关键词：直梁；直接刚度法；动力单元；自振频率；
1 引言
在工程结构设计中，除了静力问题需要考虑外，结构动力问题也需要重视。在工程建筑结构的实际使用中，常常会有动力的作用。比如，在风荷载作用下高层建筑以及大型桥梁会产生振动；大型机器的转动会产生不平衡力而导致其基础发生振动；在地震发生时引起的建筑结构的振动等等。由此说明，动力作用在生活中随处可见，而如何保证建筑结构在动力作用下的结构性能及安全使用，需要被设计人员所重视。
直接刚度法[1-7]是工程结构中解决动力问题的强力、有效的工具。该方法是一种精确的求解方法，它根据结构的运动偏微分方程求解结构的位移方程，不用采用假设的位移函数。因为位移方程的精确，直接刚度法只划分一个单元就可以得到精确结果，也能够求解结构的所有频率和对应的振型。这一点与常规有限元法有着本质的区别。动态刚度阵兼有单元刚度及质量的属性，其各个元素均是超越函数，是从结构的运动偏微分方程求解的位移解析解推导而出。Kolousek [1]在研究平面桁架时，根据位移方程的解析解给出了拉扭杆及欧拉梁的刚度矩阵，也就是现在的动态刚度阵。但是当时的求解方法有限，制约了该方法的发展。后来，由Williams与Wittrick给出了超越方程的计算方法，大大促使直接刚度法的应用范围和发展。Hashemi[2]根据直接刚度法和传统有限元法，综合提出一种动态有限元法。Chen等[3]把迁移矩阵法同直接刚度法相结合，改进了直接刚度法。Banerjee及Jayatunga[4]在建立梁自振平衡偏微分方程时引入了哈密顿原则，求得了弯、扭耦合梁的动态刚度阵，并利用Wittrick–Williams算法解得了固有频率及对应的振型。Banerjee等[5]同样采取直接刚度法讨论了翘曲对于开口薄壁梁的固有频率的影响。Mohsin等[6]对欧拉梁受轴向力时的自振特性进行了研究，因为欧拉梁在计算时忽略了转动惯量及剪切变形的影响，在计算深梁和高阶频率时会有较大误差。对于用直接刚度法分析欧拉梁直杆轴向振动的问题前人已做过部分工作，但其求解方式不一，过程繁琐，本文重点在于将直接刚度法的求解过程格式化及统一化。
本文以直接刚度法为基础，构造Euler梁动力分析单元，为梁的动力分析提供便捷精确的计算方法，可应用于解决实际工程问题。
2 直接刚度法单元描述
采用直接刚度法需要考虑力及位移的边界条件、梁（杆）端内力与梁（杆）端外力之间的关系。为统一表达，现做如下定义：
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3 直杆轴向振动分析
3.1 动力基本方程
分布质量直杆轴向振动刚度平衡方程，为便于计算振动真实位移，令外荷载为0得到如下轴向振动偏微分方程：
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3.3 待定系数求解
（1）定解条件
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（2）杆端内力
根据直杆轴向振动变形量的定义，杆端力与杆端内力的关系为：
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采用本文求得的直杆轴向振动单元动力刚度矩阵，将悬臂杆划分为1个单元进行轴向振动下模态分析，得到悬臂杆轴向振动的基本频率，并与理论值进行对比。
表1 直杆轴向振动基本频率及对比
Table 1 Base frequency of bar axial vibration and its comparison
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通过对比可知，（1）采用直接刚度法，在悬臂杆划分1个单元的情况下计算其轴向振动基本频率，其结果趋近于理论解，相对误差级数基本在1×10-9，精度较高。其原因在于，所采用的位移方程由直杆轴向振动下的偏微分方程求得，该位移方程是精确的位移模式。（2）悬臂杆轴向振动的基本频率计算值与理论解相比偏小。其原因可能在于，在划分单元时，增加了单元自由度从而减小了悬臂杆的刚度，使得所求基本频率稍小于理论解；在求解基本频率时存在计算误差。
4 小结
本文基于分布质量直杆轴向振动刚度平衡方程，采用直接刚度法构造了直杆轴向振动动力单元，得到了单元动力刚度矩阵。通过对比分析，本文构造单元在划分1个单元的情况下即可得到与理论解一致的解，在保证精度的同时提高了计算效率。本文将直接刚度法的求解过程进行格式化及统一化，便于在计算软件中输入及运算。
参考文献：
[1]Kolousek V. Anwendung des gesetzes der virtuellen ver schiebungen and des in der reziprozitatssatzes[J]. Stab weks dynamik lngenieur Archiv, 1941, 12: 363~370
[2]Hashemi S M, Richard M J. Free vibrational analysis of axially loaded bending-torsion coupled beams a dynamic finite element[J]. Computers & Structures, 2000, 77(6): 711~724
[3]Chen S L, Geradin M, Lamine E. An improved dynamic stiffness method and modal analysis for beam like structures[J]. Computers and Structures, 1996, 60(5): 725~ 731
[4]Banerjee J R, Su H, Jayatunga C. A dynamic stiffness element for free vibration analysis of composite beams and its application to aircraft wings[J]. Computers & Structures, 2008, 86(6): 573~579
[5]Banerjee J R, Guo S, Howson W P. Exact dynamic stiffness matrix of a bending-torsion coupled beam including warping[J]. Computers & Structures, 1996, 59(4): 613~621
[6]Mohsin M E, Sadek E A. The distributed mass-stiffness technique for the dynamical analysis of complex frame works[J]. The Structural Engineer, 1968, 46(11): 345~351
[7] Cheng F Y. Vibrations of Timoshenko beams and frame works[J]. Journal of the Structural Division(ASCE996), 1970, ST3: 551~571
作者简介: 曹琼琼(1991—), 女, 硕士, 研究方向为结构工程,E-maill:465556039@qq.com
通信作者: 施旭栋(1988—), 男, 硕士, 研究方向为结构工程, E-mail:765946634@qq.com
论文作者:曹琼琼1,,程小珂2,,施旭栋3
论文发表刊物:《科学与技术》2019年第19期
论文发表时间:2020/3/16
标签：刚度论文; 轴向论文; 单元论文; 动力论文; 位移论文; 方程论文; 频率论文; 《科学与技术》2019年第19期论文;