初中数学教材探究活动设计的思考，本文主要内容关键词为：初中数学论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学探究学习是当前数学课程改革倡导的学习方式之一，在数学教学实践中得到了高度关注.教材是学生学习活动的基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源.因此，精心设计数学探究活动成为义务教育教材设计的一个重要组成部分.目前，各种版本的初中数学教材都有探究活动设计，也各有特色，但不乏问题存在.从一些文献资料来看，论述较多的是探究学习的教学实施，对教材探究活动的设计讨论甚少.研究者拟从教材设计的角度出发，提出数学探究活动设计要注意的几个方面，权作抛砖引玉.
一、数学探究学习及其意义
1.数学探究学习的内涵
什么是探究学习？国内外学者对探究学习的解释有很多种.有的将探究学习作为一种学习活动，如施瓦布认为：“探究学习是指这样一种学习活动：儿童通过自主地参与知识的获得过程，掌握研究自然所必需的探究能力；同时，形成认识自然的基础——科学概念；进而培养探索世界的积极态度.”[1]有的将探究学习作为一种学习方法，如人民教育出版社课程教材研究所研究员柴西琴认为：“探究教学实质上是将科学领域的探究引入课堂，使学生通过类似科学家的探究过程理解科学概念和科学探究的本质，并培养科学探究能力的一种特殊的教学方法.”[2]有的将探究学习作为一种模拟性的科学研究活动，如宋乃庆教授认为：“探究学习在本质上是一种模拟性的科学研究活动.”[3]
表述不尽相同但又有共同之处，如关注问题性，探究学习要使学生产生问题意识，提出对学生具有挑战性和吸引力的问题；体现主动性，探究学习强调学生的主动性，学生在探究中始终处于主动状态，从问题的提出、制定问题探究计划，到收集材料处理信息和得出结果、验证结论都贯穿了学生的积极思考；凸显过程性，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验等.
研究者认为，探究学习本质上不是某种新的学习方式.理由有二：
第一，探究学习、自主学习以及合作学习等都是新课程下涌现出来的提法，从课程标准的论述和标准解读来看，这些提法主要是针对传统教学过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，而并不是否定传统的学习方式.传统学习方式也有接受学习和发现学习之分，课程标准提倡在传统学习方式的基础上添加一些积极的元素或手段，接受学习也可以含有探究、自主和合作的成分.发现学习亦然，只不过是程度或方式不同而已.因此“探究学习”、“自主学习”、“合作学习”这样的说法只是讨论的需要或强调的侧重.
第二，数学学习本身就是一个探究的过程，在数学学习过程中，学生要有积极思维的参与，观察、归纳、类比、联想、演绎等，探究学习必定包含这些数学活动形式，探究学习只是具有问题性、主动性、过程性等一些特征的学习方式，它仍从属于接受学习或发现学习.
2.数学探究学习的意义
对于探究学习的意义，学者们见仁见智，给出了众多的论述.但从数学学习来说，可以归结为3个方面：数学探究学习可使学生获得知识的深层理解，数学探究让学生通过多种活动，去探究和获取知识，可以达到对知识的深层理解；数学探究可使学生学会研究问题的方法，数学探究学习包括多方面的活动，如观察，提出问题，猜测、假设，文献查询，计划调查或实验，收集、分析、解释数据，推理论证，合作交流等，所有这些活动都是解决问题的有效手段；数学探究学习可使学生形成良好的数学认识，在探究过程中形成科学的态度和习惯，形成实事求是、精益求精、谦虚谨慎、客观公正、敢于创新的精神，也即数学探究学习恰好符合课程标准下的三维目标论述，可能这也是数学探究学习受到青睐的原因之一.
二、初中数学教材探究活动设计
1.目标确立要准确以防止偏颇现象
正如前文所述，数学探究学习的目标内容更为全面，不仅有知识技能，还有过程与方法、情感态度价值观的目标，将三大目标统一于数学探究活动的过程中，强调在探究过程中建构知识，在探究活动过程中获得感受、体验和领悟，进而形成科学的情感态度价值观.
在教材探究活动的设计中要注意确立准确的探究活动目标，防止偏颇现象.目前初中数学教材在设计具体探究活动时存在偏重于教材的知识结论，而相对忽略了探究学习的其他目标的现象.具体地，在活动中设计了一系列“铺垫”性问题，每一个问题指向一个明确的数学知识或结论，学生在教材呈现的指令下“探究”，无需进行思维策略或方法的选择，或是局限于动手操作活动，缺少活动之后的思维提炼.
案例：平行四边形的性质探索.
设计一：
活动1：将一张平行四边形纸片沿一条对角线剪下，得到两张三角形纸片，它们能完全重合吗？它们的边与角有什么关系？证明你的结论.
活动2：准备两张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，折出它们的两条对角线，将它们重合放置在桌面上，并用一枚大头针固定在对角线交点处.下面的纸片保持不动，将上面的纸片绕着大头针旋转180°，观察它们是否重合.
由此你能发现在一个平行四边形中，还有哪些线段是相等的？证明你的结论.
设计探究活动的本意是想让学生通过活动得到猜想，通过对活动的讨论，提出各种验证方法，再加以证明.即通过活动能得到什么？如何得到的？怎么证明？但上述设计的探究情境较多地提供了程序化的步骤，结果指向性过于明显，为了呈现性质“平行四边形的两组对边分别相等”、“平行四边形的两组对角分别相等”，设计了活动1；为了呈现性质“平行四边形的对角线互相平分”设计了活动2.因此探究的空间显得不足，忽视了学生的自主思考和方法选择.相比而言，下面的设计二更为合适.
设计二：
将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片.将它们相等的一组边重合，得到一个四边形.
（1）你拼出了怎样的四边形？与同伴交流.
（2）在拼接得到的平行四边形中，有哪些相等的线段、相等的角？你是如何得到的？与同伴交流.
（3）平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O.图形中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？设法验证你的猜想.
此设计借助于拼接平行四边形的活动，提出问题，问题（1）通过学生动手实践，拼出多种不同的四边形，有的是平行四边形，有的则不是，在活动中学生进一步识别平行四边形，同时三角形拼接的方法为后面性质的猜想、推理论证提供了很好的铺垫；问题（2）学生可以采用各种方式探究性质，如度量、平移、旋转、折叠等；问题（3）将前面的猜想推向推理论证，同时得到“对角线平分”的性质.
探究学习的一个重要目的就是要培养学生的数学思考能力，学生没有思维参与，思维水平自然得不到发展.因此对数学探究活动，首先应该关注这种活动的数学意义，而不是一味地追求问题的真情实景，追求问题的实际操作性，或将解决“问题串”等同于数学探究活动.事实上，在数学探究活动中，学生获得的经验或体验与知识的获得同等重要，这种观点诸多名家在相关论述中提及，“智慧体现在过程之中.在本质上，智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程中，表现在思考的过程中”[4].在相应的教学活动中，不应主要关注所涉及的探究活动是否真正做出了相应的发现，更不能满足于具体问题的解决，而应积极引导学生做出进一步的思考与探究，包括对于已建立的知识和认识的认真反思，从而努力实现向着更高层次的过渡[5].
从数学探究活动的目标角度来看，在具体设计数学探究活动中，要特别关注以下两点：
一是关注数学思维方法.在具体探究活动中，多向学生提问：你是怎么想的？你的理由是什么？你还有其他方法吗？引起学生的积极思考.如无理数的引入，设计这样的探究活动：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2）a可能是整数吗？说说你的理由.（3）a可能是分数吗？说说你的理由.在活动中，通过学生的剪拼，确认了大正方形边长a的存在，对问题（1）、（2）、（3）的讨论，学生的方法很多样，一方面体现算法多样化，另一方面反映学生不同的思维水平.通过讨论，确认a既不是整数，也不是分数，进而产生认知上的冲突：剪拼出了大正方形，因此a确实是存在的，但a既不是整数，也不是分数，也就是说不是以前学习过的有理数，那么它是什么数呢？这样的探究活动重心不在于学生的动手操作，而在于动手操作后的数学思考和产生的认知冲突.
二是关注数学探究活动的“内化”.在具体探究活动中，尤其是操作性的探究活动中，要设置相关的问题引起学生进行抽象或更进一步的建构，并由此发展起相应的数学知识.如用一个平面去截正方体，可以设置这样几个递进的问题：（1）先向学生展示几幅图形，让学生观察并说出截面的形状；（2）截面还可能是什么图形？（3）截面可能是六边形吗？七边形呢？……为什么？问题（1）（2）更多地在动手操作活动，问题（3）则是引导学生对具体活动进行数学地思考，由盲目的切截到有策略的切截，由动手操作到思维操作，这正是数学课堂所要关注的.
2.内容选取要恰当以防止泛化现象
数学探究学习有其丰富的价值，但显然不是所有内容都需要或值得探究.因此在数学教材探究活动设计中要选取恰当的内容，防止泛化现象，将不需要或不值得探究的内容设计成探究活动，造成探究活动的肤浅或力所不及.
案例：同类项.
填空：
上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？
像
这样，上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项.几个常数项也是同类项.
“同类项”的概念只是进行合并同类项运算时所需的一个概念或一个名称，让学生讨论的价值不大，可直接告诉学生或让学生阅读课本即可.那么哪些数学内容适合探究？哪些不适合探究呢？
太难或太易的问题不适合探究.从心理学上来说，“最近发展区”是教学的最佳期，超出“最近发展区”之外的教学和低于“最近发展区”水平的教学对于学生来说都是低效的，太难的问题学生无法和原认知结构中的有关知识建立联系，无法探究；太易的问题，对学生没有思维的挑战性，达不到数学探究学习的目的.如“两直线平行，同位角相等”定理的证明，此定理出现在七年级，需要借助“同位角相等，两直线平行”公理，用反证法进行证明.对于初中学生来说，这是初次接触反证法.在教材设计中，可以提出问题让学生先尝试碰壁，感受用已有的知识和方法证明有困难即可，但不宜设计成探究活动探究此定理的证明，如果那样只能是浪费时间.
另外，说明性、规定性、陈述性的数学知识，如数学概念的名称、数学符号的记号或书写的格式等，不需要学生探究，学生只需要通过教师的讲解或自己阅读等方式就可以掌握.如上述同类项的概念，再如平行、垂直表示的记号等，只要告诉学生就可以了.
难易适当的内容可以让学生探究.当然还要看具体教学目标的要求，如果某个教学内容，只要求学生掌握某个结论，那么讲授法也许就能达到目的；如果不仅要掌握结论，还要学生了解过程与方法，以便更好地理解知识，或要学生能够在活动中积累一定的活动经验，或要体现问题解决策略的多样化，那么设计一个探究活动就是比较重要的了.当然还要兼顾教学内容本身的价值，如此内容有一定的思维含量，有利于展现知识的生成过程，有助于学生能力的发展，那么针对学生的思维水平，设计相应的探究活动也是不错的教学选择.
案例：三角形全等的条件.
提出问题：要画一个三角形与小明画的三角形全等需要什么条件？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？条件能否尽可能地少？1个条件行吗？2个条件、3个条件呢？还是更多的条件？
如果是采用呈现结论的方式，教材只需呈现“边边边”等条件，让学生去画一画，确认相应的条件就可以了，但这样学生就难以经历获得结论的过程，以及数学推理的过程，从三角形全等的6个条件，为什么一下子就变为3个条件？为什么“边边角”不可以，“边边边”就可以？事实上，这些活动的经验对其以后的学习是非常重要的，如在学习三角形相似的条件时，学生必定会联想起三角形全等时所采用的探索思路和方法.正是基于这样的考虑，教材为学生提供了活动的素材并设计了递进的数学问题.在活动过程中，学生不仅得到了“边边边”等全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动经验.
3.类型呈现要全面以防止缺失现象
按照不同的标准可对探究活动进行不同的分类，根据学生认知形成和发展的规律，中学数学探究性活动可以分为形成性探究、建构性探究、应用性探究3种类型[6].因为这样的分类更能体现不同探究活动的价值.
形成性探究，主要是将教材中知识的形成过程设计成探究的问题，让学生在探究活动中自主建构数学知识，如数学概念的抽象、命题的探索等.如用含30°角的两个三角尺，拼得等边三角形，从中发现一些线段的相等关系和倍数关系，从而得到定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这样的活动设计，将命题的结论自然产生，同时为后续的严格证明做了很好的铺垫；应用性探究则是将数学知识和规律的应用设计成探究的问题，如开放性问题的探究、综合性问题的探讨和应用问题的解决等；建构性探究则是将知识系统和网络的建构设计成探究的问题，引导学生梳理知识结构或建构知识系统，如章后或单元学习后的知识结构梳理、前后知识之间的类比研究和学习前的知识结构建构等，以便学生形成良好的认知结构.
从目前初中数学教材设计来看，主要是将一些知识的形成过程或将一些知识的应用设计成探究活动，即偏重形成性探究和应用性探究，对建构性探究关注不够.研究者最近在某省国培班上做了一份关于数学探究学习的调查，其中问题之一就是考查教师对探究活动类型的选择，4个选择支，选择“将知识系统的建构设计成探究的问题，引导学生建立知识系统和网络，形成良好的认知结构，如单元内容的归纳整理、章节内容的类比探究等”的仅占18%.
数学知识系统可分为数学内容系统和研究系统.数学内容系统，关注具体数学内容之间的联系，如概念的网络系统和命题的网络系统；而研究系统，则关注某个概念、命题或者学习主题的具体研究过程与方法，如面对平行四边形这样一个研究对象，需要研究哪些知识（定义、性质、判别等），这些知识之间按照什么研究顺序展开，如何研究等[7].目前，一些教材在章后设置了“回顾与思考”、“小结与思考”等栏目，以问题的形式鼓励学生自己梳理所学的内容，并力图在不同内容之间寻找联系，关注了数学内容系统的建构，但对数学研究系统的建构则普遍关注不够.事实上，这两者是分不开的，这就如同数学内容和数学方法，数学内容中体现了数学方法，数学方法又以数学内容为载体.因此，对于建构性探究不仅要关注数学内容系统的建构，同时要关注数学研究系统的建构.
对于数学研究系统的建构，一方面要关注学习内容的本质或一般性的规律，如要说明n边形的内角和等于（n-2）×180°，根据三角形内角和定理，把一个多边形分成几个三角形，问题就解决了.但分割的方法除了利用对角线把多边形分成几个三角形外，还可以有新的分法，如在多边形内任取一点，连接各顶点，也可以在多边形边上取一点，连接各顶点，不同的分割方法更能使学生认识知识的本质：不管点取在何处，只要将多边形分成多个三角形即可.再如，对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平平面的正多边形的内角的特点：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面.另一方面要关注相似或并列的学习内容的类比研究，可以要求学生在学习之前回忆先前内容的研究思路和方法，鉴于新学习内容与先前学习内容诸多相似之处，提出自己对此内容的研究顺序和研究方法.
案例：特殊平行四边形.
在学习特殊平行四边形有关内容之前，学生已经学习过平行四边形的概念、性质和判定，在学习过程中利用各种手段，如直观操作、图形的平移、旋转和轴对称，以及简单的说理和初步的推理，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判别方法，积累了一定的数学活动经验.因此在学习特殊平行四边形内容之前，可以提出如下一些问题，让学生自主建构后续学习内容的知识系统.
平行四边形有哪些性质和判定？
平行四边形的性质和判定是从平行四边形的哪些方面描述的？（对边、对角、对角线）
在小学里学过哪些特殊的平行四边形？（矩形、菱形、正方形）它们和平行四边形有什么区别和联系？
基于先前的活动经验，你想研究特殊平行四边形的哪些方面？（定义、性质、判定）你打算采用怎样的研究方法？这样的探究活动，一方面复习了先前的学习内容，另一方面统整了后续的内容，让学生在学习之前就对研究的内容和研究方法有明确的意向.
数学教材中设计好的探究活动是一项具有挑战性的工作，但它对引领教师教学方式的改变具有重要意义.目前这方面虽存在欠缺，相信经过教材设计人员、教育研究者和一线教师的共同“探究”，必定会把握住探究的精髓.