高中数学新课程教学中形式运算能力及其培养，本文主要内容关键词为：新课程论文,高中数学论文,形式论文,能力论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出 题目（2014年高考数学北京卷理科第8题）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）. A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 这是一道非常有特色的试题.如果过多地考虑具体逻辑关系，解题就会陷入困境，而采用“先大胆猜测，再小心求证”的处理策略，把直觉思维和逻辑思维有机结合起来，即以假设为前提，进行简单的假设演绎推理，解题思路便豁然开朗. 本题作为高考选择题的压轴题，对学生来讲，有一定的能力要求，但是，学生答题的情况之差，得分率之低仍出人意料.问题在哪里呢？分析可知：学生的思维方向很明朗，障碍主要在演绎运算上，即形式运算的能力不够.这反映了当前中学数学教学中普遍存在的问题，即大量的具体运算并没有使学生产生能力上的飞跃，进入形式运算阶段.对当前高中学生的数学学习情况进一步研究发现，学生形式运算能力的现状不容乐观，表现在对形式运算的畏惧和无能为力上，可以说，形式运算是影响学生成绩、制约学生学习的一个重要因素，培养学生的形式运算能力，成为我们需要认真研究的课题. 二、什么是形式运算 根据皮亚杰认知发展理论，对学生思维阶段的划分，可分为具体运算思维和形式运算思维两个阶段.具体运算阶段，学生只能利用具体的概念、定理、公式和过程来进行思维或运算，不能利用语言、文字陈述的对象和过程为基础来运算.处于这一阶段的学生具备初步的逻辑思维能力，但是他们还不能离开具体事物的支持，否则就难以顺利解决问题.此外，这期间的运算一般比较零散，还不能较好地构成一个整体.而当学生智力进入形式运算阶段，思维不必从具体事物和过程开始，可以利用语言文字，在头脑中想象和思维，重建对象和过程来解决问题.这种摆脱了具体事物束缚，利用语言文字在头脑中重建事物和过程来解决问题的运算就叫做形式运算.例如，“问题提出”中，因为成绩评定只有三种情况，所以当人数超过3时，一门成绩至少有两人相同，这两人的另一门成绩一定有差别，与题设矛盾，选择B.可见，在形式运算阶段，可以根据概念、假设等前提，进行假设演绎推理，得出结论.因此，形式运算往往也称为假设演绎运算. 由于假设演绎思维是一切形式运算的基础，包括逻辑学与数学的整合.因此，处于形式运算阶段的学生，不仅能够进行假设演绎思维，还能够进行一切科学思维所需要的一些最基本的运算.这些基本运算，除具体运算外，还包括这样一些基本运算：考虑一切可能性；分离和控制变量，排除一切无关因素；观察变量之间的函数关系，将有关原理组织成有机整体等. 形式运算阶段的学生思维发展非常迅速，可以在头脑中把形式和内容分开，根据假设和条件进行逻辑推演，即达到了形式思维水平.因此，形式运算的核心价值是思维运算.由此可见，学生的形式运算能力是学生数学思维素养的重要组成部分. 三、学生形式运算能力薄弱的原因分析 （一）传统文化的因素 我国古代数学是建立在算法基础之上的，一切结论只是通过算法来说明.这种算法体系相信“眼见为实”，于是证明“没有被看到的存在”就是“不合理的”.这种理念对数学的发展显然是不利的.实际上，假设演绎推理，即形式运算在中国古代是不被承认的.事实上，我国古代数学是典型的应用型和经验型的，他们习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，并不关心数学理论的形式化，这种主张“寓理于算”的数学思想是很难有说服力的.同时，符号的缺失也不利于形式运算能力的形成，现代数学是一个符号体系，由于汉语方块字的特点，不利于符号的产生，因而，我国古代没有合适的符号体系，由于缺少了这些思想上的材料，很难让人们用数学的眼光理性地认识世界.这种符号方面的缺失至今还影响着学生的数学学习.比如，“代数”的出现，是学生从算术到数学过渡的困难期.总之，这些古代数学思维特征上的不深刻性，多少对现在的社会、家长和学生有负面影响. （二）教材体系的因素 首先，上世纪90年代后期，由于种种原因，语文学科将形式逻辑这一部分内容删去，虽然减轻了学生的负担，但是学生知识体系中的关于逻辑方面的知识只能让数学用零碎的方式传授给学生，无法形成有效的知识体系，这对形式运算能力的影响实在是太大了.其次，与传统教材不同的是，新课程的数学教材，采用的是渗透式推进、分步式到位的编写方法，并以此来减小教材的抽象程度和教学的难度，这完全符合学生的认知规律（如“不等式”在初一教材中就涉及，但系统的学习则要到高二）.但有些内容的编写缺乏递进的层次，前后呼应不够.如“一次函数与二次函数”在初中教材中曾研究过它们的图象与性质，高中教材仅仅在习题中涉及，而且要求上没有明显的提高，使得这一代数的核心内容缺乏一个再认识的深化过程.最后，教材降低了对形式运算的要求.例如，《数学1》（必修）仅局限于判断并证明函数的奇偶性与单调性，这些推理都具有极强的可模仿性与操作性；《数学2》（必修）的“不等式证明”主要介绍了几种常用的证题方法，且素材缺乏现代数学气息，就连与函数相关的证明题都几乎找不到，更不用说形式运算能力的提高，等等.可以这样说，现行教材的内容与高考改革相比具有一定的滞后性. （三）课程安排的因素 新课程的数学教材，将代数与几何分开来编写，穿插进行，课程的实施也相应分离，因而相互之间缺乏一种交融性.以高一“函数”为例，由于受解析几何工具的限制，对函数图象许多性质的研究，如对称性的研究等，只能停留在感性认识阶段，无法培养学生的形式运算能力.但解析几何中研究的载体主要是直线、圆及圆锥曲线，很少与函数内容相照应，因而即使是一些基本的形式运算，学生都会感到无从下手.因此，由于课程安排的不合理，增加了教学过程中培养和训练学生形式运算能力的难度. （四）教学实施的因素 一是教学上投放的时间不足，这固然与课程教材有一定的关系，但更重要的是对运算能力培养的认识不足，重视知识学习而忽视运算能力的培养，重具体运算轻形式运算是当前高中数学教学中的一个较为普遍的现象；二是存在教学方法不科学的现象，如定理教学仅停留在对证明过程的理解层面上，缺乏模拟探索思考的过程，解题教学中，只让学生知其然，较少让学生知其所以然，从而削弱了形式运算的思维训练价值；三是受应试教育的影响，追求教学的短期效应.由于形式运算教学耗时多，训练周期长，见效却较慢，因而许多教师不愿把主要精力投放在形式运算能力的培养上，从而导致学生形式运算的能力得不到有效地提高. 四、新课程教学中学生形式运算能力的培养 （一）遵循认知规律，加强正确引导 初中学生的代数学习主要是一些具体运算，因而抽象思维的能力还较弱.进入高中学习代数推理，许多学生甚至还弄不清形式证明的意义和必要性，特别是区分不了直觉判断与形式证明的差异.更何况，由于代数推理要脱离具体对象进行形式运算，因而多数学生觉得难以掌握，不愿意在这一环节上下工夫、做文章.
