中学数学课改的十个论题（续），本文主要内容关键词为：论题论文,课改论文,中学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三、大力提高概念教学的水平
概念是思维的细胞。“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”[2]因此，我们必须十分重视基本概念的教学，在核心概念的教学上更要做到“不惜时，不惜力”。然而，当前的课堂教学，对概念教学不够重视是一个比较普遍的现象。“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，即当学生对概念还没有真正理解时，就要求学生对概念进行综合应用，许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目。更令人担心的是，有些教师不知如何教概念。这一问题必须引起我们足够的重视。
从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程。由于“数学能力就是以数学概括为基础的能力”[3]，因此重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。
一般地，概念教学应该经历如下几个基本环节：
(1)背景引入；
(2)通过典型、丰富的具体事例（尽量让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动；
(3)概括共同本质特征得到概念的本质属性；
(4)下定义（用准确的数学语言表达，可以通过阅读教材完成）；
(5)概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考查；
(6)用概念作判断的具体事例，这里要选用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判断的具体步骤；
(7)概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。
概念教学要注意以下一些基本问题[4]：
第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一；
第二，数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程；
第三，人类认识数学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在；
第四，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”；
第五，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例作判断，更准确地把握概念的细节；
第六，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”，同时建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。
例3 “反比例函数概念”的教学设计。
反比例函数概念貌似简单，但要真正理解其本质并不容易。例如，在“京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v随它的全程运行时间t的变化而变化”中，“速度随时间的变化而变化”容易引起“变速运动”的心理图式。在理解定义的过程中，要借助于“反比例概念”（当两个相互有关的量x和y在变化过程中保持其乘积不变时，称它们成反比例。记作xy=k，k为常数），还要借助分式概念，而这两个概念的理解是有一定难度的。因此，在“反比例函数概念”的教学中，如何使学生在已有“反比例概念”基础上提升，用函数观点看待和解释成反比例的两个量的关系，正确理解并能用概念作判断，还需要在一些关键点上做好文章。
具体设计如下：
问题1：我们学习过反比例概念，你能举出一些两个量成反比例的例子吗？
学生举例后教师追问：为什么你认为自己所举的例子中的两个量成反比例？
设计意图：通过学生自己举例并用概念解释，调动思维，激发思考，并从“两个量在变化过程中”引向“变量”，“成反比例”是一种“变化规律”。
问题2：所举的这些例子（匀速运动中路程固定，速度与时间的关系；总价固定，商品单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；等等）有什么共同特征？
设计意图：让学生概括例子的共同特征是为理解反比例函数概念做基础。最终要使学生得到两个本质要素：一是有两个变量；二是变化规律都是“两个变量成反比例”。
问题3：如何用函数的观点解释上述问题？
设计意图：通过用函数概念解释上述问题，让学生体会“两个变量成反比例”上升到“反比例函数”的过程，其中主要是确定自变量和函数。例如，按照绿化率的要求，某居民小区要种植10000
的矩形草坪，以草坪的宽x为自变量，长y为函数，那么，y随x的变化而变化，给定一个宽x，长y就唯一确定了，并且对于不同的x及其对应的y，都有相同的关系
（即xy=10000的变形）。
问题4：请同学们阅读课本，并举例说明你对反比例函数概念的理解。
设计意图：让学生通过阅读课本，明确反比例函数的定义；通过举例，并用定义解释，检验学生对概念的理解情况。
设计意图：从“x与y成反比例”和“函数”两方面辨析概念。通过举反例使学生进一步明确反比例函数的两个要素。
另外，这里也包含用概念作判断的“操作步骤”：
第一步，看y是否随x的变化而变化，任意一个x是否唯一对应一个y值；
第二步，“自变量x与相应的函数值y是否成反比例”，也就是看x与y的乘积是否为常数。
例题：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6，求函数关系式。
说明：通过本例要使学生理解，只有形如
（k≠0，k是常数）的函数才是反比例函数。反比例函数就是确定k的值。
小结：反比例函数是一类特殊的函数，特殊在自变量与对应的函数值成反比例。
四、什么叫“抓基础”
“抓双基”是我国数学教学的优势，但这个优势正在逐渐丧失。其中的原因很多，但对“怎样做才是真正的抓基础”的认识不到位是主要原因之一。当前，课堂教学演变为“题型教学”，“题型教学”又进一步蜕变为“刺激——反应”训练的状况非常令人忧虑。有些教师试图用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知，没有对概念概括的过程必然会导致概念理解的障碍，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且对概念的死记硬背和对解题的机械模仿必然导致“功能僵化”，学生面对新情境时无法“透过现象看本质”，难以实现概念的正确、有效应用，质量、效益均无保障。有的教师试图通过“题型教学”穷尽“题型”，幻想通过“题型”的机械重复、强化训练，让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分数。对具有普遍意义的、迁移能力强的“根本大法”——数学思想方法的教学，却因其不能“立竿见影”而不被重视。
为了真正落实“双基”，必须提高对“抓基础”的认识水平。
第一，要强调基本概念教学的重要性，重视基本概念蕴涵的智力开发价值，主要是充分挖掘基本概念蕴涵的数学思想方法的教育价值，“无知者无能”——学生数学能力不强的主要根源在于没有掌握数学基本概念及其联系；第二，要让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯；第三，要加强概念联系性的教学，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来自于概念联系通道的顺畅。
“基础”是发展的“根”和“本”，根深才能长成参天大树，本固才能立于不败之地。
例4 关于“配方法”的教学思考。
在处理各种代数问题时，我们总是运用各种代数运算来分析量与量之间的代数关系。由于不定元（字母）代表数，因此代数问题中所处理的字母符号满足数系通性。而配方法的要点就是应用任意实数a都有
这一简单、常用的“基本事实”来解决各种“二次问题”。
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数在初中数学中占有重要地位，是初中数学当之无愧的核心概念，而配方法则是处理这“三个二次”的基本工具，善用配方法是处理好“二次问题”的根本。
那么，如何加强配方法的基础地位呢？笔者认为，首先要让学生理解配方法的概念、理论依据和操作步骤，然后在处理“三个二次”的过程中，逐步形成应用配方法解决代数问题的“基本套路”。其教学要点如下：
(1)“配方法”的教学，需要明确如下三点：
概念：“配方”就是把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子，即
步骤：以“二次”为基点，①二次项系数变为1；②加上并减去一次项系数一半的平方。
(2)一元二次方程求根公式的推导，经历如下从特殊到一般、由单一到综合的过程：
说明：因为这是后续所有讨论的基础，所以这里一定不能因为“简单”一带而过，要让学生经历概括的过程。
说明：这一过程是从特殊过渡到一般的中间桥梁，应当让学生经历用配方法将
化归为最简形式的全过程。教师只要提出问题，不必讲解，由学生独立完成。
③推广到一般情形。对于
，通过与“变式”的比较，得到利用配方法化归为
再求解的思想方法，并让学生独立思考，自己推导出求根公式。
在“一元二次方程求根公式”的教学中，要让学生体会到研究“二次问题”的一个“基本套路”：从最简单的情形开始，从特殊到一般，逐步将复杂问题化归为简单问题。在化归过程中要注意化归的条件（完备性，这是对思维严谨性的训练）。
(3)二次函数
的图象与性质的讨论，沿用一元二次方程求根公式的“套路”：
一脉相承的思想方法：“化归”到前一种情况。
研究工具：配方法。
当然，函数所研究的问题比方程要复杂，所以这里也要注意概括研究的基本问题，如开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等，还要通过实例让学生感受为什么要研究这些性质。
实际上，“配方”的目标是在某个元是“二次”的前提下配成“完全平方式”，以便应用实数平方的“非负性”。这种方法不仅简单，而且可以“程序化”，因此好用，其灵活性也完全因此而生。例如：
一个方程两个未知数，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”。因为是“二次”，自然想到“配方”为“完全平方式”，利用“非负性”化归为方程组。
顺便提及，许多教师对“十字相乘法”情有独钟，但它实际上只是代数变换中处理一类特殊问题的一种技巧，不像配方法具有内在的“基本套路”，更没有配方法那种大巧若拙的品味。
五、怎样才是真正“教完了”
当我们强调课堂教学中要让学生经历概念的发生过程时，经常会听到一些教师疑虑：“这样能教完吗？”于是就给学生吃“压缩饼干”，基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程，没有经过独立思考而概括出概念和原理，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就让他们做高难度的题目。调研发现，这种现象在实际教学中越来越严重。
在匆忙完成的基础知识教学中，教学的“准”“简”“精”都会出问题：不“准”——没有围绕概念的核心，或者教错了；不“简”——在细枝末节上下工夫，把简单问题复杂化了；不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。
例5 “整式的概念”教学中使用的一组不适当的练习题。
在一次调研中，某教师在课后练习中布置了如下一组练习：
令笔者疑惑的是，教师为什么要布置这组题目。学生没有学比例式、分式、指数式等概念，能理解题意吗？然而任课教师的回答是：解答这些题目的方法反映了常用的代数解题技巧，其中有“变量代换”“整体思想”“几个非负式的和为0，那么它们都为0”“齐次式”等重要方法和变形技巧，这些是考试的重点，要让学生尽早接触，强化训练。
在应试教育的背景下，教师的做法似乎有道理。但退一步讲，即使为了考试，也要讲求训练效果。在代数式学习之初，要求学生用“变量代换”“整体思想”等解决问题，能收到好的效果吗？课后访谈发现，大多数学生不能理解题意，独立解题就更无从谈起了。有的教师说，在给学生讲变形技巧时，他们都能听懂，在此基础上通过训练，熟练了就好了。似乎有道理，而且确实“教完了”，但学生理解多少呢？这样“教完”，除了让学生记住技巧，短时间内能应付考试，还有什么呢？当然，这样的教师还是负责任的，但这是“好心办坏事”。在不适当的时候用不适当的方法讲技巧，增加了学生负担，鼓励了机械模仿、记忆式学习，并且还可能把学生“教糊涂”。
不重视基本概念的理解，把主要精力放在技巧训练上的做法，不仅导致学生的基础不扎实，缺乏可持续发展的后劲，而且还使学生陷于机械重复操练，养成死记硬背的不良学习习惯，导致厌恶学习。这是严重违背教育规律的，必须得到纠正。
“教完了”应以学生是否理解为标准，特别是以学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意：双基包括数学概念、定理、公式、法则等以及由内容反映出的数学思想方法），而不是以教师在课堂上有没有把内容“讲完”为标准。