边坡在求解问题中的应用_直线的斜率论文

斜率在解题中的应用，本文主要内容关键词为：斜率论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

解几中，斜率用来表示倾斜角不等于（π/2）的直线对于x轴的倾斜角度，决定着直线的方向，斜率公式与代数中的分式在结构上又有密切的联系.因此，斜率是联结数与形的纽带，借助斜率可以求解许多类型的问题，现举例加以说明.

一、比较大小

如果比较大小的双方都可以看成是斜率，则可以根据它们所对应的直线的倾斜角的大小而得到斜率的大小.

例1 设θ为锐角，试比较（1-sinθ/1-cosθ）与tanθ的大小

分析本题可以用差比较法求解，但运算量较大.如果能够注意到两个表达式都与直线的斜率有联系，从而应用斜率的几何意义，通过构图法来求解，就简便得多了.

解令k[，1]=（1-sinθ/1-cosθ）=（sinθ-1/cosθ-1），其几何意义是单位圆x[2]+y[2]=1上动点（在第一象限）与点（1，1）连线的斜率.

又令k[2]=tanθ=（sinθ/cosθ）=（sinθ-0/cosθ-0），其几何意义是单位圆x[2]+y[2]=1上动点与原点连线的斜率（如图）.

从图形中易得：

（1）当θ∈（0，（π/4））时，0＜k[，2]＜1＜k[，1]，即tanθ＜（1-sinθ/1-cosθ）.

（2）当θ=（π/4）时，k[，1]=k[，2]=1，即tanθ=（1-sinθ/1-cosθ）；

（3）当θ∈（（π/4），（π/2））时，0＜k[，1]＜1＜k[，2]，即tanθ＞（1-sinθ/1-cosθ）.

说明当需要将某一式子（或数）看成斜率时，应设法将其化为（y[，1]-y[，2]/x[，1]-x[，2]）的形式，再根据点（x[，1]，y[，1]），（x[，2]，y[，2]）找到相应的直线.这样就把一个比较大小的问题转化为观察倾斜角大小的问题.

二、判断函数的单调性

直线的斜率是直线的倾斜角的正切值（倾斜角不等于（π/2））若函数的解析式可以看成是某直线的斜率，则当自变量变化时，对应的直线的倾斜角亦将变化，从而导致斜率的变化.考察它们大小变化的关系，便可获得函数的单调性.

例2 求函数y=（3x+4/x+2）的单调区间.

解 y可以看成是点P（x，3x）与点Q（-2，-4）连线的斜率（如图），当x增大时，点P在直线l：y=3x上自下而上移动.又Q点在直线l的上方，故当x∈（-∞，-2）时，k[，PQ]单调递增；当x∈（2，+∞）时，k[，PQ]亦单调递增.

所以，函数y=（3x+4/x+2）的单调递增区间是（-∞，-2），（-2，+∞）.

说明由正切函数的单调性可知，当θ∈[0，（π/2））时，tanθ单调递增；当θ∈（（π/2），π）时.tanθ亦单调递增.因此，由直线的倾斜角的变化，研究斜率的大小变化时，应将倾斜角分成是锐角与钝角两个部分分类确定.

用斜率求单调区间，既避免了复杂的代数运算，又无需去作那些不为我们熟悉的函数图象，因而可使解题变得十分简便.

三、求函数值域（最值）

求形如s=（u（t）/v（t））函数的值域问题，可令

方程f（x，y）=0.于是所求函数值域，就是直线系y=sx与曲线f（x，y）=0相交时，直线的斜率s的取值范围.

例3 求函数s=

所求函数值域就是直线系y=sx与双曲线x[2]-（（y+3）[2]/4）=1右支有交点时，直线斜率s的取值范围（如图3）

把y=sx代入x[2]-（（y+3）[2]/4）=1（x≥0），并整理得

（s[2]-4）x[2]+6sx+13=0，

令△=36s[2]-4（s[2]-4）×13=0，得s=（舍去），s=.由图可知，s∈5E[-，+2）

说明借助斜率求值域也就是将问题转化为某曲线上的动点与一定点连线的斜率的范围问题.

四、求解方程

有时可根据题目条件，挖掘几何背景中的斜率关系.再通过斜率关系建立未知数的方程，使问题获解.

例4 解方程

五、确定线性规划中的最优解

设A[，1]，A[，2]，…，A[，n-1]，A[，n]是可行域多边形的n个顶点.记K[，Ai]（i=1，2，…，n）为过A[，i]且可行域中的点都在其一侧的直线的斜率的集合，如图4.相对于目标函数z=ax+by来说，A[，i]是最优解的充要条件是：-（a/b）∈K[，Ai].通过数形结合，容易证得结论的正确性.