Freudenthal研究所开发的新高中数学课程，本文主要内容关键词为：高中数学论文,研究所论文,课程论文,Freudenthal论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 背景
荷兰的高中分为两种类型：普通高中（HAVO，12-17岁）和大学预科（VWO，12-18岁）.从普通高中（HAVO）毕业后继续接受高等职业教育（HPO），从大学预科（VWO）毕业后继续接受普通高等教育，即上大学（WO）.1999年以前，荷兰的高中课程分为文科和理科两个课程方向，将在大学学习人文和社会科学专业的高中学生选择的课程方向是文科，将在大学学习自然科学的高中学生选择的课程方向是理科.文科学生学习的数学课程称为“数学A”，理科学生学习的数学课程称为“数学B”.从1999年8月1日起荷兰政府对高中课程重新加以规范，把原来的两个课程方向进一步细化，规定了四个新的课程方向[2]：
1.文化和社会
2.经济和社会
3.科学和健康
4.科学和技术
其中1，2仍然是文科，3，4仍然是理科，但比原来区分的更细了.每个课程方向都要包括三部分内容：
●这四个方向通用的内容
●本方向必学的内容
●选学的内容
这是荷兰政府教育改革的一个重要举措，目的是使学生所受的中等教育更加规范，更加有序.让荷兰中等教育和高等教育之间衔接的更自然，转换的更平滑.这不仅对学生继续接受高等教育有用，而且对那些不再继续接受高等教育的学生来说，这些课程可以保证他们在进入社会之前能获得足够全面的知识准备.
这个从调整课程方向入手的改革举措，有力的推进了荷兰高中课程的发展，使荷兰高中课本的面貌发生了很大变化.数学是所有这4个课程方向都必学的内容，这四个不同方向上的数学课程依次分别为：数学A1，数学A2，数学B1，数学B2.目前已有多种适应这一新课程方向的新版数学课本问世并投入使用.Frendenthal研究所从八十年代中期到九十年代初期已经成功开发了一套“数学A”教材，其中的素材仍然为目前新版“数学A1，A2”教材所采用.根据这次课程改革提出的新课程方向，Freudenthal研究所又涉足“数学B1，B2”教材领域，积极开发反映现实数学教育理念的新高中理科数学教材，使Freudenthal研究所开发的数学教材全部覆盖了荷兰中小学数学课程.
2 Profi计划
Freudenthal研究所开发新高中理科数学教材是以研究项目的方式进行的.他们从1997年开始执行了一个名为Profi的高中数学课程研究项目.该项目的主旨是开发出既符合荷兰政府课程改革要求，又按照现实数学教育思想实现建模，抽象和推理三者的融合，统一和平衡的新高中数学课程，内容包括整个数学B1，B2课程设计和具体编写教材.新编教材中采用的情景来源于物理，化学和生物科学以及数学史的素材，概念的提出沿着从离散到连续的方向发展.具体目标是：
●揭示数学与物理，化学和生物科学之间的联系.
●掌握物理，化学和生物科学所需要的基本数学语言.
●理解数学无论过去和现在都是一项人类活动.
●运用图形计算器和《几何画板》，Cabri等数学软件.
●实现数学化
Profi项目计划编写12册（函数，微积分和几何）基本教材.到目前为止，从教材编写到课堂实验已经进行了3年，12册教材已全部编写完成并付诸使用.其中每册教材供40学时之用，与函数和微积分有关的8册是：
1.和与差，距离与速度（Som & Verschil，Afstand & Snelheid）.
2.微分的技巧（de Techniek van het Differentieren）
3.极值（Optimalieren）
4.循环与周期函数（Cirkelbewegingen）
5.积分（Integreren）
6.加速运动的数学模型（Trillingspatronen）
7.连续动力系统模型（Continue Dynamische Modellen）
8.无限的规则（Eindeloze Regelmaat）
与几何有关的4册是：
1.距离，边界和区域（Afstanden，grenzen & gebieden）
2.关于圆和直线的思考A（Denken in cirkdls en lijnen A）
3.关于圆和直线的思考B（Denken in cirkels en lijnen B）
4.冲突与镜面反射（Conflictlijnen en spiegels）
下表是Profi的具体课程方案，每册教材在该课程方案中所处的位置在括弧内标出：
其中打*号的部分可供A1（文化和社会方向，360学时）使用.
Profi的另一部分是活动教材，由带有研究性质的内容构成，要求学生通过小组讨论的方式进行，最终能以书面或口头表达的形式报告他们的研究成果，目前仍在继续编写之中.
3 部分教材内容片段简介
以几何为例，几何教材的编写贯彻这样三个原则：
1.建模：重在揭示数学模型和它的现实源泉之间的相互关系与内在联系及其意义.
2.抽象：与建模紧密相连，重在揭示数学模型是如何以自然的方式导向数学概念和理论的，并且揭示在这个过程中数学概念的现实源泉是如何渐渐在背景中消失的.
3.推理：重在揭示数学证明的多种途径，这里的推理不仅仅是指演绎推理，他们既可以从前提出发，也可以从具体情景出发，或同时从前提和具体情景出发进行推理.演绎证明比较少，而位置推理一类的从具体情景出发的推理比较多.
在教材体系方面，没有明显的平面几何与立体几何之分，总体目标都是指向对空间的理解和把握方面.直观和非形式化的内容比较多，与现实联系的十分紧密.计算机和图形计算器是必不可少的教学和学习工具.
具体内容主要包括三个方面：矩阵几何，综合几何和分析几何.运用最多也是最重要的情景包括：
●国界.具体如国与国之间的冲突线（conflict lines），曲线的同构距离（iso distance curves）等等.
●镜面.具体如焦点，垂直和正切等等.
●最优化.具体如最短距离和最小角度等等.
从这些情景看，这里的几何与我们通常所说的平面或立体几何区别是很大的.
下面是一个教材中的片段，选自“冲突与镜面反射”一册.为方便读者，笔者根据自己对这段内容的理解进行介绍，而不是逐字逐句的翻译：
位于欧洲的北海已经没有公海了，作为领海的一部分分属于不同的欧洲国家.领海的边界是这样划的，例如，北海上与英国和爱尔兰等距离的一个点，称为这两个国家的冲突点（conflict point），所有这样的冲突点构成冲突线或冲突曲线（conflict line）.各国领海的边界就是冲突线的一部分.有这样的可能，北海上的一个点不是与两个国家，而是与三个国家距离相等，例如与英国，荷兰和丹麦距离相等，教材给学生提的问题是：
“为什么英国与荷兰之间的冲突线和荷兰与丹麦之间的冲突线的交点一方面与英国和荷兰等距，另一方面又与荷兰和丹麦等距？”答案实际是用了欧几里德几何的一条等量公理.
接着教材研究了海上五个小岛之间的冲突线问题.如下图：
两个小岛之间的冲突线就是由这些等距圆的交点构成的.在这种情形下，冲突线实际是由这些点之间的垂直平分线构成的.其中第四图如果没有那些等距圆，就称为Voronoi图，每个小岛的领海称为Voronoi细胞，两个邻接细胞之间的边界称为边，三条边相交的点称为顶点，代表小岛的点称为Voronoi图的中心.这样，对领海问题的研究转化为对抽象的Voronoi图的研究.
Voronoi图的用途是很广的，在建筑，地理，计算机和机器人研究方面都有重要应用.借助计算机学生可以研究一些更复杂的Voronoi图，而且可以探索它的一些性质.教材上给学生提出的问题是：
●为什么领海边界线是直线？
●为什么三个国家的领海边界有时候要遇到一起？
对这些问题的分析可以发现两个虽然简单却是重要的原因
1.两上点的垂直平分线上的每个点和这两个点等距.
2.两个点的垂直平分线外的点根据在边界的哪一侧，而靠近这两个点中的某一个.
这是两个需要证明的结论.问题1的形式代几何证明要用到三角形的相似（SAS）.用几何变换证明要用到直线反射的基本性质.因为荷兰的学生是在现实几何熏陶下成长起来的，形式几何的知识仅限于勾股定理，但他们也不是总问为什么，也有一个证明的起始依据，教材上称之为“基本规则”（basic rules）.这个证明使用的一个重要基本规则就是：AB两点的垂直平分线外在A一侧的点属于A区域.这实际就是欧氏几何里“两边之和大于第三边”的一个推论，如下图：
因为PB=PS+SA＞PA，
所以P属于A的区域.
探索的途径是先提出实际问题，然后对这个问题进行简化，最后得出基本规则.有了基本规则，然后逻辑的证明定理，接着是发现和证明更复杂的定理.
接下来教材提出一系列问题供学生思考和探索，例如：
1.给四个点，对所有类型的Voronoi图作出分类.
2.给四个点，其中一个点沿任意直线运动，其Voronoi图会这样变化？
3.以四个国家为点的Voronoi图是很少见的，你能找到使这样的Voronoi图存在的标准吗？能否从角度出发去刻画这样的标准？
4.已知三条交于一点的Voronoi边，你能重新构造出这些边的中心吗？会有多少种可能性？
问题还有，粗粗一看，问题3的讨论可能得出圆的内接四边形的概念，其他问题的回答没有计算机帮忙看来是不行的，这些问题的确是必须动手之后才能得出结论的探索性的问题.
限于篇幅就介绍到这里，虽然这样的介绍是很粗浅的，也不完整，但可尽管窥之功，对整套教材的内容和模样有个大致的了解.
4 初步的评价
1.想在上面介绍的这段教材中找出几个明确的知识点不大容易，想通过这样的内容形成什么基本技能也有点难，但它的题材引人入胜，充满着一个接一个的探索性课题和探索性活动，可供学生钻研的空间广阔.而且每册教材，整个教材体系都是这样的风格，在这样的教材系列熏陶下，学生是可以形成一些与发明或创造相关的资质的.
2.从情景出发发现规则，再从规则出发证明定理.截然相反两种思路对接在一起，形成了这种几何教材的特色.而我们目前只有这个思路的后半段，因此这个特色是值得我们借鉴的.一般认为低学段实现数学化比较容易，而在高中阶段使数学贴近生活，生动有趣，搞数学化就比较难了.Profi的教材提供了在高中阶段，特别是大学预科，如何从现实情景出发实现数学化，如何从实际生活进入数学的抽象层面，为接受高等教育作准备的实例.
3.根据新的课程方向，荷兰各大出版社都纷纷推出自己各具特色的新教材，目前已经见到的“数学B1，B2”教材有：现代数学（Moderne Wiskunde），网络（Netwerk），大数和空间（Getal & Ruimte，），Wageningse方法[3]（de Wageningse Methode）等等.真可谓百花齐放.至于哪种教材能被学校采用，则完全由学校，由中学教师决定，教材的质量最终由学校这个“市场”把握.Freudental研究所的专家对上述教材似乎都不太满意，但他们这套教材，目前只有12所学校在使用，范围比较窄.与荷兰的小学数学教材不一样[4]，这套教材远未成为荷兰高中数学教材的主流.另外，我到学校观察了教材的具体教学和学习情况，教师反映比较难，主要是对内容及其处理方式都比较生疏.学生对情景感兴趣，一进入抽象的层面就不大积极了.所以看上去精彩的教材和课堂实践之间的距离还是比较明显的.
的确，Freudental研究所主导开发的教材无论内容还是形式总是比较超前的，一般都要在开发之后若干年才能推广流行.目前他们正在集中精力编写供教师用的教学参考书，先从教师的工作做起，这是他们推广现实数学教育思想、教材、教学方法的一贯手段，假以时日，希望他们这套教材会和他们的其他教材一样成为荷兰高中课本市场的主流.