解析几何中的四类对称变换，本文主要内容关键词为：解析几何论文,对称论文,四类论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[复习说明]
由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形，于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现，它是高考复习的一个热点专题.本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题；难点是两曲（直）线关于直线成轴对称问题.
[内容提要]
1.点P（x，y）关于点M（α，b）成中心对称的点是P′（2α－x，2b－y）.
2.两点P（x[，1]，y[，1]）、Q（x[，2]，y[，2]）关于直线Ax＋By＋C＝0（AB≠0）成轴对称的充要条件是
A·x[，1]＋x[，2]/2＋B·y[，1]＋y[，2]/2＋C＝0，且（-（A/B））·y[，1]－y[，2]/x[，1]－x[，2]＝-1
特例 点P（x，y）依次关于直线x＝α，y＝b，y＝x，y＝-x对称的点分别是P′[，1]（2α－x，y），P′[，2]（x，2b－y），P′[，3]（y，x），P′[，4]（- y，- x）.
3.曲（直）线图形C：f（x，y）＝0关于点M（α，b）成中心对称的曲（直）线图形，易由结论1与代入轨迹法求得.
（是C′：f（2α－x，2b－y）＝0）.
4.曲（直）线图形C：f（x，y）＝0关于直线Ax＋By＋C＝0（AB≠0）成轴对称的曲（直）线图形，宜运用结论2与代入轨迹法求得.
特例 曲（直）线C：f（x，y）＝0依次关于直线x＝α，y＝b，y＝x，y＝-x成轴对称的曲（直）线分别是
f（2α－x，y）＝0，f（x，2b－y）＝0，
f（y，x）＝0，
f（-y，-x）＝0.
[范例精讲]
例1 已知△ABC的一个顶点A（2，-4），且∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程依次为x＋y－2＝0、x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程.
解 依题意知，两直线BA、BC关于∠B的内角平分线所在直线是对称的，则点A（2，-4）关于直线x＋y－2＝0的对称点A[，1]（x[，1]，y[，1]）必在直线BC上.同理，点A（2，-4）关于直线x－3y－6＝0的对称点A[，2]（x[，2]，y[，2]）也必在直线BC上.于是，连线A[，1]A[，2]就是边BC所在的直线.
解得
x[，1]＝6，y[，1]＝0.
即点A[，1]的坐标是（6，0）.同理求得，点A[，2]的坐标是（2/5，4/5）.根据两点式求得直线A[，1]A[，2]即直线BC的方程是x＋7y－6＝0.
由方程组
解得点B的坐标是（4/3，2/3）.同理求得点C的坐标也是（6，0）.根据两点式依次求得直线AB，AC的方程是
7x＋y－10＝0，x－y－6＝0.
故△ABC三边BC，CA，AB所在直线的方程依次是x＋7y－6＝0，
x－y－6＝0，7x＋y－10＝0.
说明 首先弄明白直线A[，1]A[，2]与直线BC重合，这是解题的关键.另外，还可设B（x[，B]，2－x[，B]）、C（3y[，c]＋6，yc），运用直线到直线的角的正切公式也可解答此例，不过比较繁难.
例2 已知两定点A（1，-1）、B（5，3），一
解法3 提示 依题意可设曲线C上相异两点 A（x[，0]＋α，x[，0]＋m－α），B（x[，0]－α，x[，0]＋m＋α）关于直线y＝x＋m对称，接着运用代点法可解.
说明 一般地，点P（x[，0]，y[，0]）在抛物线（y-b）[2]＝2p（x－α）（其中p＞0）的左侧、右侧的充要条件分别是
（y[，0]-b）[2]＞2p（x[，0]-α）、
（y[，0]-b）[2]＜2p（x[，0]-α）.余此类推
[参考练习]
1.选择题
（1）下列方程所表示的曲线关于直线x＋y＝0不对称的是（
）
（A）x[2]－3xy＋y[2]
（B）x[2]＋3xy－y[2]
（C）x[3]－y[3]＝3
（D）x[3]－y[3]＝－3
（2）曲线2x[2]－5xy＋2y[2]＝3关于（ ）.
（A）点（1，1）对称 （B）x轴对称
（C）y轴对称
（D）两直线y＝±x对称
2.填空题
（1）已知
ABCD的两个定顶点A（15，-1）和C（10，14），点B在直线2x－y＋31＝0上移动，则点D的轨迹方程是__________.
（2）椭圆x[2]/4＋y[2]＝1关于直线x－2y－2＝0对称的椭圆的方程是_______.
3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上任意点，｜MF｜的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在以y＝x为轴的对称点M[，1]和M[，2]，且｜M[，1]M[，2]｜＝4/3
，试求椭圆的方程.（2001年哈尔滨、长春、沈阳、大连高三联考试题）
4.已知抛物线C：y＝αx[2]－1和直线l：x＋y＝0.若抛物线C上总存在关于直线l对称的两点，试求实数α的取值范围.
5.已知双曲线C的实轴在直线y＝2上，由点A（-4，4）发出的三束光线射到x轴上的点P、Q及坐标原点O，被x轴反射恰好通过双曲线的左焦点F[，1]、右焦点F[，2]及双曲线的中心M.若｜PQ｜＝4，又过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为8/9，试求双曲线C的方程和入射光线AP、AQ所在直线的方程.
（1999年北京市东城区高三联考试题）
6.某水厂位于两河交汇处附近，紧靠两河上游叉口是一片草坪.如图，水质检测员的居室、工作室分别位于A、B两点.检测员每天从A出发先到西偏北30°的支流取一份水样，再到西偏南30°的支流取一份水样，后直接到B检测水质.为了设计折线小道APQB，已经测量A、B两点到西偏北支流与西偏南支流的距离依次是200m与500m、600m与300m.怎样设计折线小道APQB可使其行程最短呢（精确到0.1m）？
简答与提示
1.（1）选（B）；
（2）选（D）.
2.（1）2x－y－68＝0（x≠112/5）.
（2）73x[2]－72xy＋52y[2]－232x＋224y＋272＝0.
3.设椭圆的标准方程为x[2]/α[2]＋y[2]/b[2]＝1（其中α＞b＞0），易得2[2]＝｜MF｜[，max]·｜MF｜[，min]＝（α＋c）·（α－c）＝b[2]，见椭圆方程可化成4x[2]＋α[2]y[2]＝4α[2]，设直线M[，1]M[，2]的方程为y＝-x＋m，联立并消去y整理得（4＋α[2]）x[2]－2α[2]mx＋（α[2]m[2]－4α[2]）＝0，接着运用韦达定理、代点法、距离公式，可求得m＝0与α[2]＝5，故所求椭圆的方程为
x[2]/5＋y[2]/4＝1.
4.仿例5，实数α的取值范围是
（3/4，+∞）.
标签：直线方程论文;