马克思—斯拉法模型与固定资本：兼论剑桥方程式的成立条件，本文主要内容关键词为：马克思论文,方程式论文,模型论文,资本论文,条件论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F032.1 文献标识码：A 文章编号：1003—5656(2014)05—0005—13 我们知道，固定资本即使在生产过程中所发挥的功能一样，但若役龄(或年龄)不同，应该要根据它的不同年龄予以区别。0岁的固定资本在使用1年后即变成1岁的固定资本。这就是说，在使用固定资本生产商品的生产过程中，生产出一般商品的同时，也生产出了比投入的固定资本年龄大1岁的固定资本。也就是说，这个生产过程生产了两种或者两种以上的商品，它是一个联合生产过程。这样我们就可以把固定资本问题放在联合生产体系中进行分析和考察。最早提出以年龄的概念来区别固定资本的是斯拉法(Sraffa，1960)[1]。① 本文首先考察包含固定资本的再生产问题，以及基于等式定义的均等利润率、均等增长率的成立条件问题。以下导入的包含固定资本的均衡生产价格与均衡数量体系的框架均是以预付工资为前提，从这个意义上来讲是马克思的范式，而从一个联合生产的角度来分析和考察固定资本问题，从这个意义上来讲是斯拉法的范式。因此，我们称此为狭义的马克思—斯拉法模型。②置盐—中谷(Okishio and Nakatani，1975)[3]按照斯拉法的思路对这种狭义的马克思-斯拉法模型进行了简化，即把原来的包含新、旧固定资本的联合生产体系简化成了仅含有新品的子体系。我们可以称这个子体系为斯拉法—置盐—中谷经济(SON经济)(Asada，1982[8]；Li，2012[9])。实际上，在这个子体系下，以净利润定义的利润率和积累率并不满足剑桥方程式(李-藤森，2010)[10]。本文的后半部分将明确该如何定义利润率和积累率才能使剑桥方程式得以成立。 二、理论框架 (一)仅有1种固定资本的再生产模型 我们先来考察存在固定资本的均衡生产价格和均衡增长问题。在此，我们采用一个最简单的分析框架：生产资料只有固定资本，而诸如原材料等的流动性生产要素在此先忽略不计。 再生产的1个周期以年来计。劳动为同质劳动。令新品的固定资本的种类为1种，折旧年限为3年。即，此商品在0岁、1岁、2岁的生产过程中作为固定资本发挥它的作用，年龄到3岁时进行报废处理。这里假设报废成本为零。如果把年龄不同的固定资本看成是不同的商品，实际上这个经济中从形式上来看存在3种固定资本。0、1、2岁的固定资本依次记为商品1、2、3。若不同年龄的固定资本的效率都一定的话，那么各个不同年龄固定资本的投入系数也是一定的。 假设固定资本的生产只需要固定资本和劳动。令固定资本的投入系数为k，劳动系数为l。 由0岁固定资本和劳动构成的生产过程生产新品商品的同时，产出1岁的旧固定资本。若就单位新品商品的生产进行标准化处理，那么就有以下3种生产过程并存。即：
(二)2个部门4个商品的模型 我们把以上的框架应用到由固定资本品生产部门、消费品生产部门的2部门组成的经济中。原材料在此仍然忽略不计。③固定资本部门、消费品部门各存在3个生产过程。消费品部门的主要生产物是消费品，同时联合生产旧固定资本。如前所述，0岁、1岁、2岁的固定资本依次标为商品1、2、3。消费品为商品4。 令投入新品固定资本时的投入系数分别为
。部门1和2的生产过程的投入系数、劳动向量、产出系数可用矩阵和向量的形式作如下表示：
(三)生产价格和活动水平均衡 令价格向量为
，跟4个商品体系对应的工资品向量为f，且ω=pf，定义均衡利润率π的均衡方程式是： pB=(1+π)(pA+ωL) (5) 我们再来考察一下经济在均等增长率下增长的状态。正如A、B、L所示，它们的每一列都对应着一个生产过程，我们知道并存着6个生产过程。从左边依次标为过程1、2、3、4、5、6。经过一定的时间后这些生产过程会恒常性地并存。就生产过程的生成过程而言，过程1由投资而被生成后，过程2、3也依次被生成。过程4、5、6的生成关系也同理可得。因此，只要生成了过程1和过程4，那么会自动地生成过程2、3以及过程5、6。 现在考虑一个组成过程1和过程4的投资以年率g扩大的均等增长的情形。 令与A、B、L对应的活动水平x为如下向量：
考虑与之对应的非生产性消费向量u，则均等增长方程式可表示为， Bx=(1+g)(A+fL)x+u (6) (四)简化体系 我们继续使用以上讨论的简单模型，来阐明可以在简化后的体系中进行均衡决定的问题。这种简化方法最初由斯拉法(Sraffa，1960)[1]65提出，之后由置盐—中谷(Okishio and Nakatani,1975)[3]从形式上对其进行了一个更为简练的重构。
在价格均衡中首先需要关注的问题是不同年龄固定资本的均衡价格比率。我们知道在固定资本的更新理论中，不同年龄固定资本的实际价格比率只直接依赖于折旧率(藤森-李，2010)。这里，首先要阐明它与马克思—斯拉法框架中所决定的价格比率的一致性。 取以固定资本为主要生产物的生产部门，表示各个生产过程均成立的均等利润率的方程式(7)-(9)变形后可得：
这些公式两边相加整理后可知，消去了旧固定资本的价格，最后只出现包含新品商品的价格的公式，我们将这个公式表示为：
出现在右边的固定资本费用的系数部分
(π)称为折旧率。折旧率依存于残存的折旧年限。更为准确地说，令残存的折旧年限为τ时，有
这样，折旧率依存于利润率被决定，而不同年龄固定资本的价格比率则依存于折旧率被决定。 旧固定资本的均衡价格的决定公式(14)有着重要的意义。即， (1)由均等利润率规定的均衡体系中，折旧率是依存于利润率来决定的； (2)对于这样的一种折旧率，不同年龄固定资本的均衡价格跟固定资本的动态更新过程中决定的不同年龄固定资本的实际价值相一致(藤森-李，2010)[1]。 这样我们就可以知道，固定资本的更新运动中所决定的不同年龄固定资本的价格比率，与马克思—斯拉法模型中决定的均衡价格比率是一致的，二者是吻合的。 附言之，生产技术系数直接影响到均等利润率的形成，而对不同年龄固定资本的均衡价格比率而言只不过是一种间接性的影响。 前述的折旧率以及以此为基础的旧固定资本价格的计算中，我们知道价格决定体系可以简化到只含新品商品生产的决定体系。也就是说，联合生产体系可归结到一种非联合生产体系当中。即，令
新品商品的价格为
，那么价格均衡可表示为：
这里的
，τ是0岁固定资本的折旧年限。 系数矩阵部分可归纳表示如下：
若只就均等利润率的决定问题而言，那么只需考虑新品商品体系就可决定均等利润率。④ 同样，式(6)也跟前述的生产价格均衡的简化过程一样，可简化到只包含新品商品的体系。即，式(6)可详记如下：
更新系数与折旧率虽然名称上不一样，但从形式上看都是一个相同的函数
，区别在于它的第一个参数的值是利润率还是增长率。通过计算它的微分系数，显然可知
是π的一个递减函数。 若仅就均等增长率的决定问题而言，我们知道只有新品商品的决定体系是一个封闭体系。 因为简化方程式中的系数矩阵是非负矩阵，所以可以应用Perron-Frobenius定理，讨论均衡所具有经济意义等问题。简化过程中被消去的旧固定资本对新品固定资本的价格比率可以通过折旧率来决定。原来的马克思—斯拉法模型的生产价格(5)中，存在正的价格比率p。 从生产价格角度来看简化过程只是一个简单的有理运算的反复操作，所以简化之后的体系的均衡决定跟原来的体系的均衡决定是等价的。对于数量(6)而言，也是一样。 消费品通常都是以新品的形式生产出来，而固定资本存在作为联合生产物的旧固定资本的产出。我们也可以将体系简化到旧固定资本的体系。 比如说，考虑最高年龄的固定资本，可以以价格(
)为目标来进行简化。 从数量方面来说，可以最高年龄的固定资本的数量为主进行简化。如果是在增长率g之下进行均等增长的话，那么对新品固定资本的数量，最高年龄固定资本的数量由
来确定。 这样，以最高年龄固定资本为目标来简化，生产价格体系可归结为：
最高年龄固定资本不会再联合生产比它年龄更大的固定资本，所以它所发挥的作用跟原材料等流动资本没什么两样。因此，简化的公式跟不存在固定资本情形的公式从形式上完全相同。 (五)斯拉法、置盐—中谷的简化方法的一般性概括 我们可以从一个更为一般的角度概括一下上述介绍的斯拉法、置盐—中谷的方法的形式上的特征。 在新品的状态下被看作是同一种类的商品一般被认为是属于同一商品种类，而生产这种商品的生产过程的集合我们称之为部门。旧固定资本被联合生产时，根据投入k岁固定资本的生产过程联合生产k+1岁旧固定资本的这个概念，每个部门都存在着固定资本的组成各不相同的多个生产过程(置盐-中谷，1975)[3]。 新品(年龄为零)状态的同一商品看作是同种商品。一般来讲，存在固定资本时，同种的固定资本也会因年龄的不同而被看作是不同种类的商品。 某个商品为主生产物的部门中，关于固定资本的投入，最初是从只有新品商品的组合(生产过程1)出发，随着各个固定资本年龄的增加，生产过程会顺延至继其之后的生产过程(过程2，过程3，……)。在此过程中达到折旧年限的固定资本由新品固定资本替代，进而又生成下一个生产过程。部门的最后一个生产过程由使用后即被报废的最高年龄的固定资本组成。这种生产过程群的生成方法称为生产过程的衍生生成法。此时，部门的生产过程的总数由被使用的不同种类固定资本的折旧年限的最小公倍数来决定。 为简单起见，假设所有部门的所有种类的固定资本都被使用。每个部门都具有同等数量的生产过程。若有未被使用的固定资本的存在，那么意味着那一列都由0组成，可以忽略不计。这不影响我们以下的分析。 非耐久性资本品可看成是折旧年限为1年的商品，我们这里取一个只有固定资本组成的简单模型作为例子。 固定资本有2种，令其折旧年限分别为3年和2年。商品有5个，每个部门都有6个生产过程，2个部门一共有12个生产过程，可知产出和投入系数矩阵B，M都是一个5×12的矩阵。部门j的投入产出关系可表示如下：
取由固定资本折旧年限的最小公倍数来规定的高阶多项式
，…，μ，1，组成对角矩阵L的对角元素，进而再组成一个量纲更大的对角乘数矩阵Λ，这个对角乘数矩阵的对角元素由L构成，L的个数则由新品商品的种类数来确定。将Λ右乘矩阵B-μM。即，令
跟旧固定资本的投入产出相关且与各行邻接的元素
取决于旧固定资本的联合生产范式及特征。 在此，从各部门的最后一列到最开始一列，进行一个j列加j-1列操作，对
整体进行这种列基本运算。这样，对应
各部门的最开始的生产过程的列中，只有新品商品的行出现非零成分，而其他成分都为零。 首先来进行一个行交换操作，即把对应于新品商品的行集中到矩阵的最上部分。其次再进行一个列交换操作，即把各部门最先开始的生产过程(新品固定资本的组合被投入的过程)排列到矩阵的最左侧，我们知道最初的2行2列相交叉的部分被区划出来，并与其他部分相独立。
这个左上角的块就是斯拉法及置盐—中谷的简化过程中出现的仅由新品商品组成的子体系的生产价格方程式的系数矩阵。 这里需要注意的是，一开始右乘的对角矩阵，及对应列基本运算的基本矩阵是非奇异矩阵，所以原来的矩阵束B-μM的秩在上述的各项操作后仍然会保持不变。 第3列和第6列进行对换，这样最初的5列变为正方形，其对角线下方的部分均可进行让它变为零的运算。即，对左上角的块再进行一次三角化运算，让对角线下方变为由0组成的三角块。也就是说，(1，1)成分乘到第2行，(2，1)成分乘到第1行，然后再将第2行和第1行相减，这样(2，1)成分就会变为0。
的秩由上述矩阵的第5列的组合来决定。实际上，(5，3)的成分可以通过第3行和第5行的行基本运算使得它变为0。虽然第5行的第6列以后增加了非零成分，但并不会影响秩的运算。而第6列以后的列的成分也不会影响一开始的5列，通过适当的列基本运算等也可以将其消去。 这样，如果依次把以上矩阵的(1，1)成分(
)一直乘到(5，5)成分，即它们的乘积
为0，那么矩阵Z即会降秩，以矩阵束B-μM为系数的齐次联立方程式就会存在非平凡解。 降秩条件的核心在于，
是否成立。这其实就是
左上角的方块(矩阵)的行列式的值。 也就是说，判断会否降秩的μ的多项式是一个关于仅由新品商品组成的体系的多项式，从(17)式可以看到，这个多项式可决定与之相关的特征值。 换言之，斯拉法及置盐—中谷的方法中，若将以上的运算进行到最后，那么全部的价格变量会被消去，最终归结于只有一个变量(μ)组成的多项式。 总之，马克思-斯拉法的生产价格方程式是一个关于μ和全商品的价格p的联立代数方程式。斯拉法及置盐—中谷的方法是在简化的过程中把最后的变量变成了μ和新品商品的价格。它是这样的一种计算方法，即它作为变量更少的代数方程式，把问题简化到一个仅包含新品商品的特征值问题上。特征值问题最终取决于特征方程式问题即只含有μ的代数方程式问题。⑤ 由上可知，若根据可逆的正则变换和基本运算来处理，那么斯拉法、置盐-中谷的方法中所算出的所有的解即是原方程式的解。 但是，原方程式的这种简化方法并不是唯一的。⑥ 三、再论SON经济与剑桥方程式 我们来假定一个仅由一种折旧年限为3年的固定资本以及一种消费品构成的经济。 对于增广投入矩阵M，产出矩阵B而言，并存3个生产过程，可表现为：
因为经济是以一定的比率g在增长，所以部门i的有“日期标签”的固定资本的第2年、第3年的新增投入量与第1年的新增投入量满足以下关系。
这里，C是仅由新品商品构成的非生产性消费，ψ(g，τ)是更新系数，它取决于增长率。 (28)式意味着，产出的新品商品用于固定资本和工资品的更新后，还用在了积累和资本家的非生产性消费上。从数量体系的层面来看，这表示了总生产物的社会配置结构。 (二)固定资本与剑桥方程式的问题 众所周知，不存在固定资本的经济体系下，表示利润率与增长率的对应关系的剑桥方程式成立。 而包含旧固定资本的联合生产体系下，由经济整体的价格体系 pBx=(1+π)pMx 由活动水平体系(25)式可知，产出额可表示为： pBx=(1+π)pMx (29) pBx=(1+g)pMx+pu (30) “产出额-费用”即是利润总量，由(29)式可知，利润总量
为：
=πpMx 此时，令资本家的非生产性消费率为c，则积累率α可作如下定义：
进而，由(29)，(30)可知： πpMx=gpMx+pu (32) (32)式意味着，价格体系下的利润总量与活动水平体系下的利润总量是一致的。因此，表示利润率与增长率关系的剑桥方程式成立。⑧即：
g=απ (33) 我们知道，从包含旧固定资本的经济整体来计算pBx，给定利润与增长关系的剑桥方程式是成立的。从联合生产体系算出的利润率是一种“毛”利润率。 实际上，通过损益计算表(P/L)的形式来看马克思—斯拉法的联合生产体系，可简单表示如下： 若g=π，则折旧率与更新率之间不会出现偏离。此时的折旧额跟更新投资额相一致。增长率g与利润率π和积累率α(=1)的乘积相等的剑桥方程式显然成立。通过简化得到的SON经济也是一样。 我们在数量体系中所能看到的是，经济在均等增长率g之下增长时，更新系数给定了每年在机械设备的更新上需要进行多少投资，它可以看成是一个百分比。更新系数的定义式跟折旧率的定义式相同。但是它所代入的经济变量不是利润率π，而是增长率g。从经济的收益性来看应该用折旧率来计算，而从数量上来看应该用更新率来计算。 若考虑非生产性消费的存在，一般来讲有g＜π，所以更新率大于折旧率。在马克思-斯拉法的体系下，pMx和pBx的值分别是在期首和期末测定的值。pBx-pMx的差额部分包含了折旧额，所以被算在了表2的左侧，它加上净利润构成了毛利润。表2中的利润部分要求是毛利润。由联合生产体系得到的利润率是一种毛利润率。 同样，SON经济是联合生产体系的一个简化，所以它跟联合生产体系一样，利润和积累都需要从“毛”利润和“毛”积累的角度来把握。 那我们再从简化后的新品商品体系的
的角度来考察一下这个问题。通过计算新品商品的生产总量可知，折旧部分与更新部分并不一致，所以它的差额部分看似体现了简化体系存在着计算上的偏差。因此在简化后的生产价格和数量体系下，剑桥方程式并不能直接成立。⑨ (三)SON经济的剑桥方程式 由仅由新品商品组成的价格方程式
这表示了如下的关系： 净利润+折旧费=净投资+更新投资+消费 也就是说，我们需要从下面这个角度来考虑上述的各项关系。 毛利润=净利润+折旧费 毛积累=净投资+更新投资 以下，我们对毛利润率和毛积累率作如下定义： 毛利润率=毛利润/期首资本量 毛积累率=毛积累/毛利润 令t期期首的资本量为K(t)，t期期末(即t+1期期首)的资本量为K(t+1)，这样，t期的资本量的增加部分ΔK(t)即为：⑩ ΔK(t)=K(t+1)-K(t)=gK(t) (37) 从表1可知，经济是以一定的比率g在增长，故有：
由此可知，毛利润率π与毛积累率α分别为：
亦即，剑桥方程式成立。 四、小结：投入产出表与剑桥方程式 我们知道，如果明确旧固定资本的存在，那么折旧这个概念并不显得那么重要。但是若从联合生产体系中消去旧固定资本，那么折旧的计算就必不可少。旧固定资本的价格跟经济整体的相对价格和利润率有关，所以计算旧固定资本时所使用的折旧率当然也跟利润率有关。 本文所分析的此类问题的现实重要性，体现在它跟投入产出表的应用问题上。投入产出表中所计入的原则上均是新品商品，旧固定资本一般不纳入其中。它其实是一个所谓的简化体系。用这些数据进行相关计算时，需理解简化体系所包含的意思至关重要。 也就是说，投入产出表是一个仅以新品商品为对象的可包含固定资本的统计表。应该把它看成是一个被简化了的体系，因此如果不从毛利润的角度来考虑的话剑桥方程式一般是不成立的。此时，它的均衡状态必须是以包含折旧部分的毛利润为基础来考虑资本积累的一种状态。 如果给定作为投入产出表附表的固定资本的投资矩阵，那么可由它来推算边际资本系数。此时，可以把原来的投入产出表看作是简化体系，依据毛利润的概念，那么在这种均衡状态下的剑桥方程式才能成立。 ①当然，单就联合生产问题本身的分析，最早可以追溯到冯·诺伊曼(von Neumann，1945/46[1937])[2]。而最先把役龄的概念引入到联合生产过程明确分析固定资本问题的则是Sraffa(1960)[1]。继斯拉法之后沿用同样方法的文献有很多，比如Okishio and Nakatani(1975)[3]，Fujimori(1982)[4],Schefold(1989)[5],Kurz and Salvadori(1995)[6]，Li and Fujimori(2013)[7]等。 ②比如说Schefold(1989)的关于Pure Fixed Capital的分析就属于这类框架。更为广泛的包含固定资本的联合生产问题，可以参照Li and Fujimori(2013)[7]。 ③这些部门虽然都联合生产旧固定资本，但作为主要生产物只有固定资本和消费品，从这个意义上我们称其为固定资本生产部门、消费品生产部门。 ④详细的推导过程可参见中谷(Nakatani，1994)[12]。 ⑤这实际上是要计算原方程式的Gr
bner基。 ⑥换言之，Gr
bner基不是唯一的。 ⑦关于数量体系的简化方法，参见Fujimori(1982，Ch.2)[4]。 ⑧实际上，由(30)式可知，利润总量可表示为，gpMx+pu。以此来定义积累率α，即
同样也能得出(33)式的结果。 ⑨关于剑桥方程式不成立的情况，具体可以参见李-藤森(2010)[10]。 ⑩诸如此类的分析，可参见越村(Koshimura，1967)[13]第5章的相关内容。
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