中澳教材习题的比较与启示--以“正弦定理与余弦定理”为例_数学论文

中澳教科书中习题的比较与启示——以“正弦定理和余弦定理”章节为例，本文主要内容关键词为：定理论文,余弦论文,正弦论文,为例论文,书中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      2014年9月中旬，笔者以宁波市卓越工程“影子教师”的身份，赴澳大利亚新南威尔士州学习了三个月.其中两个月的时间，笔者在当地的一所学校Parramatta High School进行蹲点学习，主要是跟随指导教师进课堂听课，课后进行交流访谈，参与到他们的一些教学辅助工作中，此即为“影子教师”的含义.

      在此期间，笔者就两国教科书上习题的差异进行了比较和分析，主要针对“正弦定理和余弦定理”这一章节.在此呈现习题的比较和几点讨论，愿与同行切磋、交流.

      二、问题的提出

      “问题是数学的心脏”，习题是认识、理解和掌握数学知识的钥匙.习题作为数学教科书中的一个重要组成部分，有着巩固和深化新知、补充与延伸新知、领悟数学思想方法、诊断反馈、补救育人等功能.在数学教科书的编写上，习题的选择与配置非常重要.习题的数量、类型、难易程度等都影响着整个教科书的质量.同时，对具体的教学也有一定的指向作用.习题设置在一定程度上反映了数学教科书编写的价值取向和目标要求.因此笔者选择中国与澳大利亚两国在“正弦定理和余弦定理”这一章节中的习题作为比较对象，以期能对我国数学教科书习题部分的编写提供参考.

      三、比较分析

      1.比较对象

      在国内，用得比较多的是人民教育出版社出版的教材（下称“人教版”）.笔者所在的省份为浙江省，数学教科书用的是人教A版.选取的章节为必修5的第一章“解三角形”中“1.1正弦定理和余弦定理”一节.

      澳大利亚高质量的教育体制至今已日渐完善，先进的教育理念、高效的教育体制也引起了各国学者的关注.澳大利亚的基础教育为13年制，从5岁起入读幼儿园开始，然后是10年的小学、初中义务教育，2年的高中教育.

      澳大利亚共有6个州2个领地，没有全国统一的数学教科书.笔者学习所在的州是新南威尔士州，采用的是HSC课程（Higher School Certificate Course）.HSC考试相当于中国的高考.澳大利亚的11、12年级相当于国内的高中，数学是选修课，并且每一年级的数学都会进行分层教学，故教科书也有几个不同的层次.笔者选择比较的对象是12年级的Mathematics General 2（初级数学2）中第五章The Sine and Cosine Rules（正弦定理和余弦定理）中5-4至5-9节.

      2.比较问题

      人教版教科书中的必修5第1章“正弦定理和余弦定理”与澳大利亚Mathematics General 2（初级数学2）中第5章内容安排见表1.

      

      习题比较主要从数量、类型、难易程度和习题使用情况来分类统计，以此来比较两个国家在这块内容上习题的编写情况，进而反思教科书的习题编写及使用中的一些问题.

      习题数量从两个方面来比较：一是大题的数量，二是以包含小题的题量数来统计.由于澳大利亚的习题会出现一道大题包含6～9个小题的情况，所以统计小题数量也是有必要的.

      对于习题类型，由于两国教科书在这块知识上都没有填空题，所以主要分为选择题、判断题、计算题、证明题和调查题.调查题主要是指开放性的问题.由于“正弦定理和余弦定理”这一块内容是需要应用到实际生活中的，所以笔者又把习题分成“纯数学背景”和“有生活背景”两大类别继续进行统计，以期比较两国习题的应用程度.

      习题难易程度主要将习题的认知水平分成操作性记忆水平、概念性记忆水平、说明性理解水平、探究性理解水平四个层次来统计分析.

      习题使用情况主要结合笔者在国内的观察和在澳大利亚通过听课、访谈得到的结果进行比较.

      3.比较方法

      主要利用两国的教科书进行文本性质的分析，再结合进课堂听课和对教师、学生的访谈.

      四、分析结果

      1.习题数量

      在习题数量方面，澳大利亚教科书的习题数量要远远多于人教版教科书中的习题数量（表2）.大题数量是中国大题数量的两倍，小题数量约为中国小题数量的2.5倍.对于同一个知识点，澳大利亚的教科书会进行反复训练，类似国内的题组.为了对概念有一个直观的认识和对公式的直接应用和巩固，编者就以不同的背景来出一些习题，有从纯数学背景出发的简单计算题，也有加上一些生活情境的解答题.

      

      比如在“5-5利用正弦定理求未知角”的习题中，第一道纯数学背景的计算题就是（图1）：Findθ in each triangle.Give your answer correct to the nearest minute.（求每一个三角形中的θ角，近似到分）

      注：澳大利亚的教学鼓励学生从小使用计算器，在高中大部分的计算是允许使用计算器的.所以在习题中对于角度的要求就会低一些.

      

      这其实就是一个题组训练了，对于同一类型的题目进行系统训练，并且在最后两个小题稍微转了一个弯，更巧妙地考查了知识点.多题量的配置可以让教师更容易选择合适的习题应用于不同层次的学生.

      人教版的教科书在“正弦定理”这一节的习题配置上，是直接让学生求解三角形.如：在△ABC中，已知下列条件，解三角形（边长精确到cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm；（2）A=60°，B=45°，c=20cm.相比于澳大利亚的教科书，这样的习题配置层次不够分明.

      要学好数学，习题是必不可少的.但过少的习题可能不能让学生掌握新学的知识，过多的习题又可能加重学生的负担.笔者认为国内的教材在这一章节的课后习题上稍显单薄.作为多个省份都选用的教材，面对的是不同层次的学生，所以不妨多配置一些习题以供选择.合理配置习题是值得研究的问题.

      2.习题类型

      两国的教材在习题类型上都非常丰富.如果以选择题、判断题、计算题、证明题、调查题来分类的话，人教版的教科书中没有选择题和判断题，而澳大利亚的教科书里没有证明题（下页表3）.在听课过程中，笔者发现对于教科书中的一些定理结论，教师会根据不同程度的班级而决定是不是要进行证明论证.笔者所在的高中Parramatta High School是一所半精英学校，即学校里有60%的学生是通过选拔考试入学的.在这样一所学校的General Math的班级中，教师就没有证明正弦定理和余弦定理，并且这个层次的教科书中也没有出现证明，只要求学生记住并能应用这个公式即可.推理证明在澳洲的教材中要求较低.而在中国的教材里，对于“正弦定理和余弦定理”的成立，教科书中进行了简单的证明.由此可见，中国更注重推理证明的训练.

      

      由于“正弦定理和余弦定理”需要应用到实际生活中，所以笔者对习题是否有生活情境进行了大题数量的统计（表4）.

      

      从此数据比较，两国教材都注重培养学生的实际应用能力.人教版的习题应用于生活的题高达42.1%，同时澳大利亚的为27.6%.数学来源于生活，又服务于生活.所以，教科书中体现这样的理念是非常有必要的.如果忽视了知识与实际生活的联系，学生难以形成在任意生活情境下的数学表征习惯，容易限制学生学会数学化处理问题的方法.

      3.习题难易程度

      两国教材都注重双基，重视学生对基础知识和基本技能的理解和掌握.笔者把两国的习题按照不同的认知水平进行分类，分别为操作性记忆水平、概念性记忆水平、说明性理解水平、探究性理解水平.

      操作性记忆水平：我们把按照书本上的知识或方法直接进行基本计算和常规操作的题归为操作性记忆.如人教版第18页中练习1：“在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.01

）：已知a=18 cm，c=25cm，B=48.5°.” Mathematics General 2中5-4习题1（图2）："Find the value of the pronominal,correct to two decimal places."（求未知数的值，精确到两位小数）

      

      概念性记忆水平：需要学生熟记概念、公式、法则等并且利用这些公式、法则进行运算.如人教版第4页练习1：“在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）：a=20 cm，b=11 cm，B=30°.” Mathematics General 2中5-7习题6："A triangle has sides of length 8cm,15cm and 17cm,Find the size of the smallest angle.Answer correct to the nearest minute."（三角形三条边长分别为8 cm，15 cm和17 cm.求三角形的最小角.精确到分）

      说明性理解水平：需要学生理解概念、公式、法则等数学内涵，能灵活应用这些公式、法则进行运算.如人教版第19页习题2的计算题：“飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250 m，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°30’，经过150 s后又看到山顶的俯角为81 °，求山顶的海拔高度（精确到1m）.”Mathematics General 2中5-5的习题10（图3）：“The angle of depression from A to D is 70°.The length of AB is 25 metres and the length of BD is 19 metres.Calculate the angle of elevation from D to.Answer to the nearest degree.”（从A到D的俯角为70°.AB的长为25 m，BD的长为19m，计算从D到B的仰角.角度精确到度）

      

      探究性理解水平：需要学生能将概念、公式、法则等灵活应用于开放题或是探究创新题中.如人教版第25页复习参考题B组第1题：“设A，B是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，设计一个测量A和B距离的方法.”Mathematics General 2中5-4的investigation（调查）（图4）：“Find q in the diagram,correct to two decimal places:（a）using the sine ration; （b）using the sine rule.Why do both methods give the same answer?（求图中的q值，保留两位小数.（a）使用正弦的三角函数求值；（b）使用正弦定理求值.为什么两种方法得到同样的答案呢？）”

      

      从统计数据来分析，Mathematics General 2中习题数量要远远多于人教版的习题数.但是从难度上来看，在这一章节人教版教科书的习题难度要远高于澳大利亚的习题.人教版的习题呈现出“少而精”，它兼顾了四个水平的习题，可以满足各类不同学生的需要，特别安排了探究性的习题，让学生思考一些开放题和设计题.而Mathematics General 2中的习题呈现的是“多而重”，习题大多数集中在概念性记忆水平，总体难度要求较低，多属于操作性记忆水平，同一种类型的题会在章节复习题中又反复出现.

      

      4.习题使用情况

      在中国，课后习题的使用取决于学生水平的高低.一般情况是上课时有的教师会选择用课后练习，但也有教师可能选择从教辅书上找练习题.学生的家庭作业是教师另外准备的题目.在澳大利亚，据笔者在Parramatta High School的了解，教师对习题的使用也根据班级的情况来决定.9年级开始，数学的学习就开始分层.如果在General Mathematics这样层次的班级里，教师会挑教科书上较简单的一部分让学生在课堂完成，多集中于操作性记忆水平和概念性记忆水平的题目.有时候在同一个班级里，教师也会对不同的学生进行分层布置习题.学生的家庭作业一般都是书本上的课后习题.在教科书的最后一部分是习题的详细解答，所以学生可以及时地自行核对和思考.对于布置的习题作业，只需要在第二天的课堂里由教师抽查一下即可.这点与中国很不相同.所以，澳大利亚的学生在学习数学方面的负担要比中国的学生轻得多.

      1.中国与澳大利亚习题配置都重基础

      两国的习题都重视双基，习题的内容设计合理，特别在应用方面，贴近学生的实际生活.习题注重通性通法的落实和强化.特别是澳大利亚的教科书，对于同一类型的习题可以配置5～6个小题，以供学生和教师选择性地使用.在操作性记忆水平和概念性记忆水平的题目数量上，Mathematics General 2的习题多达80.3%.

      2.中国与澳大利亚的习题配置都重数学应用

      “正弦定理和余弦定理”这一节注重数学在生活中的实际应用，两国教材在习题的配置上都选择了一部分应用题.人教版的应用题占了大题数量的42.1%，Mathematics General 2则占了大题数量的27.6%.在这个数据的比较下，我们发现中国教材可能更注重数学与实际生活的结合，体现了数学来源于生活又服务于生活的意识.

      3.澳大利亚的习题更适合师生利用教材

      现在国内的教学存在一个普遍的现象，就是很多教师上课几乎不用教科书，而是选用几本教辅书代替.市面上的教辅书编写得很全面，也有概念剖析，例题讲解，还有不同层次的习题配置.教师上课不选用教材，导致学生的教科书利用率也极低，甚至有学生学完数学教科书还是崭新的.这是一种资源浪费.况且市面上的教辅书良莠不齐，很可能导致教师挑选题目不严谨.那么为什么这么多教师不喜欢在上课时选用教材呢？笔者认为其中一个原因就是教材的习题数量少，基础题的配置数量不够多.比如说在操作性记忆水平层面，人教版的习题数量才占了13.2%，而Mathematics General 2习题数占了30.3%.对于一个新知识的理解和巩固，必要的基础训练是不可或缺的.特别是针对数学基础较一般的学生，他们需要有一部分基础训练题来不断地强化理解，也可以帮助他们自我激励和培养学好数学的信心.因此，如果我们的教材在习题的配置上能够再丰富些，层次更分明些，这样可能更便于教师挑选习题和学生学习.

      中国与澳大利亚两套教科书在“正弦定理和余弦定理”这一节的习题编写，在数量、类型、难易程度和习题使用情况上有一定的差异，但是编写的出发点都是为了学生能更好地发展，帮助他们更好地学习数学.路漫漫其修远兮，如何保留中国传统的特色，与澳大利亚的教育进行取长补短，不断地完善中国数学教科书习题的编写，将是一个值得长期跟踪研究的课题.

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