数学“情境—问题”教学中教师的MPCK理论研究，本文主要内容关键词为：理论研究论文,情境论文,数学论文,教师论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
为促进基础教育课程改革，贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授于2000年提出“数学情境与提出问题”教学模式（以下简称“情境—问题”教学）.经过多年的实践检验，该教学模式被证明对于学生学习数学知识和培养学生的问题意识及创新精神具有良好的效果.然而，“情境—问题”教学能够有效实施，避免“去数学化”的倾向和偏离教学目标，离不开数学教师所具有的与之相适应的专业知识.究竟“情境—问题”教学对数学教师的专业知识提出了哪些具体要求，成为理论研究和教学实践中必须思考的问题.
二、“情境—问题”教学简介
“情境—问题”教学是指学生在教师的引导下，从熟悉或感兴趣的数学情境出发，通过积极思考、主动探究、提出问题、分析问题和解决问题，获取数学知识、思想方法和技能技巧并实际应用的过程[1].其基本教学模式如图1所示.
该教学模式的宗旨是培养学生创新意识与实践能力，注重培养学生的问题意识和提高学生提出问题与解决问题的能力.其中，创设数学情境是前提，提出数学问题是重点，解决数学问题是核心，应用数学知识是目的.提出数学问题和解决数学问题是相互引发的，在解决数学问题和数学应用的过程中，已解决的问题和应用中的成果又可以作为提出新问题的数学情境，引发学生深一层次的探究与思考[2].在整个教学过程中，学生是自己数学知识的建构者和主动解决问题的探索者，而教师则是激励学生数学探究的引导者.
三、数学教学内容知识（MPCK）简介
1986年，美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼（Lee S.Shulman）最早提出教师专业知识结构理论，他把教师的专业知识分为7类，核心是学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK，许多国内学者翻译成学科教学知识）.PCK是教师开展教学活动时具有的独特知识[3].虽然后来的研究者们对PCK具体内涵的认识有所不同，但对其本质却达成了共识，即认为它是关于教师如何将学科知识转换成适应不同学习者的兴趣和能力，促使学习者更有效地学习的知识，其背后是各种类型教师知识的共同支撑[4].
依据研究者们对PCK本质的认识，数学教学内容知识（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）可以理解为数学教师关于某一特定的数学教学内容如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识[5].
香港中文大学教授黄毅英等研究者为了突出MPCK研究的实用性，把数学教师开展常规教学应具备的知识分为3类[6]：（1）数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK）；（2）一般教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称PK）；（3）有关数学学习的知识（Content Knowledge，简称CK，包含学生、学习背景、学习环境、教育宗旨等方面）.这3类知识的综合与融合就是MPCK，即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识.在实际开展教学时，教师往往需要综合运用这3类知识，才能够把科学形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识，帮助学生正确理解和熟练掌握所学的数学知识.如果把MK、PK、CK看成3个基本集合，MPCK即是它们的公共部分.参照韦恩图的设计原理，可以构建MPCK的结构模型图，如图2所示.
四、“情境—问题”教学中教师的MPCK分析
依据李渺和宁连华分析出的MPCK各成分的维度[4]，研究者对“情境—问题”教学中教师的MPCK作如下具体分析：
（一）MK有4个维度
MK有4个维度：数学观念、数学学科内容知识、数学思想方法以及数学史知识.
从数学观念维度看，“情境—问题”教学的有效实施，需要教师对数学形成两点基本认识[7]：
（1）问题是数学的心脏，数学是关于问题提出与解决的科学.数学活动的本质是创新，数学知识的诞生，数学理论的应用都是创新型智慧的结晶.
（2）数学问题产生于数学情境，数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件.人们通过对数学情境中数学信息的观察、分析，产生疑虑、困惑，逐步发现、形成数学问题，最后通过解决问题形成数学知识，获得创造性数学成果.
从数学学科内容知识维度看，学科内容知识是教师专业知识中的核心内容之一，是成为一名教师的基础.在“情境—问题”教学中，数学学科内容知识也是数学教学的核心内容之一，但其广度、深度以及贯通度都得到扩展和延伸.在扎实掌握数学内容知识的前提下，教师还要学会从数学知识的角度看待世界，认真挖掘并且正确理解隐藏在各种情境（如生活实践中的情境、其他学科内容知识所构成的情境、学生已经具备的数学内容知识所构成的情境）中的数学内容知识，巧妙地将数学内容知识与各种情境糅合在一起，这是教师创设高质量的数学情境的必要条件之一.譬如，在高三年级“立体几何知识综合复习”的课堂教学中，教师创设了如下情境：
要求学生围绕立体几何中相关的数学知识提出有价值的数学问题.
这是一个跨学科的情境.甲烷是高中有机化学中的基本知识，高三学生普遍比较熟悉.甲烷的空间结构是一个正三棱锥（或称为正四面体），而正三棱锥是立体几何的重要知识点之一.该情境中隐含的数学学科内容知识很多，例如：空间两直线位置关系；直线和平面的位置关系；空间两个平面的位置关系；两个平面的二面角；正三棱锥的概念、性质（高、表面积、体积等）、顶点在底面的射影位置；棱锥的外接球、内切球；棱锥与空间向量等.教师不仅对这些数学学科内容知识了然于胸，还善于联想和类比，将数学立体几何知识与化学甲烷知识融合成数学问题情境.之后，教师引导学生现实观察或者联想化学学科中的甲烷结构模型，结合学习过的平面几何、立体几何、向量等数学学科内容知识提出数学问题.例如，甲烷四面体中心碳原子到甲烷四面体各个面几个棱的距离是多少？甲烷四面体的6条棱中有几对是异面直线，每对异面直线间的距离和所成的角分别是多少？甲烷四面体的任意两个面所成的二面角有多大？
从数学思想方法维度看，数学思想方法是教师专业知识中的核心内容之一，同样是“情境—问题”教学的核心教学内容之一.数学教师自身要扎实掌握各种数学思想方法，在“情境—问题”教学中，还要潜移默化地将其传授给学生，并引导学生运用这些数学思想方法参与教学活动.设计数学情境时，教师需注重情境化与数学化的相互协调，不可偏颇.其一，情境中隐含的数学问题及其解决办法要能体现出符合教学目标的数学思想方法；引导学生提出问题环节，要能体现合情推理、猜想假设的思想方法；解决问题和数学应用环节中，要能体现推理证明、数学化归的思想方法.譬如，在“一元一次不等式（组）、方程与函数的应用”的课堂教学中，教师创设了如下数学问题情境：
某电信公司推出3种手机卡供用户选择，收费标准为经济卡：月租费30元，通话费0.2元/分钟；亲情卡：月租费12元，通话费0.4元/分钟；如意通：没有月租费，通话费0.6元/分钟.（上述3种通话均指本地通话）要求学生围绕一元一次不等式（组）、方程与函数的应用提出有价值的数学问题.缴纳手机通话费是学生熟悉的一个生活实例，该情境既让学生感受到数学与生活的密切联系，对数学产生亲近感，又隐含了符合教学目标的数学知识和数学思想方法，没有脱离“数学化”.对不同手机卡的通话费进行比较容易引发学生的认知冲突，学生对情境认真观察、分析归纳，发现情境中的数学成分，进而通过合情推理、猜想假设的思想方法提出数学问题.例如，每月通话100分钟时，使用哪种卡划算？每月话费150元，使用哪种卡划算？当每月通话时间大于250分钟时，使用哪种卡划算？什么情况下使用某一种卡划算，什么情况下3种卡收费相同？进一步地，教师对学生提出的数学问题进行分类，筛选出有价值、有代表性的数学问题，引导学生分析和探究，利用代数（方程、不等式）或平面几何（线性规划）知识以及分类讨论、数形结合、推理证明、数学化归等多种数学方法加以解决.从数学史知识维度看，在“情境—问题”教学中，教师需要掌握相当数量的数学史知识，在情境创设环节中，数学史知识是不容忽视的情境素材来源之一，许多教师正是从数学史知识中获取灵感，创设出了一个个优秀的数学情境.数学史知识还提供了丰富的数学猜想实例和解决数学问题的思想方法，教师应当掌握相关数学知识的发生或发现以及发展过程，把某些有历史渊源的教学内容放到历史的背景下向学生展示，营造出一种充满探究气息的数学学习氛围，激发学生的探究意识和探究热情，促进学生更加积极主动地提出有价值的数学问题并按照数学家们的思考探究过程最终解决问题，让学生学到数学知识和数学思想方法的同时，了解其形成、发展和完善的过程.譬如，在讲解等差数列求和公式时可以采用高斯幼年巧算1+2+3+…+100的故事作为数学问题情境，并启发学生提出自己的想法，最终解决该情境中的求和问题；在讲解“等比数列前n项和”公式时，可以把印度国王舍罕褒赏国际象棋发明者的故事作为新课的引入，按照故事的发生发展过程引导学生提出问题或猜想，问题的解决和历史故事的结局也融合在了一起.
（二）PK有4个维度
PK有4个维度：教育观念、教育理论知识、课程知识以及教学知识.
从教育观念维度看，“情境—问题”教学着力于学生创新精神和实践能力的培养.为此，教师应对数学教育形成如下基本认识：教数学就是要教数学的创新精神，展示数学创新的思想与方法，传授数学创新的事实；学数学就是要学数学的创新观念，养成数学的创新意识与能力，掌握数学创新的知识[1].
从教育理论知识维度看，教师要掌握以下几个方面的知识：（1）理解和掌握“情境—问题”教学的基本目的，即培养学生自主创新意识与实践能力，核心是培养学生的问题探究意识；（2）掌握“情境—问题”教学中创设数学情境的原则[8]：科学性原则、探究性原则、趣味性原则、发展性原则等；（3）了解数学问题来源于人类的生产生活实践、自然科学研究和数学体系内部，好的数学问题的特征包括切中主题、清晰明确、难度适当、新颖独特、启发性强、促进数学知识的理解和掌握等；（4）掌握提出问题的基本原则[9]：启发式教学原则、“把握数学抽象性的淡化”原则、“突出策略创造精神”的原则、“加强数学语言训练”的原则等；（5）掌握“情境—问题”教学的评价原则、“情境—问题”课堂教学基本要求及“情境—问题”教学的拓展模式等.
从课程知识维度看，数学课程标准是教师获取课程知识的主要来源之一.课程知识是指导教师课程实践的理论基础，不仅影响到教师对课程的理解，同时也规约着教师的教育教学行为.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到“情境”共有62处、提到“提出问题”共有14处；《普通高中数学课程标准（实验）》中提到“情境”共有28处、提到“提出问题”共有8处.在课程标准“教学建议”部分更是明确指出，“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”[10]；“教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程”[11]；“应通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题；教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料”[11]；“引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题”[11].因此，教师需要认真学习、领会和掌握课程标准中的数学课程知识，特别是关于创设情境与提出问题方面的课程知识，并将其应用于“情境—问题”教学实践中.
从教学知识维度看，“情境—问题”教学把引导学生质疑提问、培养学生问题意识、提高学生提出问题与解决问题的能力贯穿于教学的全过程[12].因此，教师不仅要具有研究数学问题、解决数学问题的知识，还要具备教学生提出问题的知识，主要包括引导学生提出数学问题和培养学生提出数学问题能力的方法策略知识.譬如，提出数学问题的方法知识：根据数学情境中的信息，围绕教学目标通过观察、实验、类比、归纳的方法展开合情推理，提出数量关系或空间形式的问题，以及在解决给定问题的过程中改变给定问题的限定条件提出更深层次的问题等.在解决数学问题环节，教师要遴选出学生提出的有价值的数学问题，引导学生积极主动地探索，鼓励学生采用多样化的问题解决策略，问题解决之后，将已经解决的问题作为新的数学情境，让学生经过反思、质疑后再提出更深层次的问题.关于学生提出问题和解决问题的能力的评价，教师需掌握定性与定量相结合的多样化评价方式，如书面考试（开、闭卷）、作业分析、课堂观察、课后访谈、讨论报告、撰写小论文等.
（三）CK有3个维度
CK有3个维度：学生发展的知识、学生学习的认知因素与非认知因素知识以及学习环境的知识.
从学生发展的知识维度看，“情境—问题”教学是以问题为纽带的建构性学习，核心在于学生问题意识和问题探究能力的发展.问题意识是指个体在一定的情境下提出问题、质疑问题、变换问题和发展问题的一种自觉的心理状态或思维习惯[13].学生问题意识的自身发展具有渐进性（纵向），与所在学习群体中其他学生相比具有相对性（横向）.为了促进学生问题意识的发展，教师要学会营造有利于学生提出问题的民主和谐的教学氛围；要了解学生问题意识的行为表现，譬如好奇、怀疑、困惑、沉思、探究等；要了解学生问题意识和提出问题能力，可以从问题提出的数量、问题与教学内容的关联程度、问题的复杂难易程度、问题的开放发散程度、问题的拓展延伸程度、问题的可探究性程度等方面进行评价；要加强数学方法论的学习，掌握评价学生问题意识和问题提出能力的方法策略知识.譬如，提出问题的数量是评价学生问题意识与提出问题能力的一个重要指标.因此，就学生个体而言，教师要掌握对学生当前和以往提出的问题数量进行统计和分析的方法知识，对班级内的不同学生或不同班级的学生，教师要学会对他们提出的问题数量进行比较的方法知识[14].学生的问题探究能力是在问题探究活动中获得并发展的，他们借助数学问题情境中提供的信息发现问题和提出问题，之后通过探究活动解决问题，在获得新知识的过程中，形成问题探究能力.因此，教师要掌握学生数学问题探究能力的内涵知识、其形成和发展的规律知识、问题探究活动的组织引导知识以及问题探究能力的评价方法知识等.评价的方面主要包括提出问题的深度与价值、分析与解决问题的角度、表达解决问题过程的清晰简洁程度等，此外还要关注学生参与程度、合作交流行为、情感态度的发展及学生的数学思维状况等学习过程的评价.
从学生学习的认知因素维度看，在“情境—问题”教学中，学生已有数学认知结构即学生已有数学知识在头脑里的组织形式是教师创设数学情境和引导学生提出数学问题的出发点.因此，教师在进行“情境—问题”教学设计时，要事先掌握适应“情境—问题”教学的认知科学理论知识，充分了解学生已有的数学知识以及学生头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式与特征，依据学生数学认知特点和认知规律，分析出学生头脑中已有的数学认知结构与教学内容衔接最紧密的部分，找到与情境的创设与问题的提出可以挂钩的学生原有认知结构基础，促进原有数学认知结构的扩充和新数学认知结构的建立.教师还要认识到，不同学生对知识内容的理解和组织方式不同，数学认知结构的内容完备性与科学性不同，所以在进行“情境—问题”教学时应注意学生数学认知结构中的个体差异，因地制宜、因生而异地开展课堂教学.譬如，在高中数学“曲线方程的应用”课堂教学中，教师创设了如下数学情境：
如图4所示，有一定长直杆靠在墙角，它的两个端点A、B分别在以墙角建立起的x、y轴上滑动，点C为直杆AB的中点，直杆AB的长度为a.
要求学生围绕曲线方程相关的数学知识提出有价值的数学问题.
该问题情境来源于高一物理的力学教学内容，学生都已经学习过，而且比较熟悉，又有现实的生活经验，符合学生的认知水平，靠近学生的“最近发展区”，情境示意图比较生动直观，便于学生理解.该问题情境看似简单，却蕴含了丰富的数学信息，和曲线方程的知识联系紧密.学生此前不久学习过曲线方程，所以比较容易提出相关的数学问题，例如，在直杆滑动过程中，点C的轨迹是什么曲线？直杆AB所在的直线方程是什么？在直杆滑动过程中，Rt△OAB的面积怎样变化，有没有最大值和最小值？学生已有认知结构内包含了物理学中的力学知识和数学中的曲线方程知识，两者原本互不相连，在学生的头脑中处于隔离状态.该问题情境将学生已有数学认知结构中的曲线方程部分与物理认知结构中的力学部分巧妙地衔接在一起，数学问题的提出与学生原有认知结构挂钩，学生原有数学认知结构与物理认知结构得以交融和扩充，新的数学认知结构同时建立了起来.
从非认知因素维度看，“情境—问题”教学重视学生非认知因素对于教学效果的影响，主张课堂教学应将教学内容的知识性和趣味性相结合，学生自主学习与合作学习相结合，倡导采用以探究式为中心的自主合作学习，充分利用学生的非认知因素提高教学质量[2].为此，教师需要掌握教育心理学中情感、意志、动机、兴趣、性格等非认知因素的知识，将其运用于情境创设、提出问题等教学环节；切实掌握探究式教学、合作学习、自主学习的实质内容以及实施策略，恰当适时地使用多媒体等教学辅助工具，将它们有机地融入“情境—问题”教学中，为数学知识与方法技能的教学服务，要特别注意避免形式化而忽视数学教学的本质，防止出现“去数学化”的倾向而偏离教学目标.教师应知道非智力因素对学习的影响直接表现为学生学习有无积极性，教师可以根据学生对待学习的注意状态、情绪倾向和意志水平3个方面的表现，对影响学生学习的非智力因素的水平作出分析与判断.教师要掌握学生学习动机的类型和特点，在创设数学情境时，努力让学生产生学习需要并将其转化为最佳强度水平的学习动机和浓厚的学习兴趣，进而产生主动学习的学习行为.引导学生提出问题时，进一步采用各种激励策略，保持学生的学习热情和学习兴趣，增强学生的学习意志，以保证学生能够积极思考并提出有价值、高质量的数学问题.
从学习环境的知识维度看，“情境—问题”教学要求教师给学生提供以“问题”驱动的课堂学习环境.通过教师的情境创设和教学引导，让学生不仅提出自己的疑问，而且建构自己的问题；不仅提出简单的问题，而且提出探索性问题；不仅解决结构优良的问题，而且解决结构不良的问题；不仅在解决问题之前提出问题，在解决问题之中提出问题，而且在解决问题之后提出问题.由此激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，使学生在以“问题”驱动的数学学习环境中，成为数学问题的发现者、探索者和解决者.因此，教师应注重发挥学生的主体地位，采取以启发式方法为核心的灵活多样的教学方法，根据教学的进展和学生学习的基本情况，有针对性地选择和使用教学策略[15].
综上可见，“情境—问题”教学中教师的MPCK与其他教学模式中教师的MPCK既有共性，也有许多特殊的构成成分.由文章的分析可以得出，“情境—问题”教学的有效实施，关键在于教师运用所需的MPCK来思考“情境—问题”教学的最佳设计思路，寻求解决学生学习疑难点的最优方法，做出最有效的教学决策.理解并掌握相关的MPCK，教师可以更准确地发现自身在“情境—问题”教学中专业发展方面的不足，在反思中丰富自己的专业知识，提高自己的专业水平.
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