“分公”的启示——数学语言的一般意义与数学意义，本文主要内容关键词为：意义论文,数学论文,启示论文,语言论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
最近在一所农村小学的“分数的初步认识”课中，我发现了一个有趣的现象：许多学生在知道了分数线下面的部分叫做“分母”后，都说分数线上面的部分应当叫做“分公”。看来学生们还没有完全理解分数线上下的“母子关系”。
数学语言是表达数学对象、运算及关系的一种形式。一般来说，数学语言有两个来源，一是自古至今发展、演变而来的，二是由其他文字翻译而来的。无论是哪一种来源，其数学含义一定与其本身的含义有联系，找到这种联系并渗透到教学中去，无疑对加深学生的理解是有好处的。
下面以乘法中“乘、因、积”这三个关键字的历史渊源为例来说明这一点。
“因数”与乘法
中国古代曾经把乘数为一位数的情况称为“因”，乘数为多位数的情况称为“乘”。例如将“23乘以5”称为“将23以5因之”。《辞海》中对“因”有如下释义：“因，佛教名词，佛教常以事物相互间的关系来说明它们生起和变化的现象，其中以事物生起或坏灭的主要条件叫做因。”古代算学家们或许正是把握住了如下事实的本质：23乘以5必然产生新数，而产生这个新数的“主要条件”就是5，所以称5是因。这一点可以在《算法统宗》中找到依据：“乘者，以数生数也。数不能自生，相得乃生，故亦曰因。”
在中国古代的筹算中，无论乘数是一位还是多位，都称为乘法。但是在做多位数的乘法时，需要排列、调整上中下三层算筹，演算过程比较繁复。到了隋、唐时期，便简化出了一种以一位乘法代替多位乘法的计算方法。例如当乘数为35时，则先以5乘后，再用7乘，这样5和7就称为因数或因子。这种将多位乘数分解为两个一位乘数或多个一位乘数先后相乘的方法，宋朝算学家们称之为“重因”。
由此可见，“因数”的概念与乘法是密不可分的，其作用在于“生数”，“重因”的算法还体现了“化繁为简”的方法论思想。
“乘”与“积”的渊源
根据左民安所著《细说汉字》中介绍，“乘”的甲骨文、金文和小篆字形都可以看做是“人在树上”的形状：
因此推断“乘”字的本义是“凌驾于上”的意思，由此又引申出“升高”的意思。“乘”作为运算方法，最早见于数学典籍《周髀算经》。其中有这样的记载：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩……矩出于九九八十一。”三国时期东吴数学家赵爽在对《周髀算经》的注释中用到了“乘”：“推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者，乘除之原也。”这应当是“乘”作为数学概念的最早源头。
那么古人怎么想到用“乘”字表示乘法这种运算呢？这与“乘”的结果——“积”有很大的关联。
“积”用来表示数学中的概念，首先应当是“面积”和“体积”。所谓面积，就是“面之积累”；所谓体积，就是体之积累。《九章算术》的方田章、商功章中，都有大量关于面积、体积计算的记载。
《说文解字·禾部》对“积”的解释为：“积，聚也。”因此“积”有由少到多、由小到大的量变的意思。“积”字的繁体为“積”，其金文字形为：
其中左面的“禾”表示粮食，右面的“责”根据《说文解字》的解释是“求”的意思。由此推断，“积”最原始的意思是“囤积粮食”。而粮食囤积时正是层层升高的样子，这样“积”就与“乘”升高的意思联系起来了。
综上，与乘法运算紧密相关的因数、乘法和乘积三个词汇，从历史渊源来看的确存在着密切的联系。如果教师在数学教学中，依据学生的接受水平适时、适量地渗透这些内容，无疑会使学生加深对这些数学概念的理解。数学是靠语言来表达的，这种语言通常有文字、符号和图像三种形式，学生学习数学是从认识和理解这些语言开始的。中国汉字文化源远流长，如果我们在数学语言的使用上能够“知其然”且“知其所以然”，对教学一定是大有帮助的。