从概念的本质出发设计概念教学——以“认识方程”的教学为例，本文主要内容关键词为：概念论文,为例论文,方程论文,本质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
方程的本质是什么？简单地说，就是左右两边相等，这不仅是方程概念的本质，也是列方程解题的依据。在小学数学教材中，方程是这样定义的：含有未知数的等式叫做方程。这个定义简单明了，但引发的争议也很多。比如，x=5是不是方程？a+b=b+a也是方程吗？我们可以不去理会由这些特例带来的分歧，因为这个定义本身就“先天不足”。张奠宙教授指出：方程的核心是“求”未知数。这在前面的定义中没有体现出来，因此张教授建议这样来定义：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系（下面简称“新定义”）。与前面的定义方式不同，新定义是一个发生定义，刻画的是方程形成或产生的过程。方程的新定义体现了方程的核心价值，尽管现在还没有把它写入小学数学教材中，但仍然可以作为设计方程概念教学的重要参考。
一般来说，从课堂教学过程的角度，数学概念教学主要包含三个环节：一是概念引入，二是概念探究，三是概念巩固。下面介绍浙教版教材中“认识方程”的教材编排，结合教学实例，着重从两个定义所揭示的概念本质出发，讨论方程概念的教学问题，与大家一起交流。
一、概念引入：在已知数与未知数之间建立关系，经历概念发生的过程
在实际教学中，概念引入的设计事实上就是问题情境的设计。数学问题情境包罗万象，教学中重要的是如何选择合适的问题情境。就方程概念的教学来说，很多老师喜欢从天平引入，因为天平的平衡可以看做等式的原型，同时它又提供了两边可以一起操作的直观模型。浙教版教材设计了购买水灵模型的问题情境：要买若干个水灵模型，所需要的钱与20元比较，可能会出现哪些情况？让学生根据问题中的情境信息，用数学式子表示出购买方案，再通过把这些式子进行分类以揭示概念的内涵。为什么设计这样的问题情境？我们不妨从概念发生的过程和学生学习的起点两个方面来讨论。
概念引入的关键是建立感性经验与抽象概念之间的关系，建立这种关系是概念学习的起点。因此，概念引入的教学设计需要思考的重要问题是创设怎样的情境，呈现怎样的学习材料，让学生经历怎样的概念发生过程。作为一种比较，我们不妨假设另一种“去情境”和“无过程”的引入方式，即教师直接写出一些等式与不等式，让学生对这些式子进行比较分类，在此基础上揭示方程的概念。从理论上讲，这些式子直接由教师给出也是可行的，但是，接下来的分类活动就可能异化为操作抽象的数学符号（式子），而这些式子对于学生来说，很可能是不理解的或者是无意义的。
概念学习应当包括理解概念的实际意义和形式（符号）意义，从这样的角度出发，有无具体的问题情境对概念学习影响至深。从教学过程中我们可以看到，每一个将要用来分类的式子，都有具体含义，都能从问题情境中找到“现实背景”。如3x+2×4＞20表示买2个海马狂舞模型与3个海狮投球模型的总价钱大于20元；又如2y+6=20表示买2个螃蟹冲刺模型与1个章鱼腾空模型的总价等于20元。这些式子是学生在解决问题的过程中生成的，由学生经历思维加工而得出的，其含义变得具体而且容易理解。具体的问题情境不仅使学习材料变得有意义，而且有利于学生理解概念的实际意义。就5y+3=20来说，当学生能回到具体的问题情境中解释这个等式的意义时，问题情境本身就成了方程概念的一个具体例子。更为一般的，问题情境本身就构成了新知的应用场景，学生在学习过程中，可能认识到学习了方程的知识可以解决类似的问题，认识到方程是解决问题的工具。
透视学生经历的学习过程，先是用代数式表示购买方案，再把这些代数式与20建立关系，如果未知数与20建立相等关系就得到了方程。学生经历的这个过程，本质上就是方程概念形成的原始过程，是方程新定义的发生过程。
此外，情境设计带来的教学变化，还体现在学习材料的呈现方式上，这事实上也是问题情境设计的另一个价值所在。经验告诉我们，通过师生互动生成的学习材料，学生加工更主动，理解也更深刻。作为一种教学设计的策略，笔者认为，从教学的开放性与学生学习主动性的角度来说，在师生互动过程中生成学习材料应当成为努力的一个方向。
二、概念探究：分类讨论揭示概念内涵，经历概念形成的过程
概念探究是教学的主要过程，也是学生理解概念的中心环节。有教师采用分类讨论的方法组织学生探究概念，在分类活动中逐步逼近概念的真实内涵。分类是重要的数学思想方法。当我们遇到一件事情不能按同一标准统一处理时，常常是先分成几种不同情况或种类，然后分别加以解决，这中间蕴涵的就是分类的思想方法。
教学中设计的两次分类活动，分别指向概念中的两个关键词，一个是等式，一个是未知数。具体到教学过程中，有两个细节值得讨论，这两个细节对于学生发现概念的本质至关重要，是概念形成过程中的重要环节。具体地说：
一是通过比较正例与反例，经由学生概括得到方程的概念。正例是概念的肯定例证，主要是反映概念本质属性的，是概念所有类别中的成员。反例是概念否定例证的一种，即不具有概念本质属性或者只具有概念部分本质属性的实例。正例与反例对于概念学习都有重要的作用，正例可以起到不断丰富概念本质属性的作用，反例则可以加深对概念的掌握程度与理解水平。教学的一般规律是反例出现在正例之后，也就是说，只有学生巩固了对于正例的理解之后才会出现反例。但在教学中，教师可把正例与反例一并呈现，提出问题：第一类式子是方程，第二、三、四类都不是方程，那么什么是方程呢？学生在这个问题的指引下，会很快发现方程的关键特征。“好花需要绿叶衬”，反例提供了与正例对比的信息，对学生发现方程的属性和概括定义起到了重要的支持作用。试想，教师如果只提供正例让学生概括，教学可以这样推进：引导学生对式子进行分类后，教师指出，这些式子可以分为四类，今天我们重点研究这一类，其余几类以后再研究。你们看看这一类（方程）有什么共同特点？从逻辑上看，这样教学也是可以的，但是，不可避免地陷入学生概括不得要领、甚至启而不发的窘境。
二是建立邻近概念之间的联系，形成概念网络。概念教学有两个侧面，第一个是对概念本身的理解，第二个是概念之间的联系，这两个侧面构成了概念学习的整体。概念的联系有着广泛的含义，这里主要是指新学习的概念与邻近概念之间的联系。每个概念都有一定的复杂性，这种复杂性只有在概念的网络系统中才容易全面理解。举个简单的例子，如果我们教学“5的认识”，学生知道五个手指可以用5表示，五个人可以用5表示，五种方法可以用5表示等。学生能举出再多的例子，即使抽象出五个元素可以用5表示，也不表明他们已经完全理解了5的概念，因为这些都只是概念的第一个侧面。那么还需要学习什么呢？如5比4大或5比6小等等，即数与数之间的关系。
任何一个数学概念都由概念之间的联系而成，对于教学来说，建立概念之间的联系是透彻理解概念所必需的。在“认识方程”的教学中，教师可让学生分析方程与等式之间的关系，理解方程与等式的从属关系。如果用一个圈表示所有的等式（等式的集合意义），那么所有方程可以怎样表示？小圈之外大圈之内（中间地带）表示什么？你能举出这个地带的例子吗？需要说明的是，这个概念关系图，事实上也是集合语言表达概念的一种直观方式，等价于方程是含有未知数的等式。
三、概念运用：丰富概念的外延，经历数学建模的过程
数学概念的应用主要包含两个方面：一是运用数学概念的定义返回到具体例子中去辨认，包括正例与反例的识别；二是运用数学概念去解决问题，包括数学问题与实际情境中的问题。
每个概念都有明晰的“边界”，判断学生是否掌握概念的内涵，可以提供一个具体的对象，让学生确定这个对象是否在这个“边界”内。根据方程的定义，教师会抓住“未知数”和“等式”这两个关键词设计出相应的例子，让学生判断是不是方程，并说明理由。从概念的本质属性出发，可以适当延伸对于概念的理解。比如，定义中说方程是含有未知数的等式，但没有说明等式里含有一个未知数还是几个未知数，未知数在等号的一边还是两边，以及未知数的指数等，这些都不是方程概念的本质属性。因此，提供给学生判断的例子，可以不局限于只有一个未知数，可以不拘泥于未知数在等号左边，相反，可以设计出更加丰富的例子，让本质属性更加清晰，进而使学生的理解更加深入。
事实上，对于数学建模的理解也是多样化的。笔者认为，让学生经历在一个具体的问题情境中找出等量关系，并用方程表示出这种关系的过程，就是一个数学建模的过程。在这个过程中学生需要体会应用问题、等量关系、方程等多种方法所表示的意义是等价的，不同的表征方式有各自不同的价值。如语言文字的表达内容比较具体，而方程的表达比较容易操作等。
作为一种教学设计的策略，从概念的本质出发设计概念教学，可以思考如下几个问题：一是引入概念的问题情境是否揭示了概念的发生过程；二是探究概念的过程是否有利于学生发现概念的本质属性；三是应用概念的练习是否有利于丰富学生对概念的理解。当然，作为教学的研究，更大的挑战在于结合具体概念设计出相应的教学案例。