初中函数与几何综合问题的解题思路探析，本文主要内容关键词为：探析论文,几何论文,函数论文,思路论文,初中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数与几何结合形成的问题，往往形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力以及数学思想方法掌握的情况，因而成为近几年各地中考的热门题型，这类问题又可分为几何图形中的元素间的函数关系问题和函数图象中的几何图形问题两类，下面分别探讨这两类问题的解题思维策略.
一、几何中的函数问题
几何中的函数问题就是几何图形问题中蕴涵变动元素，解决问题需要建立函数关系式，并根据函数性质来讨论解决，在解决此类问题时，首先要观察分析几何图形的特征，依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、全等三角形的性质、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段，等等）找出几何元素之间的关系，然后将它们的关系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决问题.这类问题大多是建立面积与线段间的函数关系，平时应注意常见图形的面积求法及灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积的训练.
例1 如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为ts（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
分析 该问题是将几何问题放在了直角坐标系中进行计算，问题的表征不是线段的长度而是坐标的形式.在把握坐标的几何意义的情况下，问题的实质是几何计算.
（1）为求D、E的坐标，由于矩形的长、宽都知道，根据坐标的几何意义，只需要计算出线段OD、CE的长，也可转化为计算BE、CD的长.依题意，折痕AD是四边形OAED的对称轴，故在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4.由勾股定理容易求得BE=3，所以CE=2.在Rt△DCE中，因为DE=OD，而DC=OC-OD=4-OD，由勾股定理得方程并可解得OD=
，所以E点坐标为（2，4），D点坐标为（0，）.在这里我们运用了方程的思想.
评析 这是一道综合性较强的几何和函数综合题，它将几何与代数“相邀”于平面直角坐标系中，使“数”与“形”、“动”与“静”相互转化，综合了矩形面积计算、勾股定理、相似三角形、二次函数的性质等多个知识点，同时利用图形的变化，融进了函数思想、方程思想.在几何计算中，方程思想是一种常用的思想方法.在直接计算有困难时，可先设未知量，根据图中的几何等量关系列出方程（组）求解.
例2 如图2，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t s.
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（s）的函数图象如图3所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大？并求此时P点的坐标；
（4）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.
分析 （1）由图3图象容易看出Q（1，0），Q点10s运动了10个单位长度，运动速度为每秒1个单位长度，而P点与Q点运动速度相同.
（2）求正方形边长和C点坐标，需根据几何图形性质和坐标的几何意义来求.如图4，为求AB的长，过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E.则根据勾股定理容易求出AB=10.为求C点坐标，过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H.通过△ABF≌△BCH，得BH=AF=6，CH=BF=8所求C点的坐标为（14，12）.
评析 对于几何中的函数问题，需利用几何图形性质和坐标的几何意义求出必要的量，进而建立函数关系.在利用几何性质方面，同样注意辅助线的利用.
二、函数中的几何问题
函数中的几何问题是在函数图象上构作几何图形，主体是函数.这类问题从难度上来看大多数是难题，从设计方法上看都注重创新.在考查意图上，都突出对数学思想方法和能力（特别是对思维能力、探究能力、创新能力，综合运用知识能力）的考查.因此，在解决这类问题时，需要灵活运用函数的有关知识.并注意挖掘题目中的一些隐藏条件，注意数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用.
（1）求经过A，B，C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形？
分析由题意容易看出，圆是不确定的，但仔细分析条件“始终与y轴相切于定点C（0，1）”就会发现圆心离x轴距离不变，半径和位置随反比例函数的系数k而变动.欲求经过A，B，C三点的二次函数图象的解析式，需要求出A，B点的坐标（显然要用k表示）或抛物线的对称轴.
评析 本题是函数与几何结合非常紧密的一个问题，解题中除了运用数形结合的思想方法外，还运用了方程的思想.方程思想是计算未知数或未知量的有效方法.
（1）求a的值，点B的坐标；
（2）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一点，以P，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标.
分析 结合图形将题设条件及其下一步推理结论或等价转换搞清楚：从图形上看△COA像等腰三角形，根据O，A，C的坐标计算确实如此.由旋转性质可得B是平行四边形的另一顶点，CB平行于OA，初步感觉出B的坐标能求出：纵坐标与C的相同，横坐标比C的多BC长也就是OA长.再看抛物线，含有一个参数，又经过已知点A，故参数能够确定出来，抛物线被确定.
对于（3），根据下页图7，以P，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，AD只能是这样的平行四边形的边，而不能是对角线.作出这样的平行四边形，根据平行四边形的性质，可以知道，PO=AH=1，所以P（-1，0）或P（1，0）.
评析 由上可以看出，在解决函数与几何综合问题时，可以单独将几何图形分离出来进行考察，以突出几何图形，这种先突出其中一部分而暂时忽略另一部分是解题的一种基本策略.在解决这类综合问题时，要合理利用函数性质计算一些几何量.本题涉及几何图形中心旋转变换后形成新图形性质的探讨.
三、解题思路分析
函数与几何综合问题涉及的知识面广、跨度大、综合性强，应用数学方法多，纵横联系较复杂，结构新颖灵活，要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能灵活地运用所学知识和掌握的基本技能.除此之外，一些基本的数学思想在解决问题中起着重要作用.
（1）数形结合思想.函数与几何综合问题是最能体现数形结合思想方法的一类问题，几何中的函数问题，使图形性质代数化，函数中的几何问题，使代数知识图形化.在解决这类问题时，须充分利用数形结合，利用“数”计算“形”，利用“形”判断“数”.如求坐标或函数解析式或函数中的待定系数时，要注意利用几何图形的性质和几何量的代数意义，同样，在判断几何图形的性质或存在性时，注意利用函数性质确定坐标及坐标的几何意义.
（2）方程思想.求函数中的待定系数或几何中的某些未知几何量，都要运用方程思想，通过寻找要解决的问题中量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决.在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组.
（3）分类讨论思想.函数与几何综合题中，往往涉及几何点的位置不确定而需要分情况讨论，因此在解决这类问题时，需要缜密地思考，用分类讨论思想探讨结论出现的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗漏.
（4）化归转化思想.数学转化思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，注意把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“解析”问题转化为“几何”问题，将“函数”问题转化为“方程”问题.上面各例都用到了化归转化的数学思想，可以说，不掌握化归转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题.