真理论的转向：由定义到公理化，本文主要内容关键词为：公理化论文,定义论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
传统的实质真理论有其自身的缺陷，塔斯基等人的语义真理论则需要使用更强的元语言。实质真理论和语义真理论都试图给真下定义，因此可被归为定义的真理论。定义的真理论不可避免地面临着无穷倒退的困境，而向公理化的真理论的转向则克服了这一缺陷。公理化真理论不再给真下定义，而是把真看作一个原始谓词，并且用一组公理和推理规则来规定它。公理化真理论可以给出自身语言中真谓词的意义，不需要使用很强的元语言，而且可以对真的性质作系统的推理。公理化真理论主要分为类型真理论和无类型真理论两大类：两者都有自己的优点，同时也都存在不足之处。本文将按照莱特杰布(H.Leitgeb)的标准，对上述公理化真理论的性质、特点逐一给出分析和补充。
当代的紧缩真理论使用了公理化方法而不是语义方法，事实上紧缩论可以看做公理化真理论的哲学解释。当代的紧缩论主要有两个核心主旨：(1)真作为去引号策略用于概括；(2)真应该对基础理论是保守的。为了解决真对数学不保守的困境，霍斯顿提出了推理的紧缩论，并以PKF系统作为其形式表达。笔者认为推理的紧缩论由于放弃了保守性准则，存在许多问题，并从四个方面提出了质疑。在接受保守性准则的前提下，笔者尝试提出一种弱化的紧缩真理论的新进路，保留真是浅层的概念这一特点。
一、定义的真理论及其不足
关于“真”在哲学上一直存在着众说纷纭的争论。传统的真理论试图给真下定义，回答“真是什么”这一古老问题，被称为实质真理论。
传统的真理论主要有符合论、融贯论、实用论等。符合论可以说是最古老的真理论之一，甚至可以追溯到亚里士多德的工作。现代的符合论则认为，一个命题是真的，当且仅当它符合使之为真的事实。符合论看似比较合理，它的最大问题在于其模糊性。首先，什么是符合，它意味着什么，这需要澄清；其次，究竟什么是事实，这又涉及本体论。融贯论早期来自德国的唯心主义，它把理论整体当作主要的真载体，其中心思想是，一个理论是真的，当且仅当它是融贯的。融贯论的困难在于，一般并不是仅有一个融贯的系统整体，而是有多个内部融贯的系统整体，但它们是相互矛盾的，因此不可能都是真的。所以，融贯不是真的充分条件。实用论的代表人物是詹姆士。根据其观点，真和有用之间有着密切的关系，简单地说一个理论是真的，当且仅当它具有实用性。实用论同样也不能令人满意，因为有用其实是一个相对的概念。不难看到，一个理论可以对x是有用的，同时对Y却是无用的。但一个理论不可能既是真的又是假的。实用论也许可以修改成更完整的形式，即只有相对X的真存在，可是在日常语言中我们并不把真作为一个相对概念。
真理论的一个转折出现在塔斯基1935年的《形式化语言中的真概念》中。塔斯基不再像以前的真理论者一样回答“真是什么”这一问题，取而代之的是回答“真是如何使用和运作的”、“它的运作如何被描述”等问题。例如，传统的真理论都没有回答“如果A为真或者B为真，那么A∨B是否为真”，而塔斯基则为此作出了贡献，他建立了描述真概念如何运作的完整理论，并告诉我们如何使用真。
我们知道，塔斯基的语义真理论区分了对象语言和元语言：对象语言为不包含真谓词的形式语言，元语言要比对象语言更丰富，并且为形式语言构造出一个模型。需要指出的是，虽然与传统的真理论不同，但塔斯基的真理论仍然试图给真下定义，只不过不是对整个自然语言，而是限制在对象语言上，并提出了真定义的足够条件，即著名的T-模式。此外，在当代的语义真理论中，如克里普克的真理论和修正真理论，认为给出一个语言的语义真理论就可以看做是为该语言定义真。因此在这一点上，语义真理论和传统的实质真理论都可以归为定义的真理论。
定义的真理论的最大缺陷是由塔斯基关于真的不可定义性定理所揭示出的：在一个有足够表达力的形式语言中不能包含它自身的真定义。在塔斯基的语义真理论中，对象语言的真定义是在元语言中完成的，因此，如果我们要定义元语言的真，就需要在元元语言中完成，这样就会陷入无穷倒退。同样，在当代的语义真理论中，为包含真谓词的形式语言提出模型也需要在更丰富的框架中完成，而要为这个更丰富的框架语言给出新语义，则会面临无穷倒退。
二、公理化的真理论
如上所述，塔斯基的不可定义性定理宣告了定义和语义方法的失败。既然无法给出真的定义，那么我们就只能提出一些公理，尽量确切地描述真概念是如何运作的。遵循该指导思想，真理论的一个更重要的转向就产生了，它不但完全继承了塔斯基关于“真是如何使用和运作的”这一思想，并且在此基础上前进了一大步，不再给真下定义，而是把真看作一个原始谓词，并用一组公理和推理规则来规定它，这就是后来兴起的公理化真理论。(参见李娜、刘大为，第91页)公理化真理论不再面临无穷倒退的困境，它可以给出自身语言中真谓词的意义，这样就避免了使用很强的元语言。公理化方法并没有抛弃语义方法，语义真理论可以给构建公理化真理论以启迪，并能够提供一些有意义的模型。
已有的公理化真理论绝大部分都是以一阶算术PA系统作为基础理论的，PA的语言为
。在中扩充一个原始真谓词T得到新语言
，把在扩充的语言
中形式化的皮亚诺算术记作PAT。于是，许多公理化真理论可以表示为中的PAT+AX，其中AX表示真公理。公理化真理论一般可以分为类型真理论和无类型真理论。
1.类型真理论 类型真理论是指系统的公理仅仅允许证明不包含相同真谓词的句子的真。
(1)类型去引号真理论。最简单的公理化真理论是TB系统，TB最早可以追溯到塔斯基，但他批评了这一理论，并遗憾地没有发展公理化方法。TB系统是在PAT的基础上增加公理：
由于TB将限制的T-语句作为公理，因此它被称为去引号真理论。TB的主要优点在于它有好的基于标准算术的模型，所以不仅证明了TB的一致性，还推出TB是算术健全的。T-语句在紧缩论者那里有着非常重要的地位。但TB最大的局限在于其演绎力太弱，比如不能证明全称量化的排中律和真概念的组合性。
(2)组合真理论。戴维森在此起了重要作用，他主张把塔斯基关于真定义的归纳条款公理化，这促成了后来的组合真理论TC。系统TC是在PAT的基础上加上如下公理：①
TC的真公理以全称量化的形式描述了真谓词符号对中的语句是如何变换逻辑联结词和量词的。不难证明TB是TC的一个子理论，在TC中能够证明矛盾律和排中律等一般原则。在这一点上，可以说TC克服了塔斯基所批评的TB系统的缺陷。TC也有好的标准模型，使得它在算术上是健全的。
(3)阶层真理论。但TC系统(也包括TB)有一个不足之处，即它无法证明一些显而易见的断言，如T(T(2=2))。一个可能的办法是把塔斯基的阶层思想运用到这里，即引入新的高层次真谓词符号
，甚至还可以到超穷等级。这样就能够由TC扩充到阶层真理论
，α代表序数等级。在系统中，高层次的真谓词可以作用于包含低层次真谓词的语句，如
是它的定理。由于等价于分支分析系统
，因此经常用来比较不同的公理化真理论的证明论强度。
但在严格的意义上，上述问题依然存在，比如不能证明
。而在直观上，真应该是同一的概念，而不应该是具有许多不同层次的属性，这尤其反映在自然语言中。
2.无类型真理论 无类型真理论是指其公理允许证明包含相同真谓词的句子的真，如T(T(2=2))都是可证的。无类型真理论比类型真理论有着更强的表达力。
(1)弗里德曼－希尔德(Friedman-Sheard)理论。1987年，弗里德曼(H.Friedman)和希尔德(M.Sheard)提出了FS系统，并证明了其相关性质，这被一些学者认为是系统研究公理化的真理论的开始。(cf.Friedman and Sheard,pp.4－20)Fs其实是在TC上的一种自然扩张，它的真公理同样描述了真的组合性，只不过其全称量词遍历了
中的所有语句，而不再限制在上。此外，为了实现真谓词的迭代，FS还具有两个额外的推理规则NEC和CONEC，即由定理
可推出T()，反过来由定理T()可推出。FS与所谓的修正语义真理论有着密切的关系。在修正语义真理论中，构造出了一个经典模型序列，并定义了稳定真和几乎稳定真的概念。然后可以得到FS是几乎稳定真的，因此FS是一致的，而且在算术上是健全的。FS的缺陷在于它没有标准模型，因此是ω-不一致的。一些哲学家对此进行了指责，甚至认为FS在真理论上是不健全的。
(2)克里普克－费弗曼(Kripke-Feferman)理论。克里普克采用模型方法在部分逻辑中提出了一个自指真的语义真理论，费弗曼(S.Feferman)建立的KF系统就是通过公理化该模型而得到的。(cf.Feferman,pp.19－21)KF的公理描述了真的正组合性，并且不同于FS的规则，它有真的迭代公理。KF有好的标准模型，因此它是ω-一致的。这些好的性质导致了KF有着比FS更多的支持者。KF的外逻辑是经典逻辑，内逻辑是强克林逻辑。②它在真理论上也存在问题，如有定理KF├λ∧
T(λ)，其中λ是说谎者语句。也就是说，KF证明了它自己断言为不真的语句，这似乎也是真理论上不健全的。此外不同于FS，KF在NEC下是不能封闭的，因为这会导致不一致的系统。为了解决这些问题，莱因哈特(W.Reinhardt)提出KF内逻辑的工具主义方案，即考虑
。(cf.Reinhardt,p.242)IKF系统在NEC下是封闭的，只证明克里普克最小固定点模型的语句，所以也是真理论健全的。IKF的缺陷在于它只是递归可枚举的语句集合，现在不能够自然地公理化。
(3)部分逻辑的克里普克－费弗曼理论。同样为了解决KF的不足，哈尔巴赫(V.Halbach)和霍斯顿(L.Horsten)放弃了莱因哈特的内逻辑工具主义方案，而选择了对克里普克真理论进行一种直接地公理化，并称这个新理论为PKF。(cf.Halbach and Horsten,pp.692－693)PKF完全是在部分逻辑中建立的，即外逻辑和内逻辑都为强克林逻辑。PKF是KF的一个子理论，有好的模型。所有的克里普克固定点都是PKF的模型，于是说谎者语句和其否定在PKF中都是不可证的，因此PKF应该是真理论上健全的。而且，PKF在NEC和CONEC下也是封闭的。但是因为PKF采用了部分逻辑，无法证明排中律，因此它的真概念是不完全的。PKF完全放弃了经典逻辑后，一些很基本的定理(如
)都不再有效。经典逻辑推理的失效不会仅限制在纯语义方面，还会影响到语言哲学、形而上学、认识论和经验科学等，所以一些逻辑学家反对非经典逻辑真理论。
(4)无类型的去引号真理论。如果对TB系统进行扩充，使得T-语句中的不仅是的语句，而且可以有T谓词的正出现，那么就得到一种无类型的去引号真理论，哈尔巴赫将它命名为PUTB系统。(cf.Halbach,2009,p.788)PUTB有好的模型，也是一致的。比TB更强，PUTB能够定义KF中的正组合真原则，即可以定义它的真谓词，所以不再被认为是弱演绎力。PUTB体现了去引号真与组合真之间有着一定的联系。不过与TB相同，PUTB并不能够直接证明KF的真公理。把PUTB在规则NEC和CONEC下封闭，可以得到一致的新系统。因为说谎者等悖论具有真谓词在奇数个否定词范围内的特点，PUTB排除了这种情况，所以在真理论上应该也是健全的。
三、紧缩真理论的新进展
霍维奇于1990年发表的《真》，标志着紧缩真理论真正开始进入哲学的主流视野。与实质真理论相反，紧缩论通常认为真是非实质的概念。紧缩论者也断言不可能明确定义真，并且大多选择了公理化方法而不是语义方法，只不过有一些紧缩论者更愿意将真的公理化称为一种真的含蓄定义。因此，公理化的真与紧缩论是密切联系的，事实上紧缩真理论可以看做公理化真理论的哲学解释。早期的紧缩论(如霍维奇的最小主义理论)对应的形式理论是最老的TB系统。近些年来，紧缩论者开始讨论新的更强的公理化真理论，所以我们关心的是当代的紧缩论。
弗雷格和一些早期的紧缩论者曾认为真是一个纯逻辑概念，就如同“非”、“析取”等概念。哈尔巴赫和霍斯顿则进一步将其修正为真是一个逻辑—语言概念，因为真需要一个句法理论为基础，真的载体一般被认为是语句。又由于对句法对象采用了自然数的哥德尔编码，因此真也就可以看做逻辑—数学概念。(cf.Horsten,2011,pp.65－66)紧缩论认为真概念具有形而上学和认识论的中立性，不属于深奥的哲学概念，而被看作浅层(light)的概念，所以无助于解决实质的哲学问题。当代的紧缩论主要有两个核心主旨：(1)真是作为去引号策略用于表达概括；(2)真应该对基础理论是保守的，因此不对世界的知识作出任何贡献。(cf.Halbach,2011,p.306)
1.去引号论 去引号策略是紧缩论的标志之一，而且一些紧缩论者把真看做仅仅是表达某些概括功能的去引号策略。奎因可以说是首位主要的去引号论倡导者。他的去引号策略认为，我们断言一个语句，当且仅当我们把它放入引号内并断言T()。既然一个语句和给这个语句加上引号使之为真在逻辑上是等价的，那么真不就是多余的吗？首先，像说谎者这类语句是无法消去真的，其次，更重要的是，当需要断言无穷多个语句时，人作为有限的个体是不可能直接实现的，这时真谓词的作用就凸显了，借助它可以在一条语句中断言无穷多个语句的合取的真，所以真能够增强语言的表达力。
早期的紧缩论者认为真概念的意义可以完全由限制的T-语句给出，因此他们把TB系统看成真理论完全的，表述了去引号论。但随着新的公理化真理论的发展，对这个断言开始产生了怀疑。比如TB系统在一定条件下可以证明一些一般原则，但不能证明一般化的组合真原则，而更强的TC系统则可以满足概括功能的要求。如果我们转到无类型的真理论，那么PUTB系统似乎是去引号论者更倾向的理论之一，因为它的真公理都是T谓词正出现的T-语句，而且能够定义KF组合真公理的真谓词，所以克服了TB系统弱表达力的缺陷。
2.保守性 对基础理论的保守性是当代的紧缩论者新提出的一个要求，霍斯顿曾是最早提倡保守性的紧缩论者之一。(cf.Horsten,1995,pp.173－187)其后的夏皮罗(S.Shapiro)、科特兰德(Ketland)和费德(H.Field)等人把公理化真理论的保守性作为对紧缩论主要的技术讨论。所谓的保守性是指，对于某个
语言中的基础理论
扩充到
语言中的真理论
，使得每个中不包含真谓词的语句，如果有
，那么
。为什么紧缩论者要强调保守性呢？夏皮罗做了如下论证：“设想由某个基础理论B仅仅通过增加真谓词和真公理扩充到理论B′，假如真理论B′对B是不保守的，那么存在最初语言中的语句
(不包含真谓词)，使得是B′的后承但不是B的后承。于是导致B的公理为真且为假在逻辑上是可能的，但是B′的公理为真且中为假在逻辑上则是不可能的。这将会破坏紧缩论的中心主旨，即真是非实质的。因为由理论B到真理论B′增加了足够的语义内容，使得排除了为假的可能性，但根据假设在B′中增加的仅仅是关于真的原则，所以这些真原则有实质的语义内容。”(Shapiro,pp.497－498)我们把紧缩论与保守性的紧密联系简化为“如果真概念确是非实质的，那么它就应该对基础理论保守”，且称之为保守性准则。霍斯顿和费德主要讨论的是真理论应该对哲学理论(如形而上学、认识论、语义学等)保守，而科特兰德和哈尔巴赫更关注真理论对数学理论保守。
通常研究得最多的是对一阶算术PA的保守性。TB系统对PA是保守的，而现在已经证明了TC系统对PA不是保守的，一些逻辑学家因此认为紧缩论将受到质疑。费德作出了回应，他赞同紧缩论应该是算术保守的，但指出TC中有包含真谓词的归纳公理，这不是纯粹的真原则，而属于数学原则。如果PA只加上组合真公理，且归纳公理中不允许含有真谓词，将得到系统
，对PA仍然是保守的。于是紧缩论对保守性的要求可以得到辩护。(cf.Field,pp.535－539)但是包含真谓词的归纳公理本身并不会蕴涵新结论。如果它被认为是数学原则的话，那么有它为公理的PAT系统则可以看做是数学基础理论。可是PAT仍然是保守的，即使在此基础上加上T-语句得到系统TB，也还是保守的。一旦加上组合真公理得到系统TC，则对PA不再保守，因此组合真公理的确对不保守性也起了一定作用。还有这样的观点：这些归纳公理属于数学和真相互作用的原则，既具有数学又具有真内容，很难严格分离数学原则和真原则。
由于TC等系统被认为是真理论上健全的，因此我们不得不承认真对数学不保守是一种客观的现象。更强的FS、KF、PKF和PUTB等系统也都对PA不保守。哈尔巴赫认为如果紧缩论还要有机会，那么它必须与数学保守性断言相分离。(cf.Halbach,2001,pp.187－188)所以对数学的保守性不应该看成紧缩论的必要成分。不过如果真概念是被视为逻辑－语言或逻辑－数学概念，那么它对数学不保守也是可能的。
为了进一步探究保守性的界限，需要指出的是，由对数学的不保守得到真具有一定数学实质内容是限制在一定条件下的。公理化真理论的形式工作已经证明，
等理论对PA都是保守的，因此公理化真理论对数学的不保守似乎与包含真谓词的归纳公理关。③假如含有真谓词的归纳公理却被视为既有新数学内容又有真内容，那么由系统对数学不保守推出真概念对数学不保守就会引起一些人的怀疑。不过，我们现在还是承认真在一定范围内对数学是不保守的，于是严格的紧缩论也就面临着困难。由于现在没有任何证据表明真对哲学是不保守的，因此我们认为真概念对不包含特定数学内容的形而上学和认识论是保守的，这为后文提出的弱化紧缩论提供了支持。
3.推理的紧缩真理论 为了解决由数学不保守导致的紧缩论的困境，霍斯顿提出了一种新的推理的紧缩真理论。(cf.Horsten,2011,pp.143－148)他认为紧缩论的核心观点仍然是真是浅层的、非实质的概念，但不能通过保守性来论述。而用PKF系统揭示的真概念是非常简单的，并可以符合紧缩论的要求。不同于系统TC和FS等，PKF中没有不受限制的一般真原则，因此可以看做真并没有本质需要描述。PKF中具有的是关于真的自然的推理规则，有重要的表达功能，因此就如同逻辑联结词一样，可以看做必需的推理工具。这样，霍斯顿的推理紧缩论就保留了真是非实质概念的观点，并以PKF系统作为形式表达。霍斯顿还认为紧缩论应该描述真的推理作用，PKF的推理规则给出了部分的真概念意义，不排除未来有更好的公理化真理论。
四、反思与展望
以上许多逻辑学家先后提出了不同的公理化真理论，那么公理化真理论有没有统一的标准呢？莱特杰布给出了公理化真理论的一个标准，并得到了许多学者的认可。他在文中提出了八个标准：(1)真应该通过一个谓词是可表达的(并且一个句法理论应该是可用的)；(2)如果一个真理论被添加到数学或经验理论，它应该是可能证明后者为真；(3)真谓词不应该受支配于类型限制；(4)T-双条件句应该不受限制地可推出；(5)真应该是组合的；(6)这个理论应该允许标准解释；(7)外逻辑和内逻辑应该一致；(8)外逻辑应该是经典的。(cf.Leitgeb,pp.277－282)下面我们将根据该标准对本文已论述的公理化真理论逐一给出分析和补充。
对标准(1)上述所有的公理化真理论都能满足，其中PA系统即为句法理论，用谓词符号T表达真。标准(2)是说在公理化真理论中能够证明“所有在PA中可证的语句都为真”，本文的公理化真理论都满足该标准，标准(2)在一定程度上可由标准(4)得出。TB、TC和
等类型真理论都不符合标准(3)，而早期的紧缩论者主要都考虑类型真理论，因此标准(3)不应该是一条严格的标准。KF和PUTB能推出真谓词正出现的T-语句，类型真理论只能推出
的T-语句，所以对于标准(4)我们有限制地接受。事实上，假如同时接受标准(3)(4)(8)，那么由于说谎者悖论，将会导致不一致的系统。如果将不受限制的T-语句改为对中的语句，T()
，那么上述的公理化真理论基本都满足。对标准(5)TB不满足，KF只满足正组合，TC、和FS完全满足，PUTB通过定义真间接满足。对标准(6)只有FS不满足，ω-不一致是FS的缺点。对标准(7)只有KF不满足，它的外逻辑是经典逻辑，内逻辑是强克林逻辑。需要指出的是PKF虽然内外逻辑一致，但都是强克林逻辑。对标准(8)只有PKF不满足，它放弃了经典逻辑。
可见，已有的公理化真理论有些类似于模态逻辑，或多或少都有些不足，故逻辑学家们在很多方面还需要继续研究：例如，如何弱化FS系统，使得它是ω-一致的；寻求IKF系统的一种自然的、直接的公理化方法；把KF系统限制在有根基的语句上，并研究该系统的好性质。我们不否定在逻辑学家的共同努力下，未来可能出现比较完美的公理化真理论。
前述霍斯顿的推理紧缩论把PKF系统作为其典型的形式表达。他的一个重要前提是放弃了保守性准则，即如果真概念是非实质的，那么真理论应该对基础理论是保守的。但我们认为他的推理紧缩论存在许多问题，如下所述：
首先，霍斯顿论证的关键一步是由没有真的一般原则推导出真没有本质，然而这个推导模式是受到质疑的，因为这两者在逻辑上找不到必然联系的有力证据。霍斯顿本人最后也承认这并非是演绎推理，而只是把真没有本质看作对真没有一般原则的一种最好解释。这不足以让人信服。(cf.Horsten,2011,p.151)
其次，霍斯顿的推理紧缩论认为真概念的意义由推理规则来解释，这样规则就不能通过涉及真的概念来解释，否则会陷入循环论证。遵循某种规则能否避免真概念的使用呢？比如能想象一个人在不相信该规则为真时应用它吗？这在哲学上是很有争议的。
再次，霍斯顿说PKF系统只有真的推理规则而没有真的一般原则，但这必须建立在PKF是非经典逻辑的基础上。我们知道在经典逻辑中由于演绎定理的存在，推理规则可以对应于一条公理模式；只有在非经典逻辑中演绎定理才失效，这样导致PKF的真规则无法对应于真的一般原则。但问题在于，在外逻辑中采用非经典逻辑是被许多逻辑学家反对的，这样PKF系统本身作为推理紧缩论的形式典范就受到质疑了。
最后，很重要的一点是，霍斯顿论述道与PKF相对应，经典逻辑中的公理化真理论TC和FS等由于包含有真的一般原则，因此它们没有提供任何理由使得人们相信真没有本质。(ibid,p.143)按照霍斯顿的观点，由于
的公理同样包含真的一般原则，所以也应该被认为无法体现真没有本质。然而事实恰恰相反，与PKF的不保守性不同，由于对PA是保守的，因而即使在较严格的紧缩论者看来，它也是一个很理想的理论。上述矛盾的根源在于霍斯顿彻底放弃了保守性准则，把真非实质与保守性的联系替换成真非实质与真无一般原则的联系。我们认为此方法有避重就轻之嫌。如前所述，保守性准则更具有逻辑上的严谨性和明晰性，夏皮罗的论证过程也有较大说服力，并得到许多当代紧缩论者的认同，反之该新准则在哲学上显得很含糊。
既然保守性准则应该得到贯彻，而真对数学又是不保守的，那么是否意味着应该彻底放弃紧缩论呢？我们对此的回答仍然是否定的。紧缩论的核心观点是：真是一种浅层的、非实质的概念，并且强调真概念无助于解决形而上学和认识论上的争论。紧缩论仍然具有重要价值，许多没有经过哲学和逻辑学训练的普通人也可以轻松正确地使用真概念，因此至少从直观上来看，真不应该是一个深奥复杂的哲学概念。我们没有采用霍斯顿的方案，而继续接受许多当代紧缩论者认同的保守性准则，并在充分尊重已有的正确形式结论的前提下，尝试提出一种弱化的紧缩真理论的新进路。正如要具体细分对什么保守一样，我们也要区分真在哪些方面是非实质的。由于公理化真理论的形式结果已经证明真对数学是不保守的，所以我们应该承认真在数学上是具有一定实质内容的。不过前面已经论述，真对数学不保守也是限制在一定条件下的，因为含有真谓词的归纳公理被一些人认为是数学公理，更有人认为它既是真公理又是数学公理。所以，鉴于目前许多不保守性依赖于有一定争议的归纳公理，我们有理由把真的数学内容称之为限定的、较少实质内容。更主要的是，真概念对不包含特定数学内容的形而上学和认识论还是保守的，所以在这些哲学内容上是非实质的。因此，真在形而上学和认识论上仍然保持中立性，还是一种浅层的概念。我们提出的弱化的紧缩论保留了真不是深奥的哲学概念这一特点。
对于较严格的紧缩论者来说，TB和系统仍然是他们倾向的选择。需要考虑无类型真理论时，目前我们认为PUTB系统是比PKF更好的紧缩论的形式表达。
由定义的真理论到公理化的真理论这一重要转向，直接促进了紧缩真理论的研究与发展：许多形式上的技术工作揭示了传统定义和语义方法难以企及的深刻问题和结论，提供了崭新的视角和工具，加深了我们对真概念的认识与理解，故在真理论的发展历史上有着重大的意义。
注释：
①
表达由两个值相等的闭项组成的原子等式。为了简洁起见，该公理采用了简化的符号，确切地说真谓词符号T括号内的联结词和量词应该是有其相应功能的函数符号。(cf.Halbach,2011,p.65)
②所谓的外逻辑是指不在真谓词的应用范围内，而内逻辑则是指在真谓词的应用范围内。
③分别是在TC、FS、KF、PUTB的基础上去掉包含真谓词的归纳公理实例而得到。