就圆的问题谈辅助线的作用，本文主要内容关键词为：作用论文,辅助线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在解平面几何题时，无论证明题、计算题，还是作图题的分析，或是轨迹题的探讨，经常要添设一些辅助线，添加辅助线有何作用？弄清这个问题，也就减少了解几何题的盲目性.本文以圆的部分习题为例，简析如下：
1.沟通条件与结论
本来题设条件与结论之间没有直接联系，但添设适当辅助线后，就使它们沟通起来了，这样的辅助线好似从此岸到彼岸的河道上架起了一座桥梁.
例1 （1980年国际数学竞赛题）如图，两圆相切（内切或外切）于P点，一直线与两圆之一相切于A而与另一圆相交于B、C.证明：直线PA是∠BPC的角平分线（在内切时），或是∠BPC的补角的角平分线.
分析 （考虑两圆内切的情况）
由题设条件就原有图形证明∠APB=∠APC是无法实现的，考虑到BC切小圆于A，所以若连结AF，则
∠APC=∠APF=∠FAC=∠1-∠C，
而∠1与∠C分别是小圆和大圆的圆周角，当过P作出公切线PQ后，这两个角又分别与某弦切角相等，即
∠1=∠APQ，∠C=∠BPQ，
而∠APB=∠APQ-∠BPQ，
于是问题就得到了解决.
这里，AF、PQ这两条辅助线沟通了命题的条件和结论之间的关系，它们犹如架设在条件与结论之间的两座桥梁.
两圆外切的情况可如图所示，其添设辅助线的途径完全类似于两圆内切的情况，读者可自行分析、证明.
2.汇聚分散的条件
若已知条件与求解的元素的位置关系较分散，而通过添加辅助线能把分散元素集中到某一个图形中来，使彼此之间发生关联，这样的辅助线就起着汇聚作用.
例2 如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC⊥BD，OM⊥AB于M，求证：
OM=（1/2）CD.
分析 如图中，OM、CD两线段所处的位置关系未能集中，无法找到它们之间的关系.
考虑到条件OM⊥AB于M，M是AB的中点，O为直径中点，启发我们把OM、CD集中到一个三角形中，
因而作直径AN，连BN、CN，
从而OM=1/2BN，
只要
，就可得到BN=CD，
由BD∥NC便可达此目的，这样的辅助线不但将分散元素集中到一起，而且还构成△ABN，于是问题迎刃而解.
3.显露隐含条件
若已知图形的条件和结论的有关元素之间隐含着解题所需要的某些逻辑关系，但从所给图形是无法发现的，而一旦添加某些辅助线，那么隐含着的逻辑关系就暴露无遗，从而使问题得以解决，这样的辅助线就起着显露作用.
例3 （1994年全国初中数学联赛题）如图，半圆O的直径在梯形ABCD底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切.
若BC=2，DA=3，则AB的长（
）.
（A）等于4
（B）等于5
（C）等于6
（D）不能确定
分析 按常规思路，试图连结过三个切点H、M、G的半径，无济于事，如果作辅助线：画出另外的半圆，过M作AB的垂线交⊙O于点N，显然MN过点O，再过N作EF∥AB分别交DA、CB的延长线于E、F，则N为EF与⊙O的切点，于是显露出AB为梯形EFCD的中位线，AB的真面目也就暴露出来，从而极易算出AB=5，故选（B）.
4.简化求解过程
有些几何问题，不需添设辅助线就能获证，但适当添设后能使解题过程大为简化，这样的辅助线起着化繁为简的作用.
例4 如图，AB为圆的直径，弦AD、BE相交于点C.求证：AC·AD+BC·BE=AB[2].
分析 本题不添辅助线，借用勾股定理、相交弦定理与两数和的完全平方公式，可以证出，但过程相当繁杂.
若观察等式左边的两个加数，不难发现它们的结构含有割线定理的因素，于是我们的主攻方向可以定为去创造条件使其满足割线定理的，也就是找圆.
注意到∠ADB=∠AEB90°，如过C作CF⊥AB，易知C、F、B、D四点共圆，作出过此四点的圆（图略）.
依据割线定理有
AC·AD=AF·AB.
同理，作出过C、F、A、E四点的圆（图略），则有BC·BE=BF·AB.
以上两式相加，命题便可获证.
5.转化作用
有时，一个几何问题就其原图形去考虑，很难或甚至无法算出结果或推得结论，而添设辅助线得一个新的图形后，它正好符合某一已知定理的条件，问题就极易得到解决，这样的辅助线起了转化作用.
例5 如图，AB=AC=AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC的______倍.
分析 本题若用全等形或相似形知识求解，条件难找，思路不明，如果改从AB=AC=AD入手构造辅助圆，以A为圆心，AB为半径作圆，则该圆必过C、D两点，问题就转化为同圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系，问题就极易解决了.
∠DAC=2∠DBC，
∠BAC=2∠BDC，
由于∠DAC=k∠BAC，
∴∠DBC=k∠BDC.
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