矩阵教学的困惑与收获_矩阵论文

矩阵教学的困惑与收获，本文主要内容关键词为：矩阵论文,困惑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

矩阵是新课程理科加试部分新增内容，由于其内容在传统教材中从未涉及，大部分教师也只是在大学里接触过矩阵内容，因此教学中经常出现争论现象.现将矩阵教学过程中的困惑和收获整理成文，供参考.

一、四点困惑

1.矩阵如何在学生原有的认知结构中自然生长

矩阵内容相对独立，虽然它由向量引入，而向量其实也是新增内容，且矩阵中的向量没有涉及必修4中向量的各种运算，而仅借用了向量的外壳，因此它们的联系事实上是不够紧密的，矩阵与其他传统知识的联系更疏远.因此教师在教学过程中很容易将它孤立起来，机械地、照本宣科地实施教学任务，教完后不会像函数、方程、三角、数列等知识那样在后续教学中反复出现.学生在高二下学期用三周时间将它学完，在高三最后阶段做两套练习，此外就极少接触到矩阵.很多学生将矩阵比喻为“鸡肋”，一看就会，一过就忘，食之无味，弃之可惜.

《高中数学教学参考书（矩阵与变换选修4-2）》（下称《教参》）指出：《矩阵与变换（选修4-2）》作为《普通高中数学课程标准（实验）》中的一个专题进入中学教学，首先要对之进行正确定位.从教师教学来说，要注意到选修4-2不是大学教材中矩阵内容的简单下放，不是通过行列式、线性方程组的求解来引入和展开矩阵相关知识，而是通过平面图形的变换来讲解常见简单的二阶矩阵，把矩阵作为一个研究平面图形变换的基本工具，作为广泛意义上的一种“代数”来学习和介绍.因此矩阵的实质就是几何变换的代数表示.虽然本专题相对独立，但与向量、视图、直角坐标系下的几何变换联系相对紧密.由此可见，不能孤立地教学矩阵，要使学生将矩阵的核心思想融入已有的认知结构中去.如果教师不能有意识地将矩阵纳入学生不断扩张的认知结构中去，那么矩阵就成了增加学生负担的内容，而不是提高数学素质的内容.

如何让学生在学矩阵时有种似曾相识的感觉，恍然大悟“原来这就是矩阵”，如何润物细无声地使矩阵在学生原有的认知结构中生长，使之成为巩固、优化学生认知结构的内容呢？这就是中学教师在教学中碰到的一大困惑.

2.矩阵如何与信息技术整合

《教参》指出：本专题教学中应当充分使用信息技术，而且本专题中也确实有很多内容适合使用信息技术.信息技术在表现图形变换和处理数据方面有独到作用，因此，只要条件许可，应尽可能地使用信息技术开展教与学的活动.教材中也多次提到矩阵与信息技术的联系.如：矩阵与计算机图像显示的清晰度、与计算机动画的逼真程度的关系，矩阵在几何画板和Excel中的应用等.但矩阵与信息技术是不同的，在信息技术中应用的矩阵，不论是图形变换还是数据处理，都是一项浩大的工程，要涉及大量细枝末节的技术问题.而高中数学中的矩阵不会让学生过多地纠缠于这些细节，而是让学生感受矩阵的思想方法和矩阵在日新月异的科技中的应用.体验矩阵在解决问题中的作用，通过模仿、操作、探索，学习矩阵表达问题的过程与方法，体会矩阵的基本思想及其重要性和有效性，发展有条理地思考和表达的能力，提高逻辑思维能力.

当然，矩阵教学也不能脱离信息技术.如何整合矩阵与信息技术，将两者有机地结合起来，使矩阵既有传统数学的严谨性，又不乏现代信息技术的活泼性，使传统特色与现代气息完美结合起来？用什么方式结合，结合的相对比例是多少？这又是中学数学教师的一个困惑.

3.矩阵思想方法如何自然地在高中教学中渗透

《教参》指出：本专题不仅重视新知识与已有知识的联系、数学与实际的联系，而且还重视数学思想方法的渗透.本专题所涉及的数学思想方法有：符号化思想、映射思想、数形结合思想、类比思想、算法思想、数学化思想和数学建模思想.本专题不仅仅局限于数学知识层面的传承，更注重数学文化层面的延续和传播，使学生在学习矩阵知识的同时，能够接受数学文化的熏陶，从而形成良好的数学情感体验.

高中数学教学需要让学生站在较高的层次上解决问题.矩阵思想方法的渗透和研究是必要的，作为数学文化的一部分进行传播也是必要的.但这种渗透和传播如何做到“随风潜入夜，润物细无声”，不使学生感到突兀和做作？如何让学生很自然地认识到矩阵思想方法的重要性，使之成为学生的一种意识、一种思想、一种方法、一种工具？这也是中学数学教师在教学中的一大困惑.

4.矩阵教材中的突然中断如何处理使之自然顺畅

矩阵教材中存在着该拓展没有拓展，该引申没有引申，该一般化而没有一般化的部分.比如在几种常见的平面变换中，恒等变换、伸压变换和切变变换相对比较容易理解，而对于反射变换和投影变换就比较难以理解，且有一种不安全感，原因是课本对反射变换和投影变换仅给出了描述性定义和最简单例子，没有给出一般情形下的公式及其推导方法.对于反射变换，学生根据解析几何中的推导中心对称和轴对称的方法进行推导并加以理解和记忆；对于投影变换，课本描述中仅给出了投影方向平行于x轴和y轴，投影面为x轴、y轴和y=x的特殊情形，但例题却给了一个将一条一般线段投影到另一条一般直线上.因此学生急切地想知道它的一般公式，但此处课文却戛然而止.这里给出一个一般公式或一般公式推导方法应该不难，而且从字里行间看出这应该不是编者的疏忽.这里是否应该给出一般性结论，如果给出，似有增加学生负担之嫌，如果不给，万一考到怎么办？这又是中学数学教师的一大困惑.

另外矩阵的精华部分应该是迭代和递推简化运算，但从2008年至今高考从未考过此类运算.参照高考，矩阵只要上矩阵乘法、逆矩阵、特征值和特征向量这些课即可，其他课完全可以不上.笔者曾经被迫做过一个实验，由于高二选修的是C（参数方程和极坐标），D（不等式选讲），几次模拟考试得分率均明显低于兄弟学校，因此在一轮复习结束后用三节课时间将上述内容讲述一遍，而后也进行同样的强化练习.令人惊奇的是高考中我校该题的得分与兄弟学校相比非但没有吃亏，反而还略占优势.三节课和三星期显然是不对等的，但为什么会出现这样的结果，令我们深思.这大概就是舆论经常指责我们一线教师的应试教育，考什么就教什么.固然一线教师有不妥的地方，但高考自身是否应该反思一下为什么有空子让一线教师钻？在考纲允许的范围内能否避免出现上述情形.当然笔者并非指责现今的高考，只是想建议能否将用矩阵求数列通项公式及用矩阵求概率分布等有思维量的内容纳入高考范畴.如果感觉跨度太大，能否先在数学竞赛中试验一下此类试题，然后再逐步推广到高考，因为它们才是高中阶段矩阵中的精华应用部分，不考让人感到惋惜.

二、两点收获

虽然在矩阵教学过程中碰到不少困难，产生许多疑惑，但面对新教材、新课程、新高考，我们一线教师并没有选择逃避，而是想学生所想，急学生所急，面对困难，迎难而上，群策群力，大胆革新.同时加强理论学习和方法研究，在问题被不断解决的过程中，笔者获得了一些有效的教学应对措施，现整理如下.

1.突出矩阵原理，牢牢把握矩阵教学的重点

要很好地解决以上几点困惑，首先必须明确矩阵的教学内容在数学中的地位和作用，即要明白矩阵是什么，要解决什么问题.高中阶段的矩阵与复数、向量一样，是解决二维数组（数表）及其相互之间关系的知识，是代数与几何沟通的又一座桥梁，也是进一步拓展到三维、四维，一直到n维线性空间的有力工具.其精髓是用代数方法来刻画线性几何变换.它的原理具有鲜明的概括性，解决问题具有明确的指向性，它的内容有明显的序列化思想，可操作性强.因此在教学过程中应重点突出矩阵原理，以教材提供的案例为载体着重凸显矩阵基本思想与基本变换之间的关系，提高学生的逻辑思维能力和正误辨析能力.其次体会出高中教材与大学教材的异同，明确编者如此编排的目的和意图.教材编写者如此处理是想让学生学习时能有思维抓手，不至于突兀，以向量领进门，学习靠矩阵自身.最后要认真研读高考试题，明确考纲中的重点和常考点，在新授课和高考复习中，做到有的放矢.

从近两年来的高考题看，考试重点不外乎求逆矩阵、矩阵的特征向量、特征值及矩阵乘法法则.如果学生真正掌握了矩阵原理和上述知识的求解规则和方法，应该不难将上述两个高考题解决.所以矩阵教学的重点不是复杂的线性几何变换，而是细致、有规律的规则和运算，要让学生掌握这些规则的要害，弄清矩阵乘法的计算原理，逐步优化原有的认知结构，提高学生的数学素养.

2.注重结构，突破矩阵教学中的难点

规则化是矩阵的一个显著特征，应用的广泛性和跨学科性是矩阵的又一特征.教材将矩阵分为明显的三段：矩阵的概念和几种常见的几何变换、矩阵的运算规则、矩阵的应用.对学生而言，理解的难点是几种常见的几何变换中的投影变换和切变变换，难以掌握的是矩阵在概率分布和求数列通项公式中的应用.

例3 已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色，1只白色；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色，2只白色.假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？对于本题，学生的困惑是：这道题怎么能与矩阵联系在一起，它和什么样的矩阵联系在一起，这个矩阵是如何想到的，它的行和列的排布有什么讲究，这个矩阵是否具有一般性，能否在其他试题中使用.针对学生的上述疑惑，教师可以逐一讲解：本题可以不用矩阵解决，但要厘清其中的关系，写出相应的表达式，需要费很大工夫，而用矩阵可以节约很多解题力气，节省很多解题时间.解决此类问题可以先列一张表格，而由表格基本就可以联想到矩阵.至于阵中的行和列的排布，主要取决于它的列向量代表的是哪一类元素，找出该元素，并把该元素表示的量放入列，另一个量放入行.这样的解法具有普遍适用性，不仅适用于二维数表，而且可以适用于三维、四维数表，甚至可以推广到n维数表.列表给元素找位置是解决此类问题的常用方法.

例4 自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，比如出生率、死亡率、资源可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害，等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.现假设两个相互影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为，有关系式，试分析20个时段后两个种群数量的变化趋势.