自然流畅 水到渠成——“几何概型”课堂观察与点评，本文主要内容关键词为：水到渠成论文,几何论文,流畅论文,课堂论文,点评论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者有幸作为参赛选手的指导老师参加了2011年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，我校青年教师姚圣海所执教的“几何概型”荣获省一等奖.这节课自然流畅，水到渠成，得到了与会专家和教师的一致好评，为广大数学教师提供了一个富有数学意境的成功课例.现对这节课的教学过程简录如下，并根据本人对这节课的现场教学观察，做一些分析、点评.
一、观察与点评
1.实例引入——不可或缺的认识过程
师：我们上一节课学习了古典概型，请同学们回答问题“若A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，则从A中任取一数，这数不大于3的概率是多少？”
生齐答：概率是
.
师追问：题中的基本事件有多少个？应满足什么条件？
生齐答：基本事件有9个，每个基本事件的发生都是等可能的.
师：很好！请同学们接着看下面的问题：“若A=（0，9］，则从A中任取一个数，这个数不大于3的概率是多少？”
生1：我感觉应该也是.
师：能说说你是怎么分析的吗？
生1：我把集合A在数轴上表示出来，再把小于3的集合也在数轴上表示出来，把两个长度比一下就得出了这个结果.
师：很好.生1的想法合情合理.同学们，这个问题中的基本事件是什么？
生2：我认为是区间（0，9］中的任意点.
师：请同学们比较一下上面两个问题的相同点与不同点.
学生讨论并共同认为，不同点：问题1所有的基本事件是有限个，问题2的基本事件是无限多个；相同点：问题1与问题2中，每个基本事件的发生都是等可能的.
师：今天和同学们共同探究几何概型问题.
观察与点评教师以学生已经掌握的知识为切入口，通过背景类似的两个问题进行对比.在等可能的情况下，让基本事件从有限向无限延伸，直达本课主题——几何概型.用这种方式点题.显得自然合理，同时也有助于帮助学生熟悉几何概型的特点，直观感知古典概型与几何概型的异同，起到了承上启下的作用.从学生的回答来看，已经朦胧感觉到了用测度计算几何概型的方法.
2.问题探究——感受几何概型及其处理方法
师：下面我们共同探究下列概率问题.（大屏幕投影）
问题1 取一根长为9 m的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3m的概率是多少？
生3：记“剪得两段彩带都不小于3m”为事件A.把彩带三等分（图1），当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于彩带上各点被剪断是等可能的，且中间一段的长度等于彩带的，所以可得P（A）=.
师：这个同学讲得很好，将彩带上各点视为基本事件，并关注到了它的等可能性.
板书本题的规范解法并指出
问题2 某岛周围海域面积约为17万
.如果在此海域里有面积达0.1万的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率为多少（图2）？
生4：记“钻出石油”为事件A，我想只要将有油海域面积与岛屿周围海域面积相比，
.
师：不错，把区域内的各点视为等可能的基本事件，用区域面积之比求概率，即
问题3 有一杯l升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.
观察与点评 问题1～3源于生活实际，教师在设计过程中有意识地从一维、二维到三维，让学生感受几何概型问题的概念生成和处理方法.学生的回答受到引入的启发，抓住了分析基本事件的本质，直觉地意识到可以用相应的长度、面积、体积之比来计算概率.听课中感觉到了学生对教师课前的精心预设的回应，自然而然地生成了解题的方法.
3.模型演示——感受数学直觉的合理性
师：我们借助于古典概型解题的方法，通过类比的手段，凭直觉解决了上面所给的与几何相关的概率问题，上面的解决方法是否对所有这样的概率问题都通用呢？我们通过下面的实验来说明它的合理性.
实验问题：射箭中黄心问题.（大屏幕投影课本教材第100页引例（2），题目略）
生6：根据前面的探究，显然这是一个与几何相关的概率问题.按上面的做法，射中黄心的概率为
.
师：好，这位同学给出了答案.我们知道对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，这个常数可以用来刻画随机事件A发生的可能性的大小，即为随机事件A的概率.我们利用这个想法，设计了一个射箭问题的flash模拟演示试验.（请看大屏幕）通过不断增加射箭次数，我们发现频率非常接近于0.01.这个实验检验了我们前面直觉的合理性和正确性.
观察与点评 通过演示实验，让学生感受直观感觉得到的概率计算公式的正确性，使学生体会归纳总结成功的喜悦，使数学的严密性得到保证，体现了归纳、猜想、证明是研究数学问题的重要方法和手段.课堂中，学生积极参与，气氛活跃.
4.生成概念——几何概型的理性思考
师：刚才同学们的研究很有价值，下面请同学们讨论一下这类问题的特点和解题的方法.
（教师点拨、学生讨论）
生7汇报讨论结果：上面三个问题都与几何有关，基本事件的个数有无限个，每个基本事件的发生都是等可能的.方法都是借助几何图形的长度、面积、体积的比值计算事件A发生的概率.
师：好的，通过上面的探究，我们对这类问题有了初步理解，讨论中发现了这类问题的计算方法.这就是我们今天所要研究的概率问题——几何概型.下面我们要做的是对几何概型问题的定性分析.
（大屏幕投影）上述随机试验具有共同点：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）.每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状与位置无关.我们把满足这种条件的概率模型称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率计算公式为
观察与点评 通过学生互助讨论，教师的适时点拨，学生归纳了几何概型的特点与处理方法.教师在学生总结的基础上，给出了几何概型的定义，着重说明了关注随机变量的形态是研究此类问题的核心，由此选择测度进行计算.在完成数学概念生成的过程中，由于有了学生的参与才使得学生对新知的认识达到了一次又一次的飞跃，这是构建数学不可或缺的一环.数学教学中突出知识的产生、发展、形成的过程，是培养学生数学意识和素养的重要方面.在本课教学过程中充分展现了这一点.
5.例题讲解——突出重点，突破难点，升华思维
例1和例2均选自课本例题，由学生讨论解决.（略）
例3 如图3，在直角三角形ABC中，∠CAB=60°，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.（大屏幕投影）
师：这个问题中，把什么看成随机变量？
生8：我把AB上的点视为随机变量.（教师演示：点M在线段AB上运动）
教师追问：事件“AM小于AC”的发生，点M直满足什么条件？概率是多少？
生8：在AB上截取AC′AC，M随机落在线段AC′上.AM小于AC的概率为
.（教师演示：点M在线段A′C上运动）
师：很好！你对随机变量的理解非常到位.
给出本题完整的解答.（大屏幕投影）
师：如果我们把题目改一下.下面的问题怎样解决呢？
变题 过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求这时AM小于AC的概率.（大屏幕投影）
生9（茫然，思考）.
同学们窃窃私语，互相交流……
生10：我感觉随机变量发生了变化，应该把∠ACB内部的任一条射线CM视为随机变量，同样在AB上截取AC′=AC，那么事件“AM小于AC”的发生，射线AM应落在∠ACC′内.这样AM小于AC的概率是两个角度之比，即概率为
.
观察与点评 本节课所选择的例题既兼顾了课本的原味，又对课本例题进行修正，可谓颇具用心.教师修改了课本原例3的条件，将等腰直角三角形改为一个角为60°的直角三角形，为变题的计算创造了条件.从教师的设计来看，通过例3的变题来说明背景相似的问题，由于设问的不同，即当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.但在讲解过程中没有指出过点C的射线是怎样作出来的，因为怎样作射线不仅会影响到基本事件的等可能性，由此还会产生不同的结果.教师如果在教学过程中能充分注意到这一点，并向学生指出变题的功能，本课将更完美.
6.回顾总结——留有空白，意犹未尽
教师通过两个层面对本节课学生的掌握程度作了反馈，一是依托课本，作为课堂巩固当场完成了课本上的练习1～4；二是一改传统的老师回顾总结，而是让学生针对本节课，用自己的语言简要总结几何概型的特点和处理方法.通过几个学生的回答，基本包含了本节课的重点和注意点.最后留下了一个开放性的作业，寻找生活中的概率模型，完成一篇“用……说明古典概型与几何概型的异同”的小论文.
观察与点评 这样别开生面的小结回顾，让人耳目一新，给学生留出了思考的空间.给人的印象是留有空白，意犹未尽.
二、教学特色解析
1.教学设计合情合理，自然流畅
几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡到无限多个基本事件，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型.姚老师在教学设计中注重强调概念形成过程，依据“感觉—验证—生成—应用”的理念.将几何概型概念形成的教学通过实例引导，感悟处理方法，猜想验证，逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性.整个设计思路合情合理，自然流畅.
2.教学过程循序渐进，实实在在
姚老师在教学中解决了几何概型从何而来，又如何处理的问题.通过学生对古典概型的思考，循序渐进地参与探究学习活动，形成几何概型问题中产生从等可能的模糊印象下思考测度，进而上升为解决几何概型问题的一种模式化模型，生成了解决一类问题的通法.由学生在学习过程中对思维过程的反思，真正体会到判断几何概型的特点以及重要性.从而避免了简单直接地呈现概念和单调的数学解题，突出知识的产生、发展、形成过程，培养学生的数学意识，可谓实实在在.
3.注重数学探究，感受数学直觉
本节课利用了几个发生在生活当中的实例，引导学生通过实例探究，通过观察分析，提取它们的共性，归纳了几何概型的定义及其概率公式，感受数学直觉，并且组织学生通过实验给予验证.在这节课里，每一个发现问题想方设法尽量让学生得出来，教师的作用是引导，在关键处导一导、推一推，打造出一幅“涓涓细流润芬芳”的美好图景，在师生对话中自然生成了几何概型的概念，这种学生发现问题、带领学生寻找解决问题的方法，符合建构主义理论的教学方法.
4.追求数学本真，突出思想方法
在教学过程中，以问题为背景，追求数学的本真，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出理性的判断，鼓励学生能够更注重应用数学的观念、方法与语言去提出、分析和解决问题.让学生感受到生活中有数学，体会到数学对自然与社会所产生的作用，认识到数学的价值所在，学会用数学的思想和方法去观察问题、研究问题和解决问题，教给学生必要的思维策略，学会用数学的眼光看世界.