美式期权定价问题的数值方法，本文主要内容关键词为：期权论文,数值论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：90C48,49J52 文献标识码：A
一、介绍
期权是最重要的金融衍生工具之一。自1973年在美国首次进行场内期权交易以来，期权市场的发展十分迅猛。现在，期权在世界各地的不同交易所中都有交易。期权是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利，标的资产可以是股票、股票指数、外汇、期货合约和商品等。对于欧式期权，Black和Scholes早已给出解析形式的定价公式[1,2]。然而，对于美式期权的价格，并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有着重要的实际意义。美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程。尽管人们早已提出可用偏微分方程数值方法（有限差分和有限元方法等）来近似求解此类问题[2～4]，但有关数值方法，特别是有限元方法的理论分析（收敛性和稳定性）方面的工作还很不完善。本文将采用有限元方法来求解美式看跌期权定价问题。首先通过变量变换将原问题化简并转化为等价的变分不等式方程，然后建立半离散和全离散有限元逼近格式，论证了有限元解的稳定性以及在L[,2]和H[1]模意义下的误差估计。最后，我们用数值计算例验证了本文方法的有效性。
为明确起见，本文假定期权的标的资产为股票。用S表示股票价格，E为期权的执行价格，P为期权价格，T为期权执行日期，σ为股票价格的波动率，r为无风险利率（假定为常数）。进一步假设世界是风险中性的，在期权有效期内股票无红利支付。在这样假设下，美式股票看跌期权的价格P=P(t,S)将满足如下线性互补偏微分方程[3]
用C表示与剖分尺寸无关的函数，在不同处可代表不同的常量。
二、等价的变分不等式问题
首先对问题(1)～(3)进行化简，目的是将变系数方程化为常系数方程，将反向时间问题化为正向时间问题。引进变量变换
为了便于构造数值方法，还需将上述问题限制在有界区域上，并根据原问题的性质给定相应的边界条件。首先考虑到股票价格S即不可能上升为无限大，也不可能下降为零，因此可限制变量x∈[-a,a],a＞0充分大。又由于当股票价格S远大于执行价格E时，看跌期权价格P(t,S)=0，因此可令u(τ,a)=0。其次，原问题(1)～(3)来源于自由边值问题，也即存在自由边界S[*]=S[*](t)＞0，使当0≤S＜S[*]时，P(t,S)=G(S)（参见［3,第6章］，自然边界S[*]是期权最佳执行边界）。则由变换关系式可令u(τ,-a)=g(-a)。这样，问题(5),(6)的初边值条件可确定为
u(0,x)=g(x), u(τ,-a)=g(-a), u(τ,a)=0(7)
下面进一步将问题(5)～(7)转化为等价的变分不等式问题，以便于应用有限元方法。
记区域I=(-a,a)。引进H[1](I)的闭凸子集
以下为方便，我们仍使用t代替τ表示时间变量。考虑变分不等式问题：求u(t)∈K使满足
模等价的范数。
引理2 问题(16)的解u[,h]满足如下稳定性估计。
则结合(17)～(19)式且利用分部积分得到
用(24)式也得到
模的估计，定理3得证。
五、数值计算例
考虑由全离散有限元方程导出的线性变分不等式方程(23)的求解。利用线性有限元基函数经简单计算可知，矩阵B=M+ΔtA是三对角矩阵，矩阵元素b[,ij]=m[,ij]+Δta[,ij]，其中
表1 美式看跌期权价格的估值
T N=250N=300N=350N=400N=500
33.4345
3.4412
3.4450
3.4472
3.4481
64.6274
4.6323
4.6350
4.6366
4.6388
95.4531
5.4570
5.4584
5.4597
5.4560
12
6.0913
6.0944
6.0962
6.0970
6.0988
在实际应用中，另一个重要问题是确定t时刻最佳的提前执行股票价格S[*](t)（自由边界）和相应的期权价格。S[*](t)的特征是：P=E-S，当0≤S≤S[*](t)时。表2给出了当前时刻最佳的执行边界S[*]和相应的期权价格，在表中用黑体标出，计算中取M=6,N=500。
上述计算是在PC586计算机上进行的，最长计算时间也仅为几秒钟。这表明本文数值方法是一个快速而又收敛的期权估值算法。
表2 最佳执行股票价格和相应的期权价格
T=3个月 T=6个月
S P E-S
S P E-S
40.9365 9.3221 9.0635 38.552611.7555 11.4474
40.1259 10.0303 9.8741 37.789212.4022 12.2108
39.3314 10.7503 10.6886 37.040913.0687 12.9591
38.5526 11.4797 11.4474 36.307513.7439 13.6925
37.7892 12.2166 12.2108 35.588514.4267 14.4115
37.0409 12.9591 12.9591 34.883815.1162 15.1162
36.3075 13.6925 13.6925 34.193115.8069 15.8069
35.5885 14.4115 14.4115 33.516016.4840 16.4840
34.8838 15.1162 15.1162 32.852317.1477 17.1477
34.1930 15.8070 15.8070 32.201817.7982 17.7982