如何在数学概念教学中实现“过程性目标”，本文主要内容关键词为：概念论文,目标论文,过程论文,数学论文,如何在论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、提出问题
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）首次将教学目标分成三个方面：即知识与技能目标，过程与方法目标，情感、态度与价值观目标.其中把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革的最大变化之一.在以前的大纲中，都在不同程度上强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为课程目标.这样“过程与方法”不再是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标[1]，《标准》在“课程的基本理念”中涉及的“过程性目标”的论述有很多[2]，我们不难发现，以“经历”、“体验”、“模仿”、“体会”、“发现”、“探索”等为标志的过程性目标，关注他们的学习过程、学习形式、学习方法、提高兴趣、树立信心、开阔视野、培养习惯、激发创新等成了主题词，这些刻画数学活动水平的过程性目标的动词，规定了数学活动的内容、指向、目的和水平，是实现过程性目标的根据和参照.通过该目标的实现，学生不仅能掌握一定的数学知识，获得相应的数学技能，也能体验学习过程中产生的积极情感，形成正确的价值观；更重要的是，在积极参与学习的过程中，学生能够把握方法、形成能力、发展应用意识和创新意识等.
“过程与方法”是课程目标，但如何实现这一目标呢？由于缺乏相关的经验，很多教育学和心理学方面的理论也是从理论层面宏观论述数学学习的过程；更重要的，由于受升学等评价机制的约束，教学实践中一线教师常常矛盾与困惑，因此研究和开发出一些过程性目标的教学途径也就成为一个教学中迫切需要解决的问题.下面就数学概念教学中如何实现过程性目标谈谈自己的认识.
二、理解“过程”
数学概念是数学知识的细胞，也是思维的单元，也是学生在学习数学中赖以思维的基础.有学者提出数学概念教学的三种模式[3]：
（1）概念形成模式，如“指数函数”概念，见图1.
（2）概念同化模式，如“平面向量的数量积”概念，见图2.
（3）问题引申模式，如统计中的“独立性检验”概念，见图3.
从数学教育的角度出发，概括上面概念教学的三种模式，高中数学概念教学过程大致可分为三个阶段：
（1）发现过程，即辨别各种刺激模式，分化出各种刺激模式的属性，概括出各种刺激模式的共同属性.
（2）完善过程，即在特定的情境中检验假设，确认关键属性，概括，形成概念，用习惯的形式符号表示新概念.
（3）应用过程，即将新旧概念进行归类整理，并按照相应的类属关系进行编码，从而形成一个合理有序的概念系统[4].用三个阶段来分析课程内容中体现的“过程”含义，将有助于我们实现过程性目标，并深刻理解《标准》将“过程与方法”作为课程目标具有深刻的数学教育价值.
因此，教学活动的设计只有从数学概念的形成过程出发，并符合学生学习数学的认知规律，让数学概念的习得过程充满质疑、判断、比较、推理等多样化的活动，把数学教材中形式化的表述顺序颠倒过来，把数学知识的学术形态转化为生动活泼的教育形态（张奠宙先生语），才能有效地促进数学学习，这也是数学教育最有价值的地方.
三、实现过程性目标的实践途径
由此可见，在高中数学的核心概念构建中要实现过程性目标，必须通过让学生经历特定的数学活动来完成.那么特定的数学活动应具备哪些条件？在这些特定的数学活动中又如何实现过程性目标？
1.数学活动应建立在学生的“最近发展区”上
所谓“最近发展区”，维果茨基是这样解释的：学生发展有两种水平：一是已经达到的发展水平，表现为学生具备独立解决问题的智力水平；二是他可能达到的发展水平，在这种水平下学生需要借助成人的引导、帮助，才能解决问题.维果茨基把儿童的这两种发展水平之间的距离定义为最近发展区.
维果茨基的最近发展区理论强调了教学在儿童发展中的主导性、决定性作用，揭示了教学的本质特征不在于“训练”、“强化”业已形成的内部心理机能，而在于激发、形成目前还不存在的心理机能，这就是说，数学教学活动要关注学生的个性知识和直接经验，必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验之上，把学生的个人经验和现实世界作为数学活动的重要资源，以学生的发展为本，从学生的生活经验和知识经验出发，根据学生的年龄特点和心理发展规律选材料[5].
案例1 任意角的三角函数定义[6]
回顾在直角三角形中锐角α的三角函数定义.
初中关于正弦的规定，其实是给出了锐角α的集合到其终边上的点的坐标比的一种对应：
α→
即f：｛锐角｝→｛比值｝.
（1）任意锐角.都有相应的坐标比与之对应吗？
（2）如果能，对应的坐标比大小唯一确定吗？
问题2 能否将锐角的正弦推广到任意角的情况呢？即对任意角α的终边上的任意一点P（x，y），对应关系f：｛任意角｝→｛比值｝，也即α→
能否作为任意角的集合R到比值集合C的函数呢？
问题3 模仿问题1，逻辑地证明比值与点P位置无关，即具有唯一确定性.
问题1的两个小问是相关联的，都指向函数的本质：任意性和唯一性，通过问题的讨论，以达到在学生已有的知识和方法的基础上分化出函数的属性，为进一步推广到任意角做准备，问题2让学生分组讨论，关键是感受函数定义中的“任意性”和“唯一性”，即任意角都存在某个比值与之对应吗？对应的这个比值大小唯一吗（与点在终边上的位置无关）？问题2的解决，有利于概括出任意角的对应关系的共同属性.另外，不同于问题1，问题2的提法合并了两小问，意在提高学生的概括水平，问题3要求学生将直观感知用严谨的证明表达清楚，这是数学形式化的要求，也是概念教学中最重要的环节之一.
学生的“最近发展区”也是动态变化的.当学生理解了任意角的正弦函数的定义后，通过类比，任意角的余弦函数、正切函数的定义可以在新的认知基础上提出——根据笔者的教学实践，任意角的余弦函数和正切函数定义的“发现”往往是由学生完成的，这说明，本节课实现了“过程性目标”，即学生从“经历”、“探索”而实现了“模仿”与“发现”.
教育心理学家奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》的扉页上写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之日：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么.要探明这一点，并应据此进行教学.”在进行教学设计时，为了帮助学生顺利进行提出问题、解决问题的活动，活动的设计就要尽可能简单、直观，并与概念的原型的特例情况相联系，以便于学生思维活动的顺利展开，有利于他们进行观察、归纳、概括、抽象等数学活动，有利于概念的形成.
2.数学活动应该紧密联系实际，使之成为主动的和富有个性的过程
数学活动使学生的学习方式不再是单一的、枯燥的题型加题海的解题学习，它应该是一个充满生命力的过程.数学活动紧密联系实际，让学生经历数学化的过程，可以体现数学素材与已有的知识和生活经验之间的紧密联系，使学生有充分的时间和空间来“经历……过程”，“体验……过程”，“探索……过程”等，让学生通过自主探索、亲身实践、合作交流等小组活动亲身经历将实际问题抽象为数学概念（模型），并进行解释与应用的多重过程，发展学生从数学角度认识问题的能力、抽象思维能力和应用数学知识和方法解决问题的能力，这实际上倡导的是“做数学”和“用数学”，强调的是体验和感悟数学，理解和应用数学，因此，让学生在数学学习中“动”起来，是改革学生学习方式的重要途径.
案例2 独立性检验[7]
师：在初中和高中的必修部分，我们学习了部分统计知识，本节课老师将与大家一起研究统计在实际生活中的一个应用案例，下面我们作一项现场调查：你喜欢数学吗？
教师在课堂上先个别调查，“妄下结论”而激起矛盾，启发用统计思想在全班即兴调查，随后将学生课前已完成的全年级的调查表“发布”出来，供本节课研究之用——建立2×2列联表，引入独立性检验.
本活动围绕主题，通过课前的分工实施高二全年级的调查统计和本节课的即时调查统计，让学生参与了数学概念“独立性检验”的建立全过程，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹，活动的过程生动活泼，学生主动参与，极富个性，充满生命力.
因此，数学活动应尽可能开放，并富有挑战性，应当能够激发学生的探究欲望，包括主动提出问题，为了解决问题而进行探索、发现，建立数学概念的整个过程.要改变传统数学课程严格按照学科体系展开，内容条理化和形式化，学生只能被动参与，只注重数学题目的计算和解答，完全不考虑数学概念的形成过程.
3.数学活动中教师的角色是引导者、组织者和学生学习活动的合作者
杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说，人们通过心智结构使所学习的数学概念产生意义.他的APOS理论是对皮亚杰反思性抽象的扩展.其中的四个字母分别表示理解数学概念（特别是抽象的数学概念）的四个阶段：A—Action（活动），P—Process（程序），O—Object（对象），S—Schema（图式）.APOS理论的一个假设是：数学知识是个体在解决所感知的数学问题的过程中获得的，个体依序建构了心理活动、程序和对象，最终组织成用以理解问题情境的图式结构，根据APOS理论提出的教学理念认为，教师在数学活动中的作用是帮助学生认识到他们已经建立的数学结构，并把这些结构与其他数学概念联系在一起，从而构建新的结构去处理新的问题；将教师的角色从信息的传播者转变为导师与助手；注意收集学生的想法、错误和成功之处，努力去理解他们；给学生一个自己去发现数学概念的机会；创建一个具有良好社会互动氛围的学习环境[5].
APOS理论提出的教学理念与《标准》所倡导的教师角色的转变不谋而合.教师首先是转变自己的角色和心理定位.教师不仅是知识的讲授者，还应该是课堂教学的引导者、组织者和学生学习的合作者、评判者，是数学活动中的顾问、辩论会主席、对话人、咨询者等多方面的角色.数学活动是“师生学习共同体”的活动，教师在活动中的作用是引导学生的学习，激发学生自己去学习，帮助学生通过自己的思考建立起对数学概念的理解力，帮助学生构建和发展认知结构.
案例3 参数方程的引入[8]
师：在教室内建立平面直角坐标系：每一个同学对应着第一象限的一个格点，第一排同学的纵坐标是l，第一列同学的横坐标是1，相邻两个同学的间距是1个单位.请每位同学确定好自己的坐标，下面我就按坐标来提问.（此时全班同学兴奋地忙着确定自己的坐标）
围绕参数方程引入的问题串，教师让坐标为（2n-1，n+1）的学生逐一回答，而这些学生的位置在一条直线上，从而学生感悟到直线参数方程的形成过程.
在这个引入案例中，犹如鲁迅先生的小说《药》的结构，教师设计了两条问题线：一条是明线，即复习简单的解析几何问题，为后面讲解直线的参数方程与直线上点的坐标的对应关系作准备；另一条为暗线，被提问的同学依次在一条直线上.当第四次提问时，两条线交汇了，暗线浮出水面，并引起全班同学激烈的思维冲突.冲突中学生体会到了学习参数方程的必要性，讨论中学生准确理解了参数方程的概念及引“参”的意义.
确立“让师生成为‘学习共同体'”的理念，也是《标准》的理念对师生关系的再认识和新发展.在这个理念的指导下，做到以“师生的民主和谐”为关键、以“教师的角色转变”为策略，努力构建“学习共同体”的师生关系：把学生置于活动之中的“机关”，营造一个激励探索和理解的气氛，为学生提供有启发性的讨论模式.在学习共同体中，教师要鼓励学生表达，并且要在加深理解的基础上，对不同答案展开讨论，引导学生分享彼此的成果和思想.教师角色的转变对教师寄予了更高的要求、更大的责任和期望，那就是教师要设计和组织好实现过程性目标的有效数学活动.
4.强调“反馈一调节”机制的应用，有效监控数学活动
任何有计划的活动都需要有一个调控机制，这样才能使活动目标有效达成，否则是“脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里”.为了使数学活动维持在最佳状态，并且在这个状态中实现“过程性目标”，达到教学的高效益，“反馈—调节”机制的使用是必需的.
所谓“反馈—调节”机制，就是能够利用恰当的方法来检验学习的过程和结果，对学习过程保持良好的批判性；根据检验的结果，及时调整学习进程，采取新的学习方法，或者把学习推向高一层次.例如，遇到难以理解的抽象数学概念时，能及时应用具体例子帮助理解；或者在解决具体问题陷入困境时，“回到定义中去”；用某种方法进行学习或解决问题感到困难或比较繁琐复杂时，能及时调整思路，设法寻找新的方法，使学习进入高一层次.“反馈一调节”机制实际上就是通过及时调控，始终使学生在自己的思维“最近发展区”内活动.
在“反馈—调节”机制的使用中，学习目标一定让学生清楚地知道，只有这样才能使学生把握学习的方向.一般地，在构建高中数学概念的数学活动中，掌握数学概念的内涵（知识点），领悟概念所反映的数学思想方法，建立相关知识的联系，学会数学地思考与表达等，应成为基本内容，最重要的是要形成数学的思维方式.在学习目标的指引下，教师提供适度的学习指导，让学生有目的地开展阅读、观察、实验、类比、联想、归纳、推理以及交流等活动，师生互动，“问题—操作、思考—回答”等，形式多样，把握好指导的“度”，保持认知要求.
在“反馈—调节”机制的使用中，非常重要的是学生自我监控的参与，因此这是一个涉及“元认知”的问题，对于提高学生的概括能力，特别是思维能力是至关重要的.
四、实现过程性目标的反思
“过程性目标”的实现是通过数学活动来完成的，特定的数学活动设计要依此条件来完成，实施也要依此条件来实施.本文主要研究高中数学概念构建中实现“过程性目标”的实践，除此之外，高中学生的数学原理的学习、数学思想方法的渗透、数学技能的获得及应用等过程，无疑也是实现“过程性目标”的重要途径.研究性学习或称“课题学习”的开展，让学生动手实践、合作交流、阅读自学等，显然有助于实现“过程性目标”.
然而，正如本文前述“现状分析”，不可否认的是评价方式制约着广大一线教师的教学思想和行为，以纸笔方式为主的考试中，如何反映学生的思考过程仍然是一个棘手的问题.所以说改革现有的评价方式，从单一的笔试分数转变为评价的内容、评价的方法和评价结果的综合多元化，由过分关注对结果的评价转向关注对过程的评价，方能最终实现“以学生的发展为本”的教育目标.