构建和谐数学课堂的五个要义，本文主要内容关键词为：要义论文,构建和谐论文,课堂论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
IBM公司曾经登过这样一则广告：Stop selling what you have,start selling what they need.（不再兜售你所拥有，开始销售顾客所需.）这则广告引起了我对高中数学课堂教学的反思，数学教师在课堂上不能只传授自己拥有的知识，更应该传授学生所需要的知识.我们可以冷静地对课堂教学进行一番通透的反思与思考，我们的课堂教学应关注哪些因素？怎样的课堂教学能称之为有效教学？怎样的数学课堂能体现“和谐”？下面笔者结合自己的教学实践提出构建和谐数学课堂的五个要义.
一、目标达成：计划与现实
任何课都是为了实现一个预期的目标而演绎的一段旅程.教师对每一节课都有目标预期，教师课前基于对课程标准、课程文本以及学生起点的分析，都会设计出计划要达成的目标.教学目标的设计自然会对教学产生直接的指向作用，不恰当的教学计划必然导致低效或无效的教学结果.但是，有时经过比较发现，教学目标确实达成的课，其实际效果却并不理想.很多教学效果平平的课往往都是执教教师止于自我预先设计的教学目标而忽视学生发展现状的结果.所以，在教学活动结束后，学生在最近发展区内发展的现实自然成为反观教学目标本身达成的另一个重要指标.
高中数学教学应重视学生数学思维的发展与拓展，教师在备课的时候应注意到有些目标是在课堂上实现的，有些目标是在课后实现的，而且往往课后实现的目标更重要.目前我们很多数学教师往往只顾课堂眼前目标，而忽视课后学生的长期发展目标.换句话说，我们数学教学存在两个目标：短期目标与长期目标.出于应试与高考的压力，教师注重短期目标：学生是否掌握了课堂上教师传授的数学知识与技能，能否熟练地解决数学题目.日本著名数学家米山国藏说过：“在学校学的数学知识，毕业后若没有什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益.”这应该就是数学教育所追求的理想境界.但在考试指挥棒下，数学教育中“教知识”的功能日趋凸显，而“明事理”的功能却被忽视，以教来“育人”变成了以教来“考人”，其检测手段就是考试，而考试也几乎成为数学教育的终极目的.为应对各级各类考试，在数学教育中，对基础知识与基本技能的理解与掌握是浓墨重彩的关注，而对基本活动经验的体验和基本数学思想方法的形成则是叶公好龙式的关注.这是应该引起我们数学教师关注的问题.
例如：在讲解“两角差的余弦公式”时，教师可以进行这样的尝试.白天黑夜，一年四季，涨潮落潮，心脏的收缩和扩张时周期运动的体现，而一年四季，白天黑夜是天体运动的结果.而三大天体运动，地球绕着太阳作圆周运动，月亮绕着地球作圆周运动，那么月亮绕着太阳所作的运动情况如何呢？以此为背景教师引导学生进行数学建模：
点Q在半径为1的圆P上运动的同时，圆心P又在另一个半径也为1的圆O上运动，P、Q两点的初始位置如图1所示，其中OP⊥QP，且P、Q两点以相同的角速度逆时针方向运动，这时点Q的运动如何刻画？教师可以引导学生运用向量的方法分析.
再进行大胆猜想：对于函数y=sinx+cosx，我们猜想它仍然表示一个简谐运动，即sinx+cosx能够恒等变形为Asin（ωx+φ）的形式，果真如此吗？
使用计算机技术，运用Excel对特殊的三角函数进行验证.补充数学史料，延伸知识点：一般的，有下列函数coskx，cos2kx，cos3kx，…，sinkx，sin2kx，sin3kx，…中若干个函数的和所得到的函数仍然是周期函数.法国数学家傅里叶发现，几乎所有的周期函数都能用这些函数的和（一般为无穷和）来表示.
发现问题，经历特殊化到一般化的过程：
cos（α-β）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？
教师在引课过程中，描述了公式的起源、公式的发现，其实这不是简单地在说一个数学问题，而是在教学生怎样发现问题，怎样观察问题，又怎么来建立数学模型，进而再怎样用数学的方法解决问题，而从一个问题的解决中又如何发现了新的问题，教师在这里做了精心的设计，可能仅通过这一次呈现无法达到教育的目的，但如果教师能长期坚持这样的设计思想，则必将会引起学生的改变，使学生学会发现、解决问题的方法，对学生来说这才是终身受益的.
二、主体互动：质量与机会
主体就是指教师和学生，课堂就是教师与学生之间通过不同方式的互动而演绎的一段通向预期目标地的旅程.主体互动是指教学活动的主体通过语言或行为的方式进行的信息交流.互动方式之一的语言也包括肢体语言在内.没有主体互动的课堂是难以想象的，但是表现出主体互动的课堂也未必是教学有效的课堂.对主体互动的审视还需要进一步地考察其“质量”与“机会”.所谓质量，是指在主体互动的过程中，有新的、有意义的内容生成，同时师生之间的问与答都融入了思维的积极活动.否则，只是教师连珠炮似的提问和学生不假思索的回答，虽互动频繁且不乏热烈，但仍不能视为有效的主体互动.所谓机会，是指主体之间的互动机会对于每一位学习共同体的成员都得到了实现.参与互动是每一位学习共同体的成员应有权利.真正民主的课堂就是要保证主体间平等的互动机会，课堂上每一个互动的环节都要尽可能地涉及更多的成员，并且通过整堂课的各种互动环节，基本上每一位成员都能获得主体间互动的机会.如果课堂上教师只是与少数几位学优学生的互动，或者只是学生中一部分活跃分子在互动，都不能够视为有效的课堂.经过“质量”与“机会”这样两个标准的深入考察，我们会发现以往许多课堂表演效果非常好的公开课尚有很大的改进空间.
数学教学应该是教师在课前准备的教案基础上，通过课堂主体间的互动，从而实现知识、技能以及情感等多方面进行体验、建构和共享的过程.数学是一门抽象程度很高的学科，很多教师反映数学课堂的互动没有文科课堂那么容易生成，学生不太容易接受像数学这样枯燥乏味的学科互动，认为这只是数学优等生之间的谈论话题.数学教师应该让数学成为全体学生共同的语言、共同的话题，让全体学生参与数学问题的探讨.
笔者在教学中经常为学生构建“数学学习共同体”，共同体的组员要满足组间同质、组内异质，学优生、普通生和学困生相互结合，让学优生鼓励帮助其他同学共同进入数学探究的空间.其次教师应该不失时机地为学生创造互动的机会，所提的问题应在学生的最近发展区内，能有效地激发学生的思维兴奋点与生惑点.“惑”这种心理现象在数学教学中主要发生在学生遇到数学知识发生发展的生长点和衔接点、数学思想方法的转折点、数学思维的症结点等时机.这些关节点、转折点、症结点都是典型的思维生惑点，这些思维生惑点的解除必须通过发展认知能力才能实现.知识是思维的对象和工具，从知识观的角度看，思维生惑点是已知与未知的混合物，是已知和未知的中介，是已知通向未知的桥梁.
例如在“二项式定理”的起始课上，教师：若今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？
学生：星期三，将问题转化为求“30被7除后的余数”是多少.
教师：若今天是星期一，再过
天后那一天是星期几？怎么算？
学生：将问题转化为求“被7除后的余数”是多少？至于这个怎么算，我就不知道了.
教师：更一般的可以让我们来研究“
被7除后的余数”是多少？就是研究展开式是什么？在学过本节课要学的内容后，此题就不难求解了.
三、知识呈现：时机与形式
知识呈现关注的是课堂上“方法”的因素，教学是一种艺术，教师在课堂上“艺术”表现的好与坏直接与课堂教学质量相关.没有知识呈现的课堂跟没有主体互动的课堂一样难以想象.但是，有知识呈现的课堂比比皆是，而呈现的效果却又是千差万别的，其中主要原因往往都在于呈现的时机与形式是否恰到好处.“时机”，简而言之，就是指在恰当的时间呈现了适当的知识，不早不晚，不紧不慢.“形式”，简言之，就是指适当的知识以最具表现力的方式呈现出来，信息损失最小，主体间的沟通与理解变得最快捷.否则，知识的呈现即使再全面，但如果时机不对，就会造成主体认知的混乱，教学效果自然就会打折扣；同样，知识的呈现尽管是如期而至，但是其形式不能最佳传递其承载的内容，也会造成主体认知的困难，教学效果也一样打折扣.对于知识呈现过程中“时机”与“形式”维度的审视，需要有对当堂内容的通透理解以及对学生情景认知的深刻洞察.一节同样内容的课，不同的呈现形式，不同的呈现程序，课堂教学的效果往往也会大相径庭.换言之，“好课”与“差课”的距离有时候只有一步之遥，关键在于是否在恰当的时间以恰当的形式呈现了恰当的内容.
在一堂《几类不同增长的函数模型》中执教者设计了“校庆”的背景（正值该校准备举办校庆），校庆公告：某校定于2011年11月20日上午举行建校10周年暨办学55周年庆典活动，诚邀各级领导、历届校友、历任教职员工和社会各界朋友届时光临，同度喜庆时光，共谋美好发展！
问题1：为了尽快落实校友的联络工作，拟设三个工作组.第1组（书信）：每天发40份邀请函；第2组（电话）：第一天通知10人，以后每天比前一天多通知10人；第3组（QQ）：第一天通知2人，要求每人收到通知后第二天转发2人（未收到通知者）.请列举各小组每天通知人数，并预测需联络天数.
问题2：QQ用户有1个太阳即可建立QQ群，使用QQ2小时以上，则记当天为活跃天，等级关系如下表所示，拟制定升级方案考虑四种函数模型：请根据你的体验，选择一个合适模型.
请根据你的体验，选择一个合适模型。
问题3：下表所示为四个QQ好友开通腾讯微博后，粉丝数统计，数据如下表，试根据此表判别上升的函数模型.（指数型、二次函数型、直线型、对数型）
问题4：某校友开办的童装厂开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月数x，产量为y给出四种函数模型：
，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
以上四个探究问题的设置在同一个大背景下，由浅入深、由简单到复杂，设置了适当的阶梯，在恰当的时候将学生的思维引入层层深入的探究与思考，充分体现了数学知识呈现时机的恰当性与形式的合理性.
四、教学环节：流畅与合理
一堂课应当是一个结构井然、环环相扣的整体.“课堂是教师对教学的一种结构化的设计与演绎.”一堂课的起承转合是通过教学环节来实现的，但是并不是各教学环节按部就班地推进，就能有效地体现教学内容和目标，关键在于其间交替演进的流畅感与合理性.各教学环节的完成需要流畅，但不是每一节娴熟流畅的课都是有效的.有些公开课可以把每一个教学环节用时掌控精确到秒，一切尽在预期中，但教学效果却流畅有余而学生认知不足.另外，一节课的相邻环节之间需要有逻辑性，但是只是各教学环节有逻辑性的机械组合却同样不能演绎课堂的精彩.正如很多失败的公开课一样，各教学环节经过了各专家的设计论证，不可谓逻辑性不强，但教师的演绎却生搬硬套般索然寡味.所以有效的课堂一定是既有如行云流水的流畅感，又有环环相扣的逻辑性.
笔者在一堂《数系的扩充与复数的概念》中设计了“数系之旅”以及“数之旅”中的三个课堂环节.第一站“忆方程，回首数系发展，了然于胸”，第二站“制高点，鸟瞰虚数、复数，拨云见日”，第三站“塑理性，回顾真理之路，勇往直前”.这样的课堂三环节设置使得学生在整个课堂上都被教师设置的悬念牵引，学生充满了好奇心，主动想去探究每一站的数学知识.从课后学生的反映来看，学生都觉得这样的数学课很新颖，他们都非常喜欢，都说“数学课原来也可以这样好玩的”.
在上课前的课间时间就开始播放一段有关复数历史的视频.上课伊始，教师：刚才的视频中向我们介绍了很多著名的数学家，比如法国数学家柯西、德国数学家高斯等等，以及他们所涉及的一个神秘的数学领域，在这个领域中有一种神秘的“数”，或者说是“不可能的数”、“虚幻的数”，研究这种数需要我们丰富的想象力，今天就让我们插上想象的翅膀开始我们的“数系之旅”.
（幻灯片显示本节课研究的课题“数系之旅”《数系的扩充与复数的概念》）
教师：首先让我们进入数系之旅的第一站“忆方程，回首数系发展，了然于胸”.我们旅行的起点从最简单的方程开始，请大家说出方程x-1=0的解，大家呼之欲出.
（在以往的传统课堂教学中，复数的这节起始课往往是教师将复数的概念直接灌输给学生，学生可能会觉得这样的定义比较突兀，不太容易接受.因此笔者在此设计了先介绍数系发展的历史，然后向学生揭示需引进“虚数单位”的必要性.）
教师：很好！那么如果我们人为的定义一个新的数，使得它的平方等于-1，那是否可行呢？创造是要冒险的，正所谓云里雾里看“新数”，虚无缥缈，接下来就让我们慢慢揭开这个“新数”的神秘面纱.让我们进入数系之旅的第二站“制高点，鸟瞰虚数、复数，拨云见日”.让我们首先跟随数学大师的足迹，瑞士数学家欧拉首先引入i表示虚数单位，并且规定
=-1.尽管欧拉引进了虚数单位，并也在使用它，但欧拉仍然对此不甚了解，称“它们是不可能的数……它们通常被称为想象的数，因为它们只存在于想象之中.”在此教师简略的向学生介绍公式
.
（通过让学生自己归纳、抽象出复数的基本代数形式.在此后三个“披荆斩棘”教学活动中，仍然坚持以学生为主体，以学生自主探究为主，让学生自己总结出数学思想方法和“两个复数相等”的概念.这样的教学设计符合学生的学情，使得学生在数学学习活动中没有压抑感，让思维自由驰骋.学生把数学课堂视为展示智慧、显露才华的平台，把数学学习活动当作探索科学、获取真知、培养能力的有效途径，都积极主动地投入教师设置的数学思维活动中，并最大程度地释放自己的潜能.）
教师：在刚才的数系之旅第二站中大家都有精彩的表现！让我们进入今天数系之旅的最后一站，第三站“塑理性，回顾真理之路，勇往直前”.
进入“旅途回望”环节，教师：请大家谈谈我们这堂课学习了哪些知识？运用了哪些思想？又有哪些体验和感悟呢？
学生自由发言.进入“数之旅休息站”，教师布置课后拓展作业……
教师：最后让我们以一副对联来结束本节课的学习.请大家一起来朗读.
学生：上联是“数之旅，层层深入，奇趣无比”；下联是“缥缈峰，披荆斩棘，拨云见日”；横批是“虚数不虚”.
教师：希望我们今天的“数系之旅”也“此行不虚”.下课！
笔者在本堂课中设计了明暗两条线，明线是“复数的有关新知”，暗线是“科学的发展就如数系的发展，需要我们有不断追求真理的勇气与毅力”.在数系之旅的第一站中，笔者通过数系的发展历史，特别是“无理数”的产生历史，向学生渗透了“虽然现在看来简单的数系但她的发展却历经艰难与艰险”.在数系之旅的第三站中，笔者首尾呼应式的向学生介绍了复数的发展历史，进一步让学生深刻体会“数学的发展如同数系的发展”需要经历几代数学家付诸于长时间的努力与毅力才能得以完善.从课堂教学的效果与学生的学习投入性来看，整堂课的设计还是较流畅与合理的.
五、课堂知识：预设与生成
一堂课的教与学就是一个预设与生成相互作用的矛盾运用.传统的课堂特别强调课前对知识的预设，诸如充分利用科教书和教学参考书提供的信息资源，除此之外，经验丰富的教师可能还会涉及本学科领域内知识之间的前后联系、其他学科领域的相关内容，以及学习者的生活经验、社会知识.但是，在新课程理念指导下，课堂教学过程中的知识除了上述静态的信息资源之外，还应包括课堂实施过程中动态生成的信息资源.换言之，学生也是课堂知识的建设者和生成者.他们往往会在教师预先准备的信息含量之外，经过主体间的情景互动，交流碰撞生成新的课堂知识，从而大大丰富了预期的课程内容.
因此，从课程资源的开发与利用方面而言，不仅要看教师对静态课堂知识的利用与开发，同时还要看教师对动态课堂知识的利用与开发.对静态和动态的课堂知识进行全面的开发与利用往往会使一节课的教学信息增倍，精彩生成无数.在教学实践活动过程中，真正自然而真实的好课往往都是指教师充分利用课堂情境、创造设计恰当问题、积极挑战学生的思维、因势利导而水到渠成的结果.
笔者在一堂《向量在物理学中的应用举例》中曾给出以下探究问题：河宽500m，水速2m/s，船仍旧在A处，从这在下游1200m河流B有一处瀑布.为了安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？
笔者预设的解决方案是运用数形结合思想.先考虑临界位置，当
方向垂直于AB时，划速最小.若划行方向不在AB方向上，根据图示划速都比临界位置时大.
笔者给学生充足的时间合作探究或者自主探究，学生们积极将自己的成果展示，没想到有些学生给出了与笔者预设不同的思路，引起了笔者的注意.将问题转化为三角函数的问题解决.要安全过河，必须使
经过三角变形得到
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不片面追求教学容量，顺应学生的思维规律，注重思维过程的暴露，注重学生的思维活动，让学生在自己的思考探索过程中掌握解决问题的技巧.学生的意外生成往往能带来惊喜，有时教师认为是常规的思路，学生不一定认同，而学生自己有自己的看法，教师应该在抛出问题后给学生充分的时间思考，不要急着给出教师自己的解决方案，否则就极有可能限制了学生的思维，也有可能造成学生的思维定势.教师可以尝试先让学生讲思路，或是让学生“说题”，若是学生的思路与教师的预设不同，则不管学生有无将问题正确解出，都要充分展现学生的思路；若是学生的思路与教师的预设相同，则也要让学生自主的进行解决，教师不要代劳.
笔者认为学生的生成应大过于教师的预设，数学教学应注重学生学到什么，而不是教师教些什么.数学教师的责任是做好一个引导者，让学生在数学知识的指引下产生更多、更精彩的有效生成，这是我们数学教师的理想目标.
六、结束语
数学教师孜孜以求数学教学精致无极限的“唯美”，追求构建“和谐”的数学课堂，笔者认为“和谐”应体现在：不去想“这堂数学课涉及什么内容”，而是思考“我想要学生从这一课学到什么”.通过以上五个方面的探讨可见，“和谐”应体现在：目标的和谐达成、主体的和谐互动、知识的和谐呈现、教学的和谐环节、知识的和谐生成.总之，学生是教师反馈教学信息的镜子，我们可以从学生学习数学的过程中看到自己的课堂教学是否“和谐”，进而追求理想中的“和谐”课堂.