管窥美国小学数学教育，本文主要内容关键词为：美国论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
美国作为世界经济、科技和军事强国，人们理所当然地认为其教育也是世界领先的，尤其是他们的高等教育，是世界公认的高水平.但是在谈到美国的基础教育，尤其是数学学科的基础教育时，人们似乎有争议，争议的焦点是：美国的数学教育到底应该如何处理传承与改革的关系？如计算技能与理解概念的关系，计算器的使用与计算技能、理解概念的关系，教师的讲授与学生自主探究建构、合作交流的关系等.本文主要从课程教材和课堂教学两个方面分析美国的小学数学教育，以提供可借鉴的理念和经验. 一、美国小学数学教育简要回顾 我们先简单回顾一下美国数学教育的历史.美国的数学教育从20世纪60年代到80年代，先后经历了“新数学运动”“回到基础”和“问题解决”这三个阶段，尤其是在80年代，有很多教育研究机构开始研究面向21世纪的美国数学教育，NCTM（全美数学教师理事会）于1989年出版了《学校数学课程与评价标准》，其中便提出问题解决应该成为学校数学教学的中心；受建构主义等学习理论的影响，在教学方法上鼓励学生的探究，提倡教师与学生、学生与学生之间的交流.探究教学法的推广普及，导致美国学生的数学水平普遍下降，如部分大学一年级学生需要补习初等数学，美国学生在PISA等数学学科国际比较测试中屡次表现不佳.因此，至90年代中期，美国关于数学教育产生了激烈的争论，以加州数学家为代表的一派认为：美国的数学教育忽视基本数学能力，没有深度，应该在数学课程和教学方面加以改进.而以大部分数学教育家、教师为代表的一派认为：美国的数学教育在逐步发展，如在问题解决、小组合作学习、数学应用、创造性思维等方面取得了成就，美国也有一批数学优秀的学生. 21世纪的前夕，NCTM于2000年出版了《学校数学教育的原则和标准》（以下简称《标准2000》），新标准适当进行了妥协，听取了数学家的部分意见，如数学教学要关注数学的关键概念，加强数学知识之间的关联，以促进对复杂概念的理解；但是在教学方法上继续提倡探究教学法.为了帮助教师更好地把握教学的重点内容，使学生理解、掌握重要的概念，形成技能，NCTM于2006年发布了《学前班到八年级的课程焦点：寻求课程的一致性》，作为2000年课程标准的补充，对每个年级的重要数学概念和技能给出了详尽的说明. 2009年，为了提高中小学数学教育质量，进而提高大学生的毕业率，美国的两个组织，即全美州长协会和首席州立学校官员理事会，领导成立了州际核心标准研发项目，并于2010年正式发布《州际核心数学课程标准》（以下简称《核心标准》）.该标准进一步提高了对数学教育的期望，如在理念上强调对重要内容的深度理解和连贯性，在概念性理解和运算流畅性之间保持平衡，鼓励批判性思维和提高解决问题的能力，为上大学和就业作好数学准备.《核心标准》与《标准2000》相比较，美国多数小学采用五年制，在内容上有比较大的变化，删减了一些内容，如方程、统计与概率、百分数、比和比例等原来在小学的重要内容，基本上移到了六年级.这样改变了原来《标准2000》“一英里宽、一英寸深”的弊端，把小学的主要精力放在整数、小数、分数的意义，相关的四则运算及代数思维，几何及测量等内容上.事实上加强了算术的基础知识和基本技能教学，这样才有可能完成深度理解和连贯性等新目标. 有必要说明的是，《核心标准》主要是针对数学知识和技能目标提出了明确的要求和期望，对教材编写和教学方法没有给出具体的要求和建议.但是《核心标准》在参考《标准2000》的5个过程性标准（这里所说的“标准”相当于我国课标中的“目标”）的基础上给出了具体的8条数学实践标准，并解释了其内涵及目的，如数学实践标准第6条为“关注准确性”，其主要内涵是：对问题作出适当的阐述并使用清晰明确的概念，恰当地使用符号和相关量的具体单位，会进行准确、有效的计算，并根据问题的具体情形给出一定精度的数值答案；交流时会确切地阐述自己的观点.即数学的准确性不仅仅是指计算结果正确，更指数学交流中的准确性.同时提出了数学实践标准的实施建议，在实施建议中似乎能够部分地解读出教学方法，如“教师的角色在于给学生提供机会，使学生可以在日常校园生活内外探索和分享现实世界问题的解决方法”，体现了让学生通过探究建构解决问题的数学模型.在数学实践标准第2条培养学生推理能力的实施建议中提出“把师生交流和生生互动作为课堂设计的重要组成部分”，即教师要提出能够促进学生进一步思考的问题，而不是仅仅关注答案，还要关注不同学生的解题策略，通过交流拓展学生的思维，这体现了小组合作交流的学习方式. 总之，美国小学数学教育的发展趋势是：内容上向传统的算术内容聚焦，但是重点不仅仅是算术、几何的概念、运算技能，还包括通过这些内容培养学生的问题解决、推理、数学建模、合理使用恰当的工具、寻求并使用结构、寻求并表征规律的能力.因此，我们不能简单地认为美国的数学教育在向东方学习，只是补了一个短板而已，他们的理念和精髓还在继续发扬光大. 二、美国小学数学教材的一些特点 美国的小学数学教材是根据《核心标准》的理念和要求编写的，但是《核心标准》并没有对教材开发提出具体的要求，只是各教材出版机构自行组织专家修改教材.各家教材各具特色，但是总体上都以传统的小学数学内容为主，重视对概念的理解、运算技能的掌握、问题解决策略的运用.美国的小学数学教材一般每个年级1册，共计5册，教材开本比我国现行教材的开本还要大一些，每册书都非常厚.以一套GoMath教材为例，每册有500多页.美国的教材之所以厚，是因为内容编排细腻、跨度小（在学习新知识之前经常复习相关的旧知识），练习量大，评估和检测内容多等. 1.螺旋上升的原则 美国教材的一个显著特点是有些内容从低年级到高年级多次编排、早期渗透、螺旋上升.这样编排的好处是分散难点、经常刺激，学生有一个逐步感悟、理解的过程，不容易遗忘；不足是缺乏知识的结构化、系统性、深刻性.如从一年级开始渗透代数思维，从二年级开始借助几何直观学习分数，从三年级开始学习液体的体积.图1是二年级教材通过把长方形平均分成几份来认识
2.在已有知识基础上学习 美国教材深受建构主义等学习理论的影响，在学习每个新内容之前，安排与新内容相关联的旧知识的复习，使得学生能够在已有的知识结构和认知结构的基础上学习，减轻学习的负担，加强知识间的关联，最终形成完整的知识结构和认知结构.以分数除法的编排为例，五年级教学分数除法之前，教材安排了对分数的意义、整数乘除法的关系、等值分数等内容的复习，部分内容如下. （1）用分数表示涂色部分（如图2）.
圆片一共有（ ）个，涂色的有（ ）个，分数是（ ）. （2）运用乘、除法的关系填空. 6×4=24 （ ）×8=56 9×3=（ ） （ ）÷4=6 （ ）÷7=8 （ ）÷3=9 （3）写一个等值分数.
教材重视知识之间的关联，从除法是乘法的逆运算这一原理出发，把整数乘、除法的关系直接应用于分数乘、除法，利用分数乘法解决分数除法的计算（如图3）. 选择已学词语填写在下图的横线上.
在图3的下方对5个已学概念进行语言描述，并根据描述选择词语填空，加深对概念的理解. 3.重视基础知识和基本技能的训练 教材在学生初步体会、思考整数除以几分之一的基础上，设计了丰富多彩的练习活动，如设计“调查”板块，结合几何直观完成两道整数除以几分之一的练习题，其中第一题如下（如图4）.
迈克在长2英里的健步道上走路，每走
英里停下来活动一次，迈克一共停下来活动几次？ 可以从0开始，
、
地数到2，2里有（ ）个
. 还可以利用乘、除法的关系，2÷
=（ ），因为（ ）×
=2. 接着让学生根据上题思考、总结：整数除以几分之一的商与被除数的大小关系；怎样通过知道1里有几个
，帮助你计算2除以
；描述你怎样计算4除以
. 然后安排了“关联”板块，根据几何直观计算分数除以整数. 接下来安排了“分享与展示”板块，前3题结合教材给定的数条、数线等几何直观模型计算分数除法，后9题只给出算式，但是标题要求自己画数条或者数线，部分内容如下. （1）（如图5）
（2）通过画数线或者分数条计算.
综上所述，教材特别注重让学生通过直观图、画图、语言、符号等多种表征方式来学习分数除法. 4.重视问题解决 美国教材几乎在每个新知识学习之后，都会编排相应的问题解决内容，以便培养学生问题解决的能力，认识数学与现实生活的联系.以分数除法为例，学生学习了分数除法以后，教材编排了丰富的问题解决内容，问题解决的基本策略是把分数除法转化为分数乘法，即一个数除以几分之一，等于乘上几.也就是说，教材在前边的分数除法学习中，一直是想乘法算除法（除法是乘法的逆运算），而没有直接转化成乘法进行计算，一直到了问题解决这里，才真正把算法给出来.说明美国教材没有把计算的技巧作为重点，而是给学生足够的时间和空间去感悟乘法与除法的关系、新旧知识的关联、问题解决的过程和策略. （1）新知教学环节.教材首先让学生思考一个重要问题：怎样根据画图策略列乘法算式来解决分数除法的问题？ 然后给出例题：把每个三明治都切成
大小的块，6个这样的三明治一共能切成多少块？ 在例题下面重点呈现两个板块：阅读题目、解答问题.其中“阅读题目”板块给出3个问题让学生思考、填写部分内容，即：我应该发现什么？我应该应用什么信息？我将怎样应用这些信息？“解答问题”板块分两步进行.第一步是几何直观，用1个长方形表示1个三明治，画了6个长方形；把每个长方形分成3个
.第二步是根据几何直观数出6个长方形里一共有多少个
，然后用长方形的个数乘上每个长方形里
的个数，即6÷
=6×3. 最后安排讨论交流板块：解释你如何用乘法检验答案是否正确. （2）练习环节.在练习环节，教材上编排了丰富的题目.首先是独立尝试解决一个问题：阅读回答三个方面的问题、画图列式解答、解释如何通过画图帮助你列出除法算式等于乘法算式.具体内容如下： 罗伯特把3个蓝莓派都切成了
大小的块，都送给邻居，有多少人可以分到蓝莓派？
解释如何通过画图帮助你用乘法计算除法. 从上题可以发现，此题给学生留出了很大的探究空间，学生需要自己用语言回答3个问题，自己画图列式计算.由此可知美国教材重视对学生数学交流能力、几何直观能力、问题解决能力的培养. 其次是分享与展示板块，有5个题目，难度与例题类似，第一个题目给出画图空间，其他4个直接列式.接下来安排了5个（第6～10题）独立解答的问题，其中第6题是分数乘法题，第7题是小数乘、减两步实际问题，第8题是连除和连乘两问的题，第9题是模仿第8题新编一个类似题，第10题是星号题，是为美国大学和就业准备评估合作伙伴（PARCC）进行评估检测的预测题，此题难度与前面例题相同. 5.重视对学习情况的评估和检测 为了保证《核心标准》的顺利实施，检测实施情况，PARCC等教育评估机构制定了具体的评估标准、工具、策略，使得教师通过评估改进教学，学生明确学习目标、学会自评、知道达标情况、调整学习动机、反思学习效果并采取行动. 以五年级教材第8单元“分数除法”为例，设计了相关的评估内容和板块，如例题后的“调查”板块，问题解决中的PARCC预测题.除此之外，在学习分数与除法的关系后还安排了“单元中间测试”，一共有15道题，难度与例题相同. 在本单元的最后还安排了“单元复习及测试”，一共有21道题，题目难度有所增加，部分题目如下： （1）编写一个用
÷3解答的故事题，并解决. （2）编写一个用3÷
解答的故事题，并解决. （3）图6可以表示哪个除法算式？
（4）玛丽买了3袋牛肉馅，分别重1磅、2磅和4磅，她用这些牛肉馅做汉堡，每个汉堡用
磅牛肉馅，她一共能做多少汉堡？（用语言、画图或者算式解答）解释你如何得到答案. （5）假如老师给你一个用6÷
解答的除法问题. ①画图表示6÷
. ②编写一个用6÷
解答的故事题. ③把除法算式转化为乘法算式来解决这个问题. ④写一个单位分数除以整数的算式，编写一个用这个算式解答的故事题，并解决. 三、美国小学数学课堂教学的一些特色 如前所述，《核心标准》对课堂教学没有相关的规定和要求，但是在8条数学实践标准中似乎可以部分地解读课堂教学方法.如鼓励学生通过探究解决问题，注重师生间、生生间的交流等.当学生不能准确地计算、表达和交流时，教师应该与学生分享发展这种思维的经验和做法，这应该是讲授方法的一部分.美国课堂教学的方法是多样化的，如一些计算内容的教学，教师经常采取师生互动交流的方式教学例题，然后进行课堂练习，练习的方式可以是独立解答，也可以是小组讨论交流.而一些几何测量等内容的教学，联系生活实际，教具、学具丰富，活动性比较强，主要采取做中学的方式. 1.教学方法多样化 美国在经历了多次数学课程改革运动后，进入一个比较理智成熟的阶段，在传统与现代之间寻找平衡，无论是课程教材，还是课堂教学，都是如此.在课堂教学方式上，根据不同内容的特点，多种教学方式并存. 比较传统的内容，一般采取教师讲授的方式，但是这种讲授并不是传统的讲解示范新知识，而是通过师生互动、教师提问、学生回答的方式解决新问题，如果学生回答不正确，教师会继续启发学生思考.如学生在学习100以内的加法时，教师会给出几个例题（25+6、40+12、13+6+4），让学生思考如何计算.学生会利用不同的方法计算，而不是由教师演示如何计算.教师也不总结算法，而是由学生自己通过思考、探究、讨论交流，慢慢感悟. 2.教学节奏慢 美国课堂教学的一个显著特点是节奏慢，并不追求所谓的优质、高效、量大，而是给学生留出思考探究的时间和空间，让学生通过不断的活动体验、思考、感悟，逐步加深对概念的理解、对知识之间关系的建立、对解决问题的数学思想方法的掌握.这既受到教材内容编排细腻的影响，即一个知识点编排大量的篇幅；也受到建构主义学习理论的影响，即学生的学习是一个自主探究建构的过程，这事实上是一个缓慢的过程.教师在教学过程中并不急于总结解决问题的方法技巧，而是通过大量的操作、活动、练习等方式让学生不断地感悟，这种表面上的慢是为了高中以后的快.如学生会用一节课的时间学习单位分数，教师先画一个长方形，把它平均分成6份，给1份涂色，演示单位分数，然后让学生说一说什么是单位分数；接着就给学生发练习题，让学生通过画图、语言表示单位分数；教师进行巡视并启发引导，与有困难的学生交流.在我国的课堂上，单位分数往往一带而过. 3.课堂氛围宽松 美国课堂的氛围比较宽松，有时学生坐在地上听课学习，有时教师跪在学生旁边与学生交流，教师和蔼、亲切、民主、包容，就像一个大朋友，对回答问题正确的学生进行表扬，对有困难的学生进行鼓励.同时，因为每节课的容量小，学生的负担轻，这样的轻松氛围使得学生身心放松、自在、自信，并没有因为暂时学习不好而受到教师的批评、同学的嘲笑，以至于我们发现暂时学习不好的孩子也是那么阳光灿烂、自信满满.这种心态能够让孩子在慢节奏的教学过程中得到进步和发展，孩子自己包括教师和家长都相信，孩子总有一天会进步的、会成功的.即使将来有些孩子不那么成功，但是谁能断言将来成功的孩子中就没有今天暂时学习不好的孩子呢？因此，小学阶段只是孩子打基础的阶段，我们每个教育工作者包括家长都应该鼓励孩子去勇敢面对困难，战胜一个个挑战，即使有不成功也是正常的. 4.个性化教学 美国小学课堂每个班人数比较少，在20到30人之间，一般是我国班级人数的一半左右.这样好的办学条件使得教师在课堂上平均分配给每个学生的时间是我国的2倍.同时，由于美国课堂教学节奏慢，基本上实现了个性化教学，即师生交流、教师巡视的主要精力放在学困生上，这样学困生的数量会不断减少.另外一个个性化的教学表现是，教师只让学生当堂选做练习题中的一部分，比如一页纸的题目有30道，让每个学生至少选做其中的10道就算完成作业，而那些学习好的孩子可能会完成更多、更复杂的题目.这样的教学基本实现了我国课程标准中提出的“人人能够获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标.另外，美国教师到小学高年级就不包班了，而实行按专业分班，如，一般五年级数学教师会有自己的数学教室，而不是五年级包班教室.这样会满足想学习五年级数学的学生的需求，包括在数学上有兴趣，希望在数学上有更好发展的学生. 5.课堂教学活动化 美国课堂的另一个显著特点是在做中学，即教师为学生准备大量的教具、学具，甚至有时候学生利用自己的身体进行表演.同时，特别注重知识的多元表征，即教师在课堂上让学生通过语言、符号、动作、操作、图形等方式对数学概念、关系、规律等进行表征，特别是利用动作、操作、画图等活动化的方式.如教学图形的周长、面积等内容时，学生会在教室里利用各种工具对教室里的桌椅板凳、黑板及其他实物进行测量，然后计算周长、面积，解决生活中的一些问题.这样的课堂生动活泼，联系生活实际，直观形象，使学生不会对数学产生抽象、枯燥的印象，激发了学生学习数学的兴趣，使学生认识到数学的价值，培养了学生解决实际问题的能力. 四、思考与启示 透过现象看本质，才有利于我们真正认识美国的数学教育，从而为我国的数学教育改革提供真正可以借鉴的、科学的、重要的经验，而不会被表面现象所迷惑. 如上所述，美国小学数学教学节奏慢，是为了高中以后的快.那么美国高中的数学教学是如何快的呢？ 2014年10月在青岛召开的中国教育学会小学数学教学专业委员会第16届年会上，邀请了美国陶森大学孙伟教授作报告.孙伟教授介绍了美国多数高中开设各学科的AP课程（美国大学先修课程），如数学有微积分、统计学等，美国高中生大约有20%的人在高中阶段完成了各学科的AP课程，这样的课程学分在高中和大学都有效，即上大学后相关的课程就不必再选修.与此同时，也有大约20%的高中生的数学没有达到毕业的水平，上大学后需要重新补课，甚至补小学数学的一些内容.由此可知，美国高中数学教育水平的两极分化现象严重.因此，尽管美国小学、初中的数学教育未必有中国水平高，美国高中的数学教育也许平均分没有中国的高，但是前20%的学生的水平已经超越我国.2015年，美国中学生获得国际奥林匹克数学竞赛第一名，中国获得第二名，也许能够说明这个问题. 总而言之，美国的数学教育走的是精英教育的路线，为国家在科技、军事、经济各领域的创新和发展培养了精英人才.而中国在数学课程改革的十几年中，走的是大众教育的路线，保证了制造业大国对技术人员、工人的需求，但是难以培养出足够的各行业创新、实践的领军人物. 根据我国的国情，我们没有必要全盘吸收美国的先进教育理念和经验，而是应该在继承我国几十年数学教育传统经验的基础上，继续加大课堂教学改革的力度，加强学生的主体性，改进考试评价机制和方法，把学生从繁重的考试压力中解放出来，真正做到以学生为本；研究如何培养小学生的数学核心素养，继续加强培养学生的创新精神、实践能力、解决实际问题的能力，以满足我国经济结构转型升级、“一带一路”、大众创业、万众创新等新时代对人才的需求.
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