学陈水利教授(国际模糊数学研究中心北半球理事)打印和校对他的某篇论文的第二稿，当时就被他隽秀、工整的手稿所折服。原稿上用三四种不同的字体(正楷、柳体、隶书等)显示出大标题、小标题及正文，如果不是要求用电子稿件发到CN刊物审核，我想人们一定会更乐意见到他如工艺品般的手稿。即便是第二稿需在原稿上改动，他也一律使用蓝灰色钢笔正楷小字书写，没有多余的涂改，只有两条坚决的画线，干脆利落。字如其人，我见识了一位严谨治学、思维缜密的教授的形象，对他肃然起敬之余，也给我许多启示：数学的书写规范对人们养成良好的学习习惯、进一步学习、深入发展学术都大有好处，使人一辈子受用不尽。
李建华：以前的学生是综合题书写不行，现在变成是许多最基本的要求不过关了。(1)书写不规范，如不写“解：原式＝”，不写“单位”“答”，角的表示、线段的表示随心所欲、不规范。(2)做文字题时，根本没有必要的过渡句，比如，很多学生省去了“依题意得……即可得……”；几何方面的书写因果扎堆，好几个“因为”同时推出好几个“所以”等等。
俞君婵：我的学生数学表述有这样的现象：(1)基本术语经常乱用一气。比如，根本不知道“角”的4种表达方式，与线段、点的表达方式混在一起乱用；当题目出现“任意”“至少”“或”“且”这样的术语时，或不理解乱写，或少写漏解。(2)断章取义。遗漏了概念和定理的重要条件，如在初中的平行线定义中，忽略“同一平面”这一前提条件，造成定义定理乱用。(3)不求甚解。对知识印象模糊，解答只求大概。解题过程跟着感觉走，而且常常是写到三分之二左右的时候就直接跳步得出答案，或是将类似的定理性质混用。(4)不够严谨规范。如在写变量范围的限制时，用日常用语代替数学术语。
滕义和：学生书写规范每况愈下与作业格式来源发生变化有关。以前作业都来自课本，几乎没有选择题和填空题，每天只要做五六道解答题。学生必须抄题目，自己画图，同时其他科作业更少。因为做得少、做得精，改得也精，所以落实得好。而现在，学生作业几乎依赖练习册，只需填答案的题目多，解答题也不用抄题、不用画图了，预留的答案位置非常小，而且作业量多(其他科也多)，铺天盖地、泛滥成灾。中等偏下的学生在完成课堂或课外作业时往往只有一两个步骤或者只有一个答案，这样出来的书写规范就可想而知了。我与三位老师的观点基本一致，主要归纳为“四不一没有”，即不规范、不连贯、不讲条理、不整洁和简洁、没有数学化和符号化。
三、如何让学生在答题中规范简洁地表述自己的观点
李建华：要让学生正确表述，第一，教师应该先给出正确的、规范的格式，让学生先模仿，然后再让学生独立书写；第二，有计划、有意识地训练书写格式，这里教师的预见性很重要，刚才滕老师的归纳已让我们心中有数。知识的学习可以“先学后教”“先放后收”，而书写规范则万万不能。否则，一开始让学生自由发挥，可能会写得五花八门，到那时再去纠正，为时已晚了。
邱淑嫒：李老师说教师应该先给示范，我觉得要为教师的操作定个调，应做到“心中有数、思维清晰、叙述简洁、书写规范”。所谓“心中有数”就是易出问题处要有所准备，如在数形转化和设参换元问题上，要反复强调关键的转化步骤、变量的限制范围等易疏忽的环节。
另外，“有计划、有意识地训练书写格式”，重点在哪里?突破口在哪里?在学生数学语言、符号语言、图形语言的培养上，我介绍一下我的具体方法：(1)抓讲解。例如，数学中许多数学符号都有其深刻的含义，只有深刻揭示其含义，才能正确使用它们来解题。(2)抓互译。有的教师互译抓得不够，造成许多学生互译能力差。如a、b互为相反数，c、d互为倒数，到了初三，有学生还不能转化为a+b=0，cd=1，使计算无法进行下去。数学语言与生活语言互译在实际背景的题目中体现得最明显，问题背景来自生活，若要用数学方法解决，就必须将其中的非数学语言数学化，摒弃表面的叙述，抽象出数学本质，形成数学模型。(3)重视书面作业的批改，在书面作业中检验学生数学语言表达的规范性。
俞君婵：符号语言在几何入门教学中起了关键作用，是学好数学三大语言的好抓手，要有一个周密的训练计划：(1)几何符号训练。如角——“∠”，三角形——“△”，平行——“∥”，垂直——“⊥”，直角三角形——“Rt△”，全等——“≌”，其中表示角的三个大写字母有顺序，不能随意调换位置；而角同时也可以用一个字母表示，前提是在该顶点处只有一个角。又如，线段、射线、直线的表达，都可用两个大写字母，但又不尽相同；要通过观察、画图、度量、实验等手段，来比较这三种线的端点数、延伸方向、度量性，才能抓住它们的本质和区别，如此才能记住大写字母可不可以对调等规范要求。(2)识图训练。一是采用对比分析的方法，指出图形与图形之间的联系，揭示它们的本质差距，深化对概念的理解，从而得出一般情况下图形间的关系。二是进行非标准图训练。几何概念往往借助于图形，先是标准的、正位的，之后随着学生认知过程发展，图形的方向、位置不断改变而演变为异位的、非标准形式，如“同位角、内错角、同旁内角”一节训练课，我让学生自制教具、自己探索。(3)语言转化和语言运用训练。公理、定理和推论的文字、符号、图形转化是起点，是最好的素材。
滕义和：我赞同三位老师所说，要让学生作好数学表述，一是细教，二是榜样，三是严管。
细教。大家都在做，只是力度和方法不同而已。我觉得细教的核心应放在教会数学语言上。要让学生掌握数学语言，首先要了解数学语言的要求，脉才把得准，才能搔到痒处。掌握数学语言有7个方面：数学语言理解、数学语言识别、数学语言转换、数学语言构造、数学语言操作、数学语言表达、数学语言组织。
数学语言理解是指学生能理解数学词语、数学命题等数学语言信息。数学语言识别，指能识别数学语言的基本属性及其暗示的信息。教学实践中发现，学生数学学习的困难，很大程度上是由不能理解数学语言的意义和不能正确使用数学语言造成的。刚才邱老师讲的“要深刻揭示其含义”“抓讲解”就是解决学生对数学语言识别和理解问题。数学语言转换，指学生在不同表达形式的数学语言之间，或在同一种表达形式的数学语言的内部进行转换。俞老师、邱老师刚才也提到这个问题。数学语言构造，表现为数学问题的解决过程中，学生能构造出适当的数学语言来表示所研究的对象。数学语言操作，指学生能运用数学的符号语言进行推理、运算。数学语言组织，指学生在接收数学语言信息时能有效地进行筛选、整合、贮存等。数学语言表达，指学生能正确地把思考数学对象、解决数学问题的过程用数学语言表示出来。这最后一点正是我们今天讨论的主题，也是集前6点之大成者。
榜样。李老师说的教师应该先给示范，语言、板书都要规范，语言表达要将各种符号的功能都体现出来，不随意省略某些符号。如
语言表达应说成2的立方的相反数，
说成是负2括号的立方。
严管。我觉得这一点最不够。现在教师过于功利，学生写得不好、不规范虽会被扣分，但不会太多，抓得很好付出的成本却比较高，这是短视。对待数学表述，应该提高到体现一个人的数学素养的高度来认识。如李老师和邱老师说的，抓好作业、考试的批改和讲评是重要的环节。从中考试卷和初中数学竞赛试卷来看，许多学生不能正确表述解题过程，常因分步计分法而多处被扣分，或因表述失误而全题失分。有的教师不明白这个道理：其实，学生考试所得分数完全是他的手“写”出来的。
我想，数学能不能借鉴语文作文的做法，在学习几何时，开设少量几何表述课，也像作文每学期“8大8小(每学期大小作文各8篇)”一样，规定写几题，我们不能用“勾点法”批改，即使是做对的题目也要评分，并写评语。标准至少可以包括5个方面：(1)书写。即字写清楚，符号、数字写准确。(2)格式。即符合各类题型的书写格式要求。(3)步骤。即基本的要点步骤齐全。(4)简练。即文字、符号语言简明扼要。(5)整洁。即卷面整洁规范。通过中考、高考指挥棒，出一数学论述题，评分标准同上，若如此，学生的数学表述能力定会有很大的提升。
四、结语
讨论结束，学生的表述问题还在我们的脑中缠绕，我们都认为，某种思想考虑得越深刻、越严谨，它在词中、在口头和书面语言中的表达也就越明确、越清楚。反过来说，用语言把某种思想表达得越完善、越精炼，这种思想本身也越清楚、越明白。语言和思维的这种密切联系，决定了我们在教学中应该注意培养和提高学生的数学语言识别和使用能力。学生的书面表达能力与他们掌握双基的程度、数学思维能力是密切相关的，不单纯是“会不会写”的问题，只有同时抓好各个环节，在提高整个数学教学质量的前提下，培养学生的书面表达能力才能奏效。